6.2函数的极值（含解析）

第二章6.2　函数的极值
A级 必备知识基础练
1.(多选题)设函数f(x)=sin,则下列结论正确的是(　　)
A.y=f(x)的图象关于直线x=对称
B.y=f(x)的图象关于点中心对称
C.f(x)在区间有两个极值点
D.f(x)在区间内单调递减
2.若函数f(x)=x3-3ax+b(a>0)的极大值为6,极小值为2,则f(x)的单调递减区间为(　　)
A.(-1,1)
B.(-∞,-1)
C.(1,+∞)
D.(-∞,-1)和(1,+∞)
3.函数f(x)=x3-ax2-bx+a2在x=1处有极值10,则a,b的值为(　　)
A.a=3,b=-3或a=-4,b=11
B.a=-4,b=2或a=-4,b=11
C.a=-4,b=11
D.以上都不对
4.(多选题)[2023广东深圳宝安第一外国语学校校考期中]已知函数f(x)=2ex-x的极值点为x0,则(　　)
A.x0∈(-2,-1)
B.x0∈(0,2)
C.f(x0)∈(-1,0)
D.f(x0)∈
5.(多选题)[2023吉林松原高二校考期末]已知函数f(x)=x3-ax2-a2x+3在x=-1处取得极大值,则a=(　　)
A.3 B.1
C.-3 D.-1
6.函数y=xex在其极值点处的切线方程为　　　　　　　　.
7.设函数f(x)=sin x-cos x+x+1,08.若函数f(x)=(x-2)(x2+c)在x=2处有极值,则函数f(x)的图象在x=1处的切线的斜率为　　　　　　　　.
9.已知函数f(x)=ex(4x+4)-x2-4x,求:
(1)f(x)的单调区间;
(2)f(x)的极大值.
B级 关键能力提升练
10.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数y=(1-x)·f'(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是(　　)
A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)
C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)
D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)
11.若函数f(x)=x2-4x+aln x有唯一的极值点,则实数a的取值范围为(　　)
A.(-∞,0) B.(-∞,0)∪{2}
C.(-∞,0] D.(-∞,0]∪{2}
12.(多选题)[2023河北石家庄高二校考开学考试]已知函数f(x)=sin x-cos x,则下列说法正确的是 (　　)
A.f(x)的图象关于点中心对称
B.f(x)在区间上单调递减
C.f(x)在(0,2π)内有且仅有2个极小值点
D.f(x)的图象关于直线x=对称
13.(多选题)[2023山东威海高二阶段练习]函数f(x)的定义域为R,它的导函数y=f'(x)的部分图象如图所示,则下列结论正确的是(　　)
A.f(-2)>f(-1)
B.x=1是f(x)的极小值点
C.函数f(x)在(-1,1)内有极大值
D.x=-3是f(x)的极大值点
14.(多选题)[2023江西宜春第三中学校考期中]如图是函数y=f(x)的导函数的图象,对于下列四个判断,其中正确的是(　　)
A.f(x)在(-2,-1)内是单调递增函数
B.f(x)在(2,4)内是单调递减函数
C.当x=-1时,f(x)取得极小值
D.当x=1时,f(x)取得极大值
15.若函数f(x)=ex(sin x-a)在区间(0,π)内存在极值,则实数a的取值范围是　　　　　.
16.函数f(x)=ln x+ax2-(2a+1)x,其中a>0.
(1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;
(2)求函数f(x)的极值.
C级 学科素养创新练
17.已知函数f(x)=x+a(2-ex)+2(a∈R).
(1)若函数f(x)在x=0处的切线与直线x+y-1=0平行,求实数a的值;
(2)若函数f(x)的极大值不小于3a,求实数a的取值范围.
参考答案
6.2　函数的极值
1.ABC　对A,f=sin=sin=-1,A正确;
对B,f=sin=sin0=0,B正确;
对C,当x∈时,t=2x+,
由正弦函数y=sint的性质和图象可知y=f(x)有2个极值点,
由2x+,解得x=,2x+,解得x=,即x=和x=为函数的极值点,C正确;
对D,当x∈时,t=2x+,
由正弦函数的性质知当t∈时,y=sint单调递增,当t∈时,y=sint单调递减,
所以y=f(x)在上不单调,D错误.
故选ABC.
2.A　令f'(x)=3x2-3a=0,得x=±,
令f'(x)>0,得x>或x<-;
令f'(x)<0,得-即f(x)在x=-处取极大值,在x=处取极小值.
∵函数f(x)=x3-3ax+b(a>0)的极大值为6,极小值为2,∴f()=2,f(-)=6,
即a-3a+b=2且-a+3a+b=6,
得a=1,b=4,
∴f'(x)=3x2-3.
由f'(x)<0,得-1则f(x)的单调递减区间为(-1,1).故选A.
3.C　f'(x)=3x2-2ax-b,
则f'(1)=3-2a-b=0, ①
f(1)=1-a-b+a2=10, ②
由①②可得
经检验,当a=3,b=-3时,f'(x)=3(x-1)2≥0,无极值点,当a=-4,b=11时,满足题意,∴a=-4,b=11.
4.AD　对于A选项,由已知可得,f'(x)=2ex-,
令f'(x)=0,则x0=-ln4,
当x<-ln4时,f'(x)<0,所以f(x)在(-∞,-ln4)内单调递减,
当x>-ln4时,f'(x)>0,所以f(x)在(-ln4,+∞)内单调递增,
所以,f(x)在x=-ln4时,有极小值,且x0=-ln4∈(-2,-1),故A选项正确;
对于B选项,由A知x0=-ln4∈(-2,-1),故B选项错误;
对于C选项,因为f(x0)=2x0=(1-x0),-2对于D选项,由C知f(x0)∈,故D选项正确.
故选AD.
5.AD　因为f(x)=x3-ax2-a2x+3,
故f'(x)=3x2-2ax-a2,
由函数f(x)=x3-ax2-a2x+3在x=-1处取得极大值,可得f'(-1)=3+2a-a2=0,
解得a=3或a=-1,
当a=3时,f'(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1),
此时当x∈(-∞,-1)时,f'(x)>0,当x∈(-1,3)时,f'(x)<0,
则函数f(x)=x3-ax2-a2x+3在x=-1处取得极大值,符合题意;
当a=-1时,f'(x)=3x2+2x-1=(3x-1)(x+1),
此时当x∈(-∞,-1)时,f'(x)>0,当x∈时,f'(x)<0,
则函数f(x)=x3-ax2-a2x+3在x=-1处取得极大值,符合题意,故a=3或a=-1,故选AD.
6.y=-　令y'=ex+xex=(1+x)ex=0,
得x=-1,∴y=-,
∴在极值点处的切线方程为y=-.
7.π+2　　因为f(x)=sinx-cosx+x+1,0f(x),f'(x)随x的变化情况如下表:
x (0,π) π π, ,2π
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 π+2 ↘ 极小值 ↗
由上表知,f(x)的极大值为π+2,极小值为.
8.-5　∵函数f(x)=(x-2)(x2+c)在x=2处有极值,且f'(x)=(x2+c)+2x(x-2),
∴f'(2)=0,
∴(c+4)+(2-2)×4=0,
∴c=-4,
∴f'(x)=(x2-4)+2x(x-2).
∴函数f(x)的图象在x=1处的切线的斜率为
f'(1)=(1-4)+(1-2)×2=-5.
9.解 (1)f'(x)=ex(4x+4)+4ex-2x-4=4ex(x+2)-2(x+2)=(x+2)(4ex-2),
令f'(x)=0,解得x=-2或x=ln,显然-2当x<-2或x>ln时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
所以f(x)的单调递增区间为(-∞,-2),ln,+∞;
当-2所以f(x)的单调递减区间为-2,ln.
(2)由(1)知,当x=-2时,f(x)有极大值f(-2)=-4e-2-4+8=4-4e-2.
10.D　由函数的图象可知,f'(-2)=0,f'(2)=0,并且当x<-2时,f'(x)>0;
当-2当x>2时,f'(x)>0,故函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2).
11.C　f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2x-4+,
若f(x)有唯一的极值点,
则令g(x)=2x2-4x+a,g(x)图象的对称轴为x=1,
∴g(0)≤0,解得a≤0.
故选C.
12.AD　f(x)=sinx-cosx=2sin,
当x=时,f(x)=0,故f(x)的图象关于点中心对称,A正确;
当x∈时,x-,则f(x)=2sin上不单调,B错误;
当x∈(0,2π)时,x-,则f(x)只有在x-处取得极小值,故在(0,2π)内有且仅有1个极小值点,C错误;
当x=时,f=2sin=2,所以f(x)的图象关于直线x=对称,D正确.故选AD.
13.AD　由y=f'(x)的图象可知,当x∈(-∞,-3)时,f'(x)>0,所以函数f(x)单调递增;
当x∈(-3,-1)时,f'(x)<0,所以函数f(x)单调递减,因此有f(-2)>f(-1),x=-3是f(x)的极大值点,所以选项A,D正确;
当x∈(-1,1)或x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,所以函数f(x)单调递增,因此函数f(x)在(-1,1)内没有极大值,且x=1不是f(x)的极小值点,所以选项B,C不正确,故选AD.
14.BC　从导函数图象可以看出函数f(x)在(-2,-1),(2,4)内为单调递减函数;
f(x)在(-1,2),(4,5)内为单调递增函数,故A错误,B正确,f(x)在x=-1处取得极小值,f(x)在x=2处取得极大值,C正确,D错误.故选BC.
15.(-1,)　∵f(x)=ex(sinx-a),
∴f'(x)=ex(sinx+cosx-a),
若f(x)在(0,π)内存在极值,
令f'(x)=0,则a=sinx+cosx=sin,
∵x∈(0,π),
∴x+,
故sin∈(-1,],当a=时,f'(x)≤0,故a∈(-1,).
16.解(1)当a=1时,f(x)=lnx+x2-3x,定义域为(0,+∞),
则f'(x)=+2x-3=,
由f'(x)>0,解得01,由f'(x)<0,解得所以函数f(x)的单调递增区间为,(1,+∞);单调递减区间为.
(2)函数f(x)=lnx+ax2-(2a+1)x,定义域为(0,+∞),
则f'(x)=+2ax-(2a+1)=,
令f'(x)=0,解得x1=1,x2=,
①当a>时,函数f(x)的单调递增区间为,(1,+∞),单调递减区间为,
所以函数f(x)在x=取得极大值,为f=-ln2a-,
在x=1取得极小值,为f(1)=-a-1;
②当0所以函数f(x)在x=1取得极大值,为f(1)=-a-1,
在x=取得极小值,为f=-ln2a-;
③当a=时,f'(x)≥0恒成立,故函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无极值.
综上,当a>时,f(x)的极大值为-ln2a-,极小值为-a-1;
当0当a=时,f(x)无极值.
17.解(1)f(x)=x+a(2-ex)+2,f'(x)=1-aex,
因为f(x)在x=0处的切线与直线x+y-1=0平行,
所以f(x)在x=0处的切线斜率为f'(0)=1-a=-1,
解得a=2,所以实数a的值为2.
(2)f'(x)=1-aex,
当a≤0时,f'(x)=1-aex>0,所以f(x)在R上单调递增,无极大值;
当a>0时,令f'(x)=1-aex=0,
解得x=-lna,
当x∈(-∞,-lna)时,f'(x)=1-aex>0,f(x)在(-∞,-lna)内单调递增,
当x∈(-lna,+∞)时,f'(x)=1-aex<0,f(x)在(-∞,-lna)内单调递减,
所以f(x)在x=-lna处取得极大值f(-lna)=-lna+a(2-e-lna)+2=-lna+2a+1≥3a,
即-lna-a+1≥0,设g(a)=-lna-a+1(a>0),
则g'(a)=--1=-<0恒成立,
则g(a)在(0,+∞)内单调递减,且g(1)=0,
要使g(a)≥0,则a∈(0,1],
所以a的取值范围为(0,1].