第22章 二次函数 单元检测卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列函数中是二次函数的是（ ）
A．y＝3x+1 B．y＝3x2﹣6 C． D．y＝﹣2x3+x﹣1
2．二次函数y＝x2﹣4x+3的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．1，4，3 B．0，4，3 C．1，﹣4，3 D．0，﹣4，3
3．抛物线y＝（x+1）2的对称轴是（ ）
A．直线y＝﹣1 B．直线y＝1 C．直线x＝﹣1 D．直线x＝1
4．若函数 y＝kx2﹣2x﹣1 的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k≥﹣1且k≠0 B．k＞﹣1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≥﹣1
5．已知（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是抛物线y＝2x2+8x+m上的点，则（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
6．若一次函数y＝ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax2+bx的图象只可能是（ ）
A．B．C．D．
7．校运动会上，某运动员掷铅球时，他所掷的铅球的高h（m）与水平距离x（m）之间的函数关系满足h＝﹣x2+x+，则该运动员掷铅球的成绩是（ ）
A．6m B．10m C．8m D．12m
8．已知二次函数y＝﹣（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为﹣1，则h的值为（ ）
A．3或4 B．1或6 C．1或3 D．4或6
9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列四个说法中：①a+2b＝0；②a+b+c＜0；③ax2+bx+c＝0的两个解是x1＝﹣2，x2＝4；④当x≤0时，y随x的增大而减小；正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．已知如图，在正方形ABCD中，点A、C的坐标分别是（﹣1，5）（2，0），点D在抛物线的图象上，则k的值是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．函数的图象是抛物线，则k的值是 ．
12．已知二次函数y＝（m﹣1）x2+5x的图象开口向下，则m的取值范围是 ．
13．已知二次函数y＝x2+3x+m﹣4的图象经过原点，那么m＝ ．
14．已知二次函数y＝﹣（x﹣k）2，当x＞5时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是 ．
15．把二次函数y＝2（x﹣2）2﹣5的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，所得的函数图象顶点坐标 ．
16．某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离S（米）关于滑行的时间t（秒）的函数解析式是S＝﹣0.25t2+8t，无人机着陆后滑行 秒才能停下来．
17．已知二次函数y＝（x﹣1）2，当时，函数值y的取值范围是 ．
18．如图，抛物线的顶点为A，抛物线的顶点为B，过点A作AG⊥x轴于点C，过点B作BD⊥y轴于点D，则阴影部分的面积为 ．
三．解答题（共6小题，满分46分）
19．（6分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（1，5）、B（0，3）、C（﹣1，﹣3）三点．
（1）求这个函数的解析式；
（2）用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标．
20．（6分）对于抛物线y＝x2﹣4x+3．
（1）将抛物线的解析式化为顶点式．
（2）在坐标系中利用五点法画出此抛物线．
x … …
y … …
（3）结合图象，当1＜x＜3时，y的取值范围 ．
21．（7分）如图，已知二次函数y＝ax2+3x+的图象经过点A（﹣1，﹣3）．
（1）求a的值和图象的顶点坐标；
（2）若横坐标为m的点B在该二次函数的图象上，且点B到x轴的距离不大于3，请求出m的取值范围．
22．（8分）如图，在一次足球比赛中，守门员在距地面1米高的P处大力开球，一运动员在离守门员6米的A处发现球在自己头上的正上方距离地面4米处达到最高点Q，球落到地面B处后又一次弹起．已知足球在空中的运行轨迹是一条抛物线，在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度为1米．
（1）求足球第一次落地之前的运动路线的函数解析式及第一次落地点B与守门员（点O）的距离；
（2）运动员（点A）要抢到第二个落点C，他应再向前跑多少米？（假设点O，A，B，C在同一条直线上，结果保留根号）
23．（9分）如图，抛物线y＝mx2﹣2mx﹣4与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（﹣2，0）．
（1）求点B的坐标及抛物线的解析式；
（2）若抛物线与y轴的交点为C，过点C作直线l∥x轴，将抛物线在y轴左侧的部分沿直线l翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．当直线y＝x+b与新图象只有1个公共点时，求b的取值范围．
24．（10分）已知抛物线y＝﹣x2﹣bx+c的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P为抛物线的对称轴上一动点，当△PBC的周长最小时，求点P的坐标；
（3）在第二象限的抛物线上，是否存在一点Q，使得△ABQ的面积最大？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
第22章 二次函数 单元检测卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【分析】根据二次函数的定义判断即可．
【解答】解：A、该函数是一次函数，故本选项不符合题意；
B、该函数二次函数，故本选项符合题意；
C、该函数不是二次函数，故本选项不符合题意；
D、该函数不是二次函数，故本选项不符合题意．
故选：B．
2．【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项作答．
【解答】解：二次函数y＝x2﹣4x+3的二次项系数是1，一次项系数是﹣4，常数项是3；
故选：C．
3．【分析】根据顶点式二次函数的解析式，可得二次函数的对称轴，可得答案．
【解答】解：抛物线y＝（x+1）2的对称轴是直线 x＝﹣1，
故选：C．
4．【分析】根据Δ＝（﹣2）2﹣4k×（﹣1）≥0且k≠0，解出k的范围即可求出答案．
【解答】解：当k＝0时，函数为y＝﹣2x﹣1，与x轴有交点，
当k≠0时，
由题意可知：Δ＝（﹣2）2﹣4k×（﹣1）≥0
∴4+4k≥0，
∴k≥﹣1且k≠0，
综上，函数 y＝kx2﹣2x﹣1 的图象与x轴有交点，则k的取值范围是k≥﹣1．
故选：D．
5．【分析】求出抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，
∴（﹣1，y1）关于对称轴的对称点为（﹣3，y1）
∵a＝2＞0，
∴x＜﹣2时，y随x的增大而减小，
∵﹣4＜﹣3＜﹣2，
∴y2＜y1＜y3．
故选：D．
6．【分析】根据一次函数y＝ax+b的图象经过第二、三、四象限判断出a、b的符号，从而判断出函数开口方向，对称轴的位置，据此即可判断．
【解答】解：∵一次函数y＝ax+b的图象经过第二、三、四象限，
∴a＜0，b＜0，
∴二次函数y＝ax2+bx的开口向下，对称轴在y轴左侧，
故选：C．
7．【分析】铅球落地才能计算成绩，此时y＝0，即﹣x2+x+＝0，解方程即可．在实际问题中，注意负值舍去．
【解答】解：由题意可知，把y＝0代入解析式得：
﹣x2+x+＝0，
解方程得x1＝10，x2＝﹣2（舍去），
即该运动员的成绩是10米．
故选：B．
8．【分析】分h＜2、2≤h≤5和h＞5三种情况考虑：当h＜2时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论；当2≤h≤5时，由此时函数的最大值为0与题意不符，可得出该情况不存在；当h＞5时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论．综上即可得出结论．
【解答】解：当h＜2时，则x＝2时，函数值y有最大值，
故﹣（2﹣h）2＝﹣1，
解得：h1＝1，h2＝3（舍去）；
当2≤h≤5时，y＝﹣（x﹣h）2的最大值为0，不符合题意；
当h＞5时，则x＝5时，函数值y有最大值，
故﹣（5﹣h）2＝﹣1，
解得：h3＝4（舍去），h4＝6．
综上所述：h的值为1或6．
故选：B．
9．【分析】根据抛物线对称轴为x＝1，可以得出b＝﹣2a，从而判断①；根据图象可以判断②；根据抛物线的对称轴和与x轴的交点可以求出抛物线与x轴的另一交点，从而判断③；根据抛物线的增减性可以判断④．
【解答】解：∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴a+2b＝a﹣4a＝﹣3a，
∵a＞0，
∴a+2b＜0，
故①错误；
由图象可知，x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
故②正确；
∵抛物线对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为（4，0），
∴抛物线与x轴的另一交点为（﹣2，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的两个解是x1＝﹣2，x2＝4，
故③正确；
∵抛物线对称轴为x＝1，开口向上，
∴x＜1时，y随x的增大而减小，
∴当x≤0时，y随x的增大而减小，
故④正确．
故正确的有②③④．
故选：C．
10．【分析】直接利用菱形的性质得出各边长，进而利用勾股定理得出DO的长，即可得出C点坐标，代入即可得出k的值．
【解答】解：作DM⊥x轴于M，AN⊥DM于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，AD＝DC，
∴∠ADN+∠CDM＝90°＝∠CDM+∠DCM，
∴∠ADN＝∠DCM，
∵∠AND＝∠DMC＝90°，
∴△ADN≌△DCM（AAS），
∴AN＝DM，DN＝CM，
设D（a，b），
∵点A、C的坐标分别是（﹣1，5）（2，0），
∴，解得，
∴D（3，4），
∵D在抛物线的图象上，
∴+3k＝4，
∴k＝，
故选：B．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．【分析】根据二次函数的定义即可求解．
【解答】解：∵函数的图象是抛物线，
∴k+1≠0，k2+1＝2，
解得：k≠﹣1，k＝±1．
∴k＝1．
故答案为：1．
12．【分析】根据二次函数图象性质判断出m的范围即可．
【解答】解：∵二次函数y＝（m﹣1）x2+5x的图象开口向下，
∴m﹣1＜0，
解得：m＜1，
故答案为：m＜1．
13．【分析】将（0，0）代入解析式求解．
【解答】解：将（0，0）代入y＝x2+3x+m﹣4得0＝m﹣4，
解得m＝4，
故答案为：4．
14．【分析】由已知可知在对称轴x＝k的右侧，y随x的增大而减小，即可得到k≤5．
【解答】解：∵二次函数开口向下，
∴在对称轴x＝k的右侧，y随x的增大而减小，
∵当x＞5时，y随x的增大而减小，
∴k≤5，
故答案为k≤5．
15．【分析】根据图象的平移规律，可得答案．
【解答】解：把二次函数y＝2（x﹣2）2﹣5的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，所得新抛物线解析式为y＝2（x﹣2﹣2）2﹣5+3，即y＝2（x﹣4）2﹣2，其顶点坐标为（4，﹣2）．
故答案为：（4，﹣2）．
16．【分析】飞机停下时，也就是滑行距离最远时，即在本题中需求出s最大时对应的t值．
【解答】解：由题意得，
S＝﹣0.25t2+8t
＝﹣0.25（t2﹣32t+256﹣256）
＝﹣0.25（t﹣16）2+64，
∵﹣0.25＜0，
∴t＝16时，飞机滑行的距离最大，
即当t＝16秒时，飞机才能停下来．
故答案为：16．
17．【分析】根据二次函数的性质即可求得．
【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣1）2，
∴抛物线开口向上，顶点为（1，0），
∴当x＝1，y有最大值最小值0，
把x＝0代入y＝（x﹣1）2得，y＝1，
∴当时，函数值y的取值范围是0≤y≤1，
故答案为：0≤y≤1．
18．【分析】过点B作BE⊥x轴于点E，将抛物线解析式化为顶点式的得到A（2，2），B（2，﹣2），由A、B两点关于原点对称，可得抛物线OA段绕点O旋转180°后，与抛物线OB段重合，因此S阴影＝S正方形ODBE，以此即可求解．
【解答】解：如图，过点B作BE⊥x轴于点E，
∵抛物线＝的顶点A（2，2），
抛物线＝的顶点B（2，﹣2），
∴A、B两点关于原点对称，
∵两抛物线的二次项系数，即抛物线开口大小相同，
∴抛物线OA段绕点O旋转180°后，与抛物线OB段重合，
∴S阴影＝S正方形ODBE＝2×2＝4．
故答案为：4．
三．解答题（共6小题，满分46分）
19．【分析】（1）把A（1，5）、B（0，3）、C（﹣1，﹣3）代入二次函数解析式，列出三元一次方程组进行计算即可；
（2）利用配方法进行计算即可解答．
【解答】解：（1）由题意把A（1，5）、B（0，3）、C（﹣1，﹣3）代入二次函数y＝ax2+bx+c，
可得：，
解得：．
∴二次函数解析式为y＝﹣2x2+4x+3；
（2）y＝﹣2x2+4x+3＝﹣2（x﹣1）2+5，
∴顶点坐标是（1，5）．
20．【分析】（1）由于二次项系数是1，所以直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式；
（2）利用列表、描点、连线的方法画出图形即可；
（3）根据函数图象回答即可．
【解答】解：（1）y＝x2﹣4x+3＝（x2﹣4x+4）﹣4+3＝（x﹣2）2﹣1．
∴抛物线的顶点式为：y＝（x﹣2）2﹣1．
（2）列表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 0 ﹣1 0 3 …
函数图象如图所示：
（3）根据函数图象可知：当1＜x＜3时，y的取值范围﹣1≤y＜0．
故答案为：﹣1≤y＜0．
21．【分析】（1）根据二次函数y＝ax2+3x+的图象经过点A（﹣1，﹣3），即可得到a的值，然后将函数解析式化为顶点式，即可得到该函数图象的顶点坐标；
（2）根据题意和（1）中的函数解析式，可以得到相应的不等式，然后求解即可．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+3x+的图象经过点A（﹣1，﹣3），
∴﹣3＝a×（﹣1）2+3×（﹣1）+，
解得a＝﹣，
∴y＝x2+3x+＝﹣（x﹣3）2+5，
∴该函数图象的顶点坐标为（3，5）；
（2）∵横坐标为m的点B在该二次函数的图象上，且点B到x轴的距离不大于3，
∴|m2+3m+|≤3，
解得﹣1≤m≤1或5≤m≤7，
即m的取值范围为﹣1≤m≤1或5≤m≤7．
22．【分析】（1）根据题意可知足球第一次落地之前的运动路线对应的抛物线的顶点坐标为（6，4），过点（0，1），然后即可求得相应的函数解析式，再令y＝0求出相应的x的值，即可得到第一次落地点B与守门员（点O）的距离；
（2）根据题意可知BC的长度与第一段函数解析式中y＝3时对应的两个横坐标差的绝对值的长度相等，然后即可得到BC的长，从而可以计算出AC的长度，本题得以解决．
【解答】解：（1）设足球第一次落地之前的运动路线的函数解析式为y＝a（x﹣6）2+4，
∵点（0，1）在该函数图象上，
∴a（0﹣6）2+4＝1，
解得a＝﹣，
即足球第一次落地之前的运动路线的函数解析式为y＝﹣（x﹣6）2+4，
当y＝0时，0＝﹣（x﹣6）2+4，
解得x1＝4+6，x2＝﹣4+6（不符合题意，舍去），
∴第一次落地点B与守门员（点O）的距离为4+6；
（2）将y＝3代入y＝﹣（x﹣6）2+4，得x3＝2+6，x4＝﹣2+6，
∴BC＝（2+6）﹣（﹣2+6）＝4，
∴AC＝AB+BC＝（4+6﹣6）+4＝8，
即他应再向前跑8米．
23．【分析】（1）先根据对称轴公式求得抛物线的对称轴为：x＝﹣＝1，依此即可求得B点坐标；将A点坐标分别代入抛物线y＝mx2﹣2mx﹣4，得到关于m的方程，求得m的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）根据抛物线的解析式得到C（0，﹣4），当直线y＝x+b经过点C时，求得b＝﹣4，根据一元二次方程根的判别式即可得到结论．
【解答】解：（1）依题意，可得抛物线的对称轴为：x＝﹣＝1，
∵抛物线与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（﹣2，0），
∴点B的坐标为 （4，0）；
∵点A在二次函数y＝mx2﹣2mx﹣4的图象上，
∴0＝4m+4m﹣4，
解得：m＝，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣4；
（2）当x＝0时，y＝x2﹣x﹣4＝﹣4，
∵抛物线与y轴的交点为C，
∴C（0，﹣4），
当直线y＝x+b经过点C时，
﹣4＝×0+b，
∴b＝﹣4，
当直线y＝x+b（b＜﹣4）与函数y＝x2﹣x﹣4（x＞0）的图象只有一个公共点时，也就是x+b＝x2﹣x﹣4有相等的实数根，
整理方程，得x2﹣3x﹣（8+2b）＝0，
由根的判别式Δ＝（﹣3）2+4（8+2b）＝8b+41＝0，
解得b＝﹣；
∴当直线y＝x+b与新图象只有1个公共点时，b的取值范围为b＞﹣4或b＜﹣．
24．【分析】（1）根据抛物线y＝﹣x2﹣bx+c的图象经过点A（﹣3，0）和点B（0，3），得到方程组，解方程组即可得到结论；
（2）解方程求得C（﹣1，0），由于A、C两点关于对称轴对称，则此时 PB+PC＝PB+PA＝AB最小．求得直线AB解析式为y＝x+3；于是得到P点坐标为（﹣1，2）；
（3）设Q（x，﹣x2﹣2x+3）是第二象限的抛物线上一点，过点Q作QD⊥x轴交直线AB于点E，于是得到E的坐标为（x，﹣x+3），根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2﹣bx+c的图象经过点A（﹣3，0）和点B（0，3），
∴，
解得b＝2，c＝3，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）对称轴为x＝﹣＝﹣1，
令y＝﹣x2﹣2x+3＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝1，
∴C（1，0），
如图所示，
∵点C与点A关于直线x＝﹣1对称，
∴连接AB与对称轴x＝﹣1的交点即为所求之P点，
∵BC的长是个定值，
则此时的点P，使△PBC的周长最小，
由于A、C两点关于对称轴对称，
则此时 PB+PC＝PB+PA＝AB最小．
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
由A（﹣3，0）、B（0，3）可得：
，
解得k＝1，b＝3，
∴直线AB解析式为y＝x+3；
当x＝﹣1时，y＝2，
∴P点坐标为（﹣1，2）；
（3）结论：存在．
设Q（x，﹣x2﹣2x+3）是第二象限的抛物线上一点，
过点Q作QD⊥x轴交直线AB于点E，则E的坐标为（x，x+3），
∴QE＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x，
∴S△ABQ＝S△BQE+S△AQE＝PE OA＝﹣（x2+3x）＝﹣（x+）2+，
∴当x＝时，S△ABQ取得最大值．
∴当x＝时，y＝﹣x2﹣2x+3＝，
∴Q（，）．
所以，在第二象限的抛物线上，存在一点Q，使得△ABQ的面积最大；Q点的坐标为（，）．
