平面向量--平面向量的数量积及其应用 训练题
基础训练
1.已知向量，，，且，则实数k的值为( )
A. B.0 C.3 D.
2.在中，，，.P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，则( )
A. B. C. D.
4.在中，已知，，，则A角的度数为( )
A. B. C.或 D.
5.设，，且，若向量c满足，则的最大值是( )
A.5 B.6 C.7 D.8
6.已知,,, 则a 与b 的夹角为( )
A. B. C. D.
7.一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向正东3km/h.一艘小货船准备从河南岸码头P处出发，航行到河对岸Q（PQ与河的方向垂直）的正西方向并且与Q相距250m的码头M处卸货，若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为5km/h，则当小货船的航程最短时，小货船航行速度的大小为( )
A. B.6km/h C.7km/h D.
提升训练
8. （多选）已知向量，，则下列命题正确的是( )
A.若，则
B.若，则
C.设，则当取得最大值时，
D.的最大值为
9. （多选）已知，，若圆上存在点M满足，则实数a可以是( )
A.-1 B. C.0 D.1
10. （多选）已知向量，，则下列命题正确的是( )
A.存在，使得
B.当时，a与b垂直
C.对任意，都有
D.当时，a与b方向上的投影为
11.已知，，向量a与向量b的夹角为锐角，则的取值范围为___________.
12.如图，已知正六边形ABCDEF边长为1，点P是其内部一点，(包括边界)，则的取值范围为________.
13.已知向量，，若，则___________.
14.已知向量，.
（1）求与平行的单位向量；
（2）设，，若存在，使得成立，求k的取值范围.
15.已知非零向量满足，且.
(1)求.
(2)当时，求向量与的夹角的值.
答案
1.答案：C
解析：.又，，即，解得.故选C.
2.答案：D
解析：以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则，，设，则，，，所以，又表示圆上一点到点的距离的平方，圆心到点的距离为，所以，即，故选D.
3.答案：B
解析：由题意知，，，所以，故选B.
4.答案：C
解析：由题知，，，
在中，由正弦定理可得：
，
解得，因为，，
所以或.
故选：C.
5.答案：B
解析：如图，设，，，，连接AD，BD，则由可知四边形OADB为矩形，则.由，可得，连接CD，则，所以点C在以点D为圆心，4为半径的圆上，所以的最大值为.
6.答案：B
解析：由, 解得, 所以, 则 a与 b的夹角为, 故选 B.
7.答案：C
解析：由题意，当小货船的航程最短时，航线路线为线段PM，设小货船航行速度为v，水流的速度为，水流的速度与小货船航行的速度的合速度为，作出示意图如下：
，，在中，有，
所以，，，
所以，
所以，
所以小货船航行速度的大小为7km/h，
故选：C.
8.答案：ACD
解析：A项，若，则，即，故A项正确；
B项，若，则，所以，故B项错误；
C项，，其中，，故当时，取得最大值，此时，故C项正确；
D项，，所以
，
即的最大值为，故D项正确.
9.答案：ABC
解析：点M在以AB为直径的圆上，故问题等价于圆O与圆C有公共点，所以，解得，故选ABC.
10.答案：BD
解析：对于A，若，则，即，所以不存在这样的，故A错误；对于B，若，则，即，得，故B正确；对于C，，，当时，，故C错误；对于D，，两边同时平方得，即，，解得，，，设a与b的夹角为，a在b方向上的投影为，故D正确，故选BD.
11.答案：
解析：因为，，且向量a与向量b的夹角为锐角，所以且向量a与向量b不共线，所以解得且，即.
12.答案：
解析：解：由正六边形的性质得：，
则，，
，
而表示在上的投影，
当点P在C处时，投影最大为，当点P在F处时，投影最小为0，
所以的取值范围为，
故答案为：.
13.答案：5
解析：因为，所以，解得，则.
14、（1）答案：或
解析：设，根据题意得
解得或
或.
（2）答案：
解析：，，.
，.，，
.问题转化为关于t的二次方程在内有解.
令，
①当，即时，在内为增函数，，
方程在内无解.
②当，即时，由，解得或，.
③当，即时，在内为减函数，由得.解得，.
综上，实数k的取值范围为.
15.答案：(1)
(2)
解析：(1)因为，即.
所以，故.
(2)因为，
又，故.
