人教B版（2019）选修第一册2.3.4、圆与圆的位置关系
（共21题）
一、选择题（共12题）
已知两点 ， 及圆 ，若圆 上存在点 ，满足 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
圆 与圆 的公共弦长为
A． B． C． D．
圆 和 的位置关系是
A．相交 B．外离 C．内切 D．外切
圆 与圆 的位置关系是
A．相交 B．内切 C．外切 D．相离
已知圆 ： 和圆 ： 交于 ， 两点，则线段 的垂直平分线的方程为
A． B．
C． D．
在坐标平面内，与点 的距离为 ，且与点 的距离为 的直线共有
A． 条 B． 条 C． 条 D． 条
若圆 与圆 有公共点，则实数 的取值范围是
A．
B．
C．
D．
已知 ， 分别为圆 ： 与圆 ： 上的动点， 为 轴上的动点，则 的最小值为
A． B． C． D．
已知 ， 分别是圆 ：，： 上的两个动点， 为直线 上的一个动点，则 的最小值为
A． B． C． D．
已知圆 与圆 相外切，， 为正实数，则 的最大值为
A． B． C． D．
若圆 与圆 的公共弦长为 ，则 的值为
A． B． C． D．
设圆 ，圆 ，则它们公切线的条数是
A． B． C． D．
二、填空题（共5题）
若圆 与圆 内切，则 ．
若圆 与圆 的公共弦长为 ，则 ．
在平面直角坐标系 中，点 ，若圆 上存在一点 ，满足 ，则实数 的取值范围是 ．
已知圆 和圆 外切，则 的值为 ，若点 在圆 上，则 的最大值为 ．
若 ： 与 ： 相交于 ， 两点，且两圆在点 处的切线互相垂直，则线段 的长度是 ．
三、解答题（共4题）
已知圆 ： 和圆 ： 相交于 ， 两点．
(1) 求直线 的方程，并求出 ．
(2) 在直线 上取点 ，过 作圆 的切线 （ 为切点），使得 ，求点 的坐标．
已知圆 与圆 ．
(1) 求证：两圆相交；
(2) 求两圆公共弦所在直线的方程．
求与圆 相交，所得公共弦平行于直线 ，且过点 ， 的圆的方程．
求圆心在直线 上，且过两圆 和 的交点的圆的方程．
答案
一、选择题（共12题）
1. 【答案】D
【解析】因为 ，所以点 在以 为直径的圆上，该圆方程为 ，又点 在圆 上，所以两圆有公共点．两圆的圆心距 ，所以 ，解得 ．
2. 【答案】B
【解析】由 得 ．
又圆 的圆心到直线 的距离为 ．
由勾股定理得弦长的一半为 ，
所以所求弦长为 ．
3. 【答案】C
【解析】圆 的圆心坐标为 ，半径为 ；
圆 的圆心坐标为 ，半径为 ．
所以圆心距为 ，所以两个圆内切．
4. 【答案】A
【解析】由题意得，圆 的圆心 ，圆 的圆心 ，圆心距 ，两个圆的半径均为 ，故 ，所以两个圆相交．
5. 【答案】C
【解析】由平面几何知识知线段 的垂直平分线即为两圆心所在的直线，
由题易得两圆心分别为 ，，
因为 所在直线的斜率为 ，
所以所求直线方程为 ，
即 ．
6. 【答案】B
【解析】满足要求的直线应分别为圆心为 ，半径为 和圆心为 ，半径为 的两圆的公切线．
因为圆 与圆 相交，
所以公切线有 条．
7. 【答案】A
【解析】由题意可知，圆 的圆心是原点，半径 ，
圆 的圆心是 ，半径 ，
两圆的圆心距 ．
因为圆 与圆 有公共点，
所以 ，即 ，解得 或 ．
所以实数 的取值范围是 ．
8. 【答案】B
【解析】如图，作圆 关于 轴对称的圆 ，连接 ，交 轴于点 （即点 ），连接 ，
圆 ：，则 的最小值为 ，故选B．
9. 【答案】D
【解析】 的方程可化为 ，
的方程可化为 ．
设圆 关于直线 对称的圆为 ，
其圆心 ．
依题意得
因此，圆 ：．
如图所示．
因为 ，
所以 ，
故选D．
10. 【答案】B
【解析】由题意得，圆 的圆心为 ，半径 ．
圆 的圆心为 ，半径 ．
因为圆 与圆 相外切，
所以 ，即 ，
由基本不等式，得 ，当且仅当 时取等号．
11. 【答案】B
【解析】设圆 的圆心为 ，半径 ，将 与 联立，可得 ，即公共弦所在的直线方程为 ，原点 到直线 的距离为 ，根据勾股定理可得 ，解得 ．
12. 【答案】B
【解析】圆 ，圆心为 ，半径为 ；
圆 ，圆心为 ，半径为 ，
两圆的圆心距为 ，
因为 ，
所以两个圆相交，
所以两个圆的公切线有 条．
二、填空题（共5题）
13. 【答案】 或
【解析】圆 的半径 ，
圆 的圆心坐标为 ，半径 ，
因为两圆内切，且圆心距离 ，
所以 或 ，
解得 或 ．
14. 【答案】
15. 【答案】
【解析】设满足 的点的坐标为 ，
由题意得，，
整理可得，，
即所有满足题意的点 组成的轨迹方程是一个圆，
原问题转化为圆 与圆 有交点，
据此可得关于实数 的不等式组
解得 ，
所有实数 的取值范围是 ．
16. 【答案】 ；
【解析】解析
因为两圆外切，
所以 ，
所以 ．
因为点 在圆 上，
所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 的最大值为 ．
17. 【答案】
【解析】如图所示，在 中，，，所以 ，，因此 ．
三、解答题（共4题）
18. 【答案】
(1) 由两圆方程相减，得直线 的方程为 ．
又圆心 ，半径 ，
所以圆心 到直线 的距离 ，
所以公共弦长 ．
(2) 由题知在直线 上取点 ，过 作圆 的切线 （ 为切点），使得 ，又圆 的标准方程为 ，
所以圆心 ，半径 ，
因为 ，，
所以 ，
设 ，
所以 ，
则 ，即 ，得 或 ．
此时点 的坐标为 或 ．
19. 【答案】
(1) 圆 的方程可化为 ，圆 的方程可化为 ，
所以 ，，两圆的半径均为 ，
因为 ，
所以两圆相交．
(2) 将两圆的方程相减即可得到两圆公共弦所在直线的方程，，
即 ．
20. 【答案】由题意可得公共弦所在直线的斜率为 ，
所以两圆圆心所在直线的斜率为 ．
圆 的圆心坐标为 ，
故两圆圆心所在直线的方程为 ，即 ．
设所求圆的方程为 ，
则
解得
所以所求圆的方程为 ．
21. 【答案】方法一：设经过两圆交点的圆系方程为
，
即 ，所以圆心坐标为 ．
又圆心在直线 上，所以 ，即 ．
所以所求圆的方程为 ．
方法二：由 得两圆公共弦所在直线的方程为 ，
联立 解得
所以两圆 和 的交点分别为 ，．
线段 的垂直平分线所在直线的方程为 ．
由 得
所以所求圆的圆心为 ，半径为 ．
所以所求圆的方程为 ．
【解析】方法三：同方法二，求得两圆的交点坐标分别为 ，．
设所求圆的方程为 ，
由 解得
所以所求圆的方程为 ．
