人教版九年级数学上册期末综合测评卷
时间:90分钟 满分:120分
一、选择题(本题共计10 小题，每题3分，共计30分)
1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 ( )
2.一元二次方程 x -2x=0 的根是 ( )
A. x =0,x = -2 B. x =1,x =2
C. x =1,x = -2 D. x =0,x =2
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4,将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED,连接BE,则BE 的长为 ( )
A.5 B.4 C.3 D.2
4.嘉淇在一次用频率估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则最可能符合这一结果的试验是 ( )
A.掷一枚骰子，出现4点的概率
B.任意写一个正整数，它能被3 整除的概率
C.抛一枚均匀硬币，出现反面的概率
D.从一副扑克牌中任取一张，取到“大王”的概率
5.若关于x的二次函数y=ax +bx+c(a≠0)的图象经过点A(m,n),B(﹣1,y ),C(2﹣m,n),D(3,y ),则y ,y 的大小关系是 ( )
A. y >y B. y
A.5 B.6 C.5 D.2
7.受疫情影响，口罩需求量猛增，我市某口罩厂商生产一种新型口罩产品，每件制造成本为１８元，试销过程中发现，每月销售量y(万件)与销售单价x(元)之间存在一次函数关系：y= -2x+100.若厂商每月的制造成本不超过540万元，则厂商每月获得的利润最大为 ( )
A.510万元 B.512万元 C.514万元 D.540万元
8.如图是一张长40 cm，宽28 cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是364cm 的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为xcm，那么x满足的方程是 ( )
A.40×28-4x =364 B.(40-2x)(28-2x)=364
C.40×28-2(40x+28x)=364
9.如图,半径为 10 的扇形 AOB中,∠AOB=90°,C为 上一点，CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为 D,E.若∠CDE 为36°,则图中阴影部分的面积为 ( )
A.10π B.9π C.8π D.6π
10.如图，已知二次函数y= ax + bx +c(a≠0)图象过点( -1,0),顶点为(1,2),则结论:①abc<0;②x=1时,函数的最大值是2;③a.+2b+4c>0;④2a=-b;⑤2c>3b.其中正确的结论有 ( )
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
二、填空题(本题共计5 小题，每题3分，共计15分)
11.某工厂一月份生产机器100台，计划二、三月份共生产机器250-台，设二、三月份的平均增长率为x，则根据题意列出方程是 .
12.如果将抛物线y=x +2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的解析式为 .
13.抛物线的部分图象如图所示，则当y>0时，x的取值范围是 .
14.如图,四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,∠AOC= 116°,则∠ABC 的角度是 .
15.圆锥的底面直径是8cm，母线长9cm，则这个圆锥的侧面积是 cm .
三、解答题(本题共计8 小题，共计75分)
16. (8分) 解下列方程:
(1)x - 2021x=0(因式分解法) ；
(2)5x -3x=x+1(公式法).
17. (6分) 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位.
(1：)△ABC绕着点 C 顺时针旋转90°，画出旋转后对应的△A B C ;
(2)求△ABC旋转到△A B C 时,的长.
18.(9分) 为了解市民常用的交通工具的使用情况，随机抽取了某市部分市民进行调查，要求被调查者从“A：自行车，B：电动车，C：公交车，D：家庭汽车，E：其他”五个选项中选出最常用的一项，将所有调查结果整理后绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题：
(1)在这次调查中，接受调查的市民总人数是 ，C组对应的扇形圆心角的度数是 ；
(2)请补全条形统计图；
(3)若甲、乙两人上班时从A，B，C，D四种交通工具中随机选择一种，请用树状图法或列表法求甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的概率是多少
19. (10分) 如图,AC为⊙O 的直径,B为AC延长线上一点,且∠BAD= ∠ABD= 30°,BC=1,AD为⊙O 的弦,连接 DO并延长交⊙O 于点 E,连接BE交⊙O 于点 M.
(1)求证:直线 BD是⊙O 的切线;
(2)求⊙O 的半径 OD的长;
(3)连接 DM,求 DM 的长.
20. (10分)在长方形 ABCD中,AB=5cm,BC=6cm,点P从点A开始沿边AB 向终点 B以1 cm/s的速度移动；与此同时，点Q从点 B开始沿边 BC向终点C以2cm /s 的速度移
动，如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动.设运动时间为t秒.
(1)填空:BQ= cm,PB = cm(用含t的代数式表示)；
(2)当t为何值时,PQ的长度等于5cm
(3)是否存在 t 的值，使得五边形 APQCD 的面积等于26 cm 若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由.
21.(10分)某企业研发了一种新产品，已知这种产品的成本为30元/件，且年销售量y(万件)与售价x(元/件)的函数关系式为
(1)当售价为60元/件时，年销售量为 万件；
(2)当售价为多少时，销售该产品的年利润最大 最大利润是多少
(3)若销售该产品的年利润不少于 750万元，直接写出x的取值范围.
22.(11分)点P是等边三角形ABC内一点,连接BP,CP,并将△BCP绕点 C顺时针旋转60°,得到△ACQ.
(1)如图1,连接 PQ,求证:△PCQ是等边三角形;
(2)如图2,连接 AP, PQ,若∠APB = 100°,试求∠PAQ的度数；
(3)如图3，请你用直尺和圆规画出线段 BP 经旋转运动所形成的平面图形(用阴影表示).若BC=6,BP=4,CP=3,试求出这个平面图形的面积.
23. (11分)如图,已知二次函数 的图象的顶点为C，一次函数y= -x+3的图象与该二次函数的图象交于A，B 两点(其中点A 在点B的左侧)，与其对称轴交于点 D.
(1)求点 D 的坐标;
(2)若点 C与点 D关于x轴对称,且△BCD的面积等于4.
①求点 B 的坐标;
②求该二次函数的解析式；
(3)若 CD= DB,且△BCD的面积等于 ,求CD的长.
1-10CDABCCABAB
11.100(1+x)+100(1+x) =250
12. y=x +1 【解析】将抛物线y=x +2向下平移1个单位所得新抛物线的解析式为γ=x +2-1=x +1,故答案为γ=x +1.
l3. -1
5.36π 【解析】∵圆锥的底面圆的直径是8cm,∴圆锥的底面圆的周长=π×8 =8π(cm),∵圆锥的母线长9cm，∴圆锥的侧面积 ×9×8π=36π(cm ),故答案为36π.
16.解:(1)x(x-2021)=0,
x =0,x =2021;
(2)5x -4x-1=0,a=5,b=-4,c=-1,
∴Δ=(-4) -4×5×( -1)=36>0,
17.(1)如图所示,△A B C 即为所求;
(2)BB 的的长为
18.解：(1)本次调查的市民人数为
800÷40% =2000(人),
C组的人数为
2000－100－800－200－300＝600（人），
∴C组对应的扇形圆心角的度数为
∴答案为2000,108°;
(2)补全条形统计图如下：
(3)画树状图得
∵共有１６种等可能的结果，
∴甲，乙两人选择同一种交通工具共有4种情况，
∴甲，乙两人选择同一种交通工具上班的概率为
19.(1)证明:∵OA=OD,∠BAD=∠ABD=30°,
∴∠BAD=∠ADO=30°,
∴∠DOB=∠BAD+∠ADO=60°,
∴ ∠DOB=∠180°-∠DOB-∠ABD=90°,
∵OD为⊙O 的半径,
∴直线 BD 是⊙O 的切线;
(2)解:∵∠ODB=90°,∠ABD=30°,
∵OC=OD, ∴BC=OC=1,
∴ ⊙O的半径 OD的长为1;
(3)解:如图,连接DM,
∵DE 为直径,∴DM⊥EB,
∵OD=1,∴ DE=2,
20.解:(1)由题意知,AP=tcm. BQ=2tcm,∵AB=5cm,∴PB=(5-t) cm,故答案为2t,(5-t);
(2)在 Rt△PBQ中,
依据勾股定理可知PB +BQ =PQ ,
即(5-t) +(2t) =5 ,
解得t =0,t =2,
当t=0或2时,PQ的长度等于5cm;
(3)存在t=1时,使得五边形 APQCD 的面积等于26 cm ,理由如下:
长方形 ABCD的面积是：5×6=30(cm ),
要使五边形 APQCD 的面积等于26 cm ,
则△PBQ的面积为30–26=4(cm ),
解得t =4,t =1,
又∵2t≤6,t≤3,∴t =4舍去，
则当t=1时，使得
21.解:(1)当x=60时,y=-x+80= -60+80=20,故答案为 20;
(2)当40≤x<60时,
W=(x﹣30)(﹣2x+140)= ﹣2x +200x﹣
4200= -2(x-50) +800,
∴当x=50时,W取得最大值,最大值为800;当60≤x≤70时,
W=(x-30)( -x+80)= -x +110x-2400
=-(x-55) +625,
∴当x>55时,W随x的增大而减小,
∴当x=60时,W取得最大值,
最大值为--(60-55) +625=600,
∵800>600,
∴当x=50时,W取得最大值800,
∴该产品的售价为50元/件时，年利润最大，最大年利润是８００万元；
(3)当40≤x<60时,由W≥750,
得-2(x-50) +800≥750,
解得45≤x≤55;
当60≤x≤70时,W的最大值为 600<750,不符合题意，
∴要使企业销售该产品的年利润不少于 750万元，该产品的售价x(元/件)的取值范围为45≤x≤55.
22.(1)证明：根据题意，由旋转的性质可得
△BCP≌△ACQ,∠PCQ=60°,
∴PC=PQ,
∴△PCQ 是等边三角形;
(2)解:如图,
∵∠APB=100°,
∴∠2+∠4=80°,
∵△ABC 是等边三角形,
∴∠ABC+∠BAC=120°,
∴∠1+∠3=40°,
∵ △BCP≌△ACQ,
∴∠1=∠CAQ,
∴∠CAQ+∠3=40°,
即∠PAQ=40°;
(3)解：线段 BP经旋转运动所形成的平面图形如图所示，
则 则 一 扇形CQP= QP
23.解:(1)二次函数的对称轴为直线
把x=1代入y= -x+3,得y=2,
∴点D的坐标为(1,2);
(2)①∵点C与点D关于x轴对称,
∴点C的坐标为(1,-2),
∴CD=4,
设点B的横坐标为b(b>1),
则
解得b=3,
∵点B在一次函数y=-x+3的图象上，
∴点B的坐标为(3,0);
②∵二次函数的顶点为 C(1,-2),
∴二次函数的解析式可写为
把点B的坐标(3，0)代入，得
解得 a=1,
∴二次函数的解析式为
(3)过点B作BE⊥CD于点E,
设点B的坐标为(m,-m+3)(m>1),
由y= -x+3 可知y=-x+3 的图象与 DC
相交且夹角为45°，
由题意可得 BE=m-1,∠DBE=45°,
由 得
(舍去),
