高三数学（10月）
一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知i是虚数单位，复数为纯虚数，则z的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，，，且，，则的值为（ ）
A．6 B． C．9 D．
4．）已知二项式的展开式的二项式系数和为32，所有项系数和为243，则（ ）
A． B．2 C． D．3
5．小乌鸦发现一个底面半径为2，高为8的圆柱形容器内有水面高度为5.8的水，但是只有水面高度达到7时才能喝到水.小乌鸦为了喝到水找来了一些半径为1的小铁球放到盛水的容器内（容器壁厚度不计），则小乌鸦要喝到水最少需要小铁球的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．俗话说：谷前谷后，种瓜种豆；谷雨前后是葫芦的播种季节，为了保苗，一般每个苗坑播两粒种子，只要有一粒种子发芽就不用补种；已知一种观赏葫芦种子的发芽率为0.9，所有种子是否发芽相互独立，这种葫芦某个苗坑需要补种的概率为（ ）
A．0.81 B．0.09 C．0.10 D．0.01
7．已知等差数列的前n项和为，记的最大值为S，，正项等比数列的公比为q，满足，且，则使，成立的n的最小值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
8．若不等式在上恒成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对得5分，有选错得0分，部分选对得3分．
9．为了了解市民对各种垃圾进行分类的情况，加强垃圾分类宣传的针对性，指导市民尽快掌握垃圾分类的方法，某市垃圾处理厂连续8周对有害垃圾错误分类情况进行了调查.经整理绘制了如图所示的有害垃圾错误分类重量累积统计图，图中横轴表示时间（单位：周），纵轴表示有害垃圾错误分类的累积重量（单位：吨）.根据统计图分析，下列结论正确的是（ ）
A．当时有害垃圾错误分类的重量加速增长
B．当时有害垃圾错误分类的重量匀速增长
C．当时有害垃圾错误分类的重量相对于当时增长了
D．当时有害垃圾错误分类的重量相对于当时减少了1.8吨
10．已知双曲线C：与直线交于A，B两点，点为C上任意一点，且直线，的斜率分别为，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的渐近线方程为
C．双曲线的离心率为 D．双曲线的离心率为
11．已知在长方体中，，点E是的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面
12．定义在R上的函数，关于点对称，恒有，且在上单调递减，则下列结论正确的是（ ）
A．直线是的对称轴 B．周期
C．函数在上单调递增 D．
三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
13．有5名同学考虑报书法、围棋、绘画3个暑假兴趣班，如果每人只能报1个兴趣班，每个兴趣班都有同学报名，可能的报名结果共有______种.（用数字作答）
14．已知是函数的对称轴，则的单调递增区间为______.
15．已知直三棱柱，在底面中，，，则此三棱柱的外接球的表面积为______.
16．如图，已知以点C为圆心的圆过点与直线相切，把点C的轨迹记为E，则E的方程为______；过点A的直线l与E交于P，Q两点，当以为直径的圆被y轴截得的弦长为4时，直线l的方程为______.
解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．如图，在中，，且.
（1）求角A；
（2）若，，求.
18．已知数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前n项和，则n的最小值是多少？
19．如图，已知为等边三角形，D，E分别为，边的中点，把沿折起，使点A到达点P，平面平面，若.
（1）求与平面所成角的正弦值；
（2）求直线到平面的距离.
20．2020年1月我国出现了新冠肺炎疫情，为了阻断传播途径，有效控制疫情的蔓延，全国各地都实行了居家隔离.某城市为了保障居家隔离期间对居民的供水，随机抽取了2019年12月份200户居民的用水量与2020年1月份的用水量进行对比，以便更好地确定下一步供水工作的工作计划.经过整理得到抽取的2019年12月份200户居民用水量（单位：立方米）的频率分布直方图如图.
（1）（ⅰ）求抽取的200户居民用水量在范围内的居民户数；
（ⅱ）根据频率分布直方图的数据估计全市118.2万户居民中有多少万户用水量在范围内；
（2）为了进一步了解用水量在，，范围内的居民用水实际情况，决定用分层抽样的方法抽取6户进行电话采访.
（ⅰ）各个范围各应抽取多少户？
（ⅱ）若从抽取的6户中随机抽取3户进行入户调查，求3户分别来自3个不同范围的概率.
21．已知点M为圆E：上任意一点，点，线段的垂直平分线与半径交于点N.
（1）当点M在圆E上运动时，求点N的轨迹C的方程；
（2）若经过点的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，求的最大值.
22．已知，.
（1）证明：存在极小值；
（2）令，若恒成立，求实数m的取值范围.
高三数学答案
1【答案】B.【解析】因为集合，，所以.
2【答案】C【解析】本题考查复数的概念及运算.由题可知复数.∵复数z为纯虚数，∴且，∴，∴z的虚部为.故选:C.
3．【答案】C
【解析】∵，∴，，∴向量，∵，∴，
∴，∴.故选：C.
4．【答案】A【解析】∵二项式系数和为，∴.令，∴，∴.
5．【答案】B【解析】由题可知要使水面高度达到7，则至少需要增加水面升高部分的体积为，一个小铁球的体积为.
假设至少需要n个小铁球，则，∴.又∵，∴最少需要4个小铁球，故选：B.
6．【答案】D【解析】记某个苗坑一粒种子发芽为事件A，另一粒种子发芽为事件B，需要补种为事件C，
两粒种子是否发芽互独立，则，则.
7．【答案】D【解析】由题可设等差数列的公差为d，
∵，∴，，；当时，有最大值，
∴，，，∵，∴，，要使成立，
即，且，∴，则n的最小值为3.故选：D.
8．【答案】D【解析】构造函数，其图象开口向上，
由于不等式在上恒成立，所以，即，
9．【答案】ABD
【解析】本题考查统计图的应用.由统计图可知，第2周增长数量比第1周增长数量明显要多，所是加速增长，所以选项A正确；当时图象是线段，所以是匀速增长，所以选项B正确；
当时增长数量比当时增长数量要少，所以是减少，所以选项C错误；
当时共增长2.4吨，当时共增长0.6吨，所以减少了1.8吨，所以选项D正确.故选:ABD.
10．【答案】AC
【解析】设点，，∴.又∵，两式相减得，∴.又∵，∴，∴，∴双曲线的渐近线方程为，故选项A正确；又∵，∴，故选项C正确，故选：AC.
11．【答案】BC
【解析】对于选项A，如图，连接，，设，
则在中，易知.
在中，易知.
在中，易知，
∴，∴，同理，又∵，∴平面，所以A正确；对于B选项，若平面平面，由A选项可知平面，
则平面或平面，但平面，且平面，
所以B错误；对于C选项，连接，则，平面，∴与平面相交，且平面，所以C错误；对于D选项，如图，连接，交于点P，连接，
∵点P是中点，点E是中点，∴.又∵平面，平面，
∴平面，所以D正确，
12．【答案】AC
【解析】因为，所以直线是的对称轴，故选项A正确.
关于点对称，所以函数关于点对称，又因为对称轴，所以周期，故选项B错误.
直线是的对称轴，且函数在上单调递减，所以函数在上单调递增，周期，所以函数在上单调递增，故选项C正确.
因为周期，，则，选项D错误，
13．【答案】150【解析】本题考查排列组合.先把5名同学分成3组，若按1，1，3分组，共有（种）不同分法；若按1，2，2分组，共有（种）不同分法，所以共有（种）不同分组方法，所以分配到3个兴趣班共有（种）不同分配方案.故答案为：150.
14．【答案】
【解析】.∵是函数的对称轴，∴，∴，∴.又，令，，则，∴为函数的单调递增区间.
15．【答案】【解析】由题意可知，三棱柱的外接球球心在上下底面外接圆圆心连线的中点处，
设球心为O，两圆圆心分别为，.在中由正弦定理得，
∴，∴.记三棱柱的外接球的半径为，，
在中，，，∴，
∴该三棱柱外接球的表面积.故答案为：.
16．【答案】 或
【解析】设点C到直线的距离为d，则，
所以点C的轨迹E为以点A为焦点，直线为准线的抛物线.
设抛物线方程为，∵，∴，
则E的标准方程为.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，
点，，所以圆心为点，
半径为2的圆被y轴截得的弦长为，不符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，则直线的方程为，
代入消去y得，成立，
设点，，则，.设中点为即圆心，
则，，所以半径，
被y轴截得的弦长为，解得，
所以直线l的方程为或，即或.
故答案为：；或
17．【解析】（1）∵，，∴，
∴；又∵，∴.∵，∴.
（2）在中，由（1）知，，，
由余弦定理可得，解得.
由正弦定理可得，解得；
∵，∴；
在中，由正弦定理得，则.
18．【解析】（1）∵，即.
设，∴，，∴，∴数列是首项为2.公比为2的等比数列
∴，∴，.
（2）由题可得.
∵，∴是增函数.又，，∴n的最小值为10.
19．【解析】（1）如图所示，
设的中点为O，的中点为F，连接，，，
则.
因为平面平面，平面平面，
所以平面.因为平面，所以，
所以即为直线与平面所成的角.
因为，则，所以.
在中，，，所以.
在中，，所以.
（2）解法一：因为点D，E分别为，边的中点，
所以.因为平面，平面，所以平面.
由（1）知，平面，又，
所以以点O为坐标原点，，，所在直线为
x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
，，所以，.
设平面的一个法向量为，
由得令，所以.因为，
设点O到平面的距离为d，则.
因为点O在直线上，所以直线到平面的距离等于.
解法二：如图，
因为点D，E分别为，边的中点，所以.
因为平面，平面，所以平面.
因为平面，平面，所以.
又，，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
因为平面平面，作交于点G，则平面.
在中，，
所以，.因为点O在直线上，所以直线到平面的距离等于.
20．【解析】（1）（ⅰ）由频率分布直方图可知用水量在范围内的居民户数的频率为，
所以抽取的200户居民用水量在范围内的居民户数为（户）.
（ⅱ）把用水量在范围内的居民户数的样本频率当成总体的频率，
估计全市118.2万户居民中有（万户）用水量在范围内.
（2）（ⅰ）把用水量在，，范围内的居民数分成三层，各层频率分别为，，，
所以用水量在范围内的应抽取（户），
用水量在范围内的应抽取（户），
用水量在范围内的应抽取（户）.
（ⅱ）记“3户分别来自3个不同范围”为事件A，把抽取的用水量在范围内的3户分别记为，，，把抽取的用水量在范围内的2户分别记为，，把抽取的用水量在范围内的1户记为c，
从6户中随机抽取3户的所有等可能的结果为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20种，其中3户分别来自3个不同范围的结果有6种，所以3户分别来自3个不同范围的概率.
21．【解析】（1）如图，连接，
∵点N为的垂直平分线上的点，
∴，而，
∴，
∴点N的轨迹是以为焦点的椭圆，且，，
∴，∴点N的轨迹C的方程为.
（2）当直线l的斜率不存在时，不满足题意；
当直线l斜率的存在时，设点，直线l的方程为，
联立消去y得∵，∴，
∴，.设点O到直线的距离为，
弦长，
∴
设，∴，
∴，
∴当时，取得最大值1，此时，，满足，
∴的最大值为1.
22．【解析】（1）∵，∴.
令函数，则，∴函数在上单调递增.
∵，，∴存在唯一使得，
∴函数在上单调递减，在上单调递增，∴函数存在极小值.
（2）∵，∴，即，∴，
即.设函数，，令，解得，
∴在上单调递减，在上单调递增，∴，
∴恒成立，即，
∴，
∴，∴，∴，故实数m的取值范围为.
