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华大实验学校2023-2024学年高二上学期9月月考
数学试卷
（时间：2023.09.26试卷满分：150分；考试时间：150分钟）
★祝考试顺利★
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.2
2.已知，则（ ）
A. B.i C.0 D.1
3.已知点，，则线段的中点关于平面对称的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
4.已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（ ）.
A. B.97 C. D.61
5.已知向量与的夹角为，且满足，，则在上的投影向量为（ ）
A.1 B. C. D.
6.已知向量、是平面内的两个不相等的非零向量，非零向量在直线上，则“且”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.如图，在正方体中，为的中点，若为底面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数是R上的奇函数，且，且当时，，则的值是（ ）
A.1 B. C.0 D.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9.如图正四棱柱，则下列向量相等的是（ ）
A.与 B.与 C.与 D.与
10.下列四个选项中说法正确的是（ ）
A.若是空间向量的一组基底，则也是空间的一组基底
B.若空间的三个向量，，共面，则存在唯一实数，，使
C.若两条不同的直线，的方向向量分别是，，
D.若两个不同的平面，的法向量分别为，，且，，则
11.已知函数的最小正周期为，则（ ）
A.函数图像关于点中心对称
B.在上单调递减
C.将曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像
D.直线是曲线的一条对称轴
12.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面，则（ ）
A. B.与平面所成角为
C.异面直线与所成角的余弦值为 D.平面与平面的夹角的余弦值为
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.若，，，则______.
14.在平行六面体中，，，分别在棱和上，且，.若，则______.
15.甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为，，则密码被成功破译的概率______.
16.在梯形中，，，，将沿折起，连接，得到三棱锥，当三棱锥的体积取得最大值时，该三棱锥的外接球的表面积为______.
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（10分）已知，.
（1）求与夹角的余弦值；
（2）当时，求实数的值.
18.（12分）已知，.
（1）求的最小正周期及单调递减区间；
（2）将函数的图象向左平移个单位，再将纵坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，求在区间的值域.
19.（12分）如图，在三棱柱中，侧面，都是正方形，为直角，，，分别为，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
20.（12分）在中，角，，所对的边分别为、、，满足
（1）求角的大小；
（2）若，且，，求的面积.
21.（12分）已知平行六面体中，各条棱长均为2，底面是正方形，且，设，，.
（1）用，，表示及求；
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
22.（12分）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）求样本成绩的第75百分位数；
（3）已知落在的平均成绩是61，方差是7，落在的平均成绩为70，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差.
华大实验学校2023-2024学年高二上学期9月月考
数学试卷参考答案
1.【答案】C
2.【答案】A
【分析】根据复数的除法运算求出，再由共轭复数的概念得到，从而解出.
【详解】因为，所以，即.故选：A.
3.【答案】A
【分析】求出的中点的坐标，再求出关于平面对称的点的坐标即可.
【详解】因为点，所以的中点，
所以关于平面对称的点的坐标为，故选：A.
4.【答案】C
【分析】根据空间向量数量积的定义可得，进而求出的值.
【详解】∵，∴，故选：C.
5.D
【分析】利用向量投影的公式求解.
【详解】向量在上的投影为，向量在上的投影向量为.故选：D.
6、【答案】B
【解析】
【分析】根据充分条件，必要条件的概念，及线面垂直的判定定理及性质，以及两非零向量垂直的充要条件即可判断.
【详解】解：①由，得，；
∵、所在直线不一定相交，所在直线为，
∴得不到，即且不是的充分条件；
②若，向量、所在直线在平面内，在直线上，
∴，，∴且，即且是的必要条件；
综上得且是的必要不充分条件，故选：B.
7.【答案】D
【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出，，利用向量关系即可求出.
【详解】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，
设，则，，，.
因为，，所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：D
8.【答案】A
【解析】
【分析】利用奇函数性质可知，由可知函数的周期性，从而可得结果.
【详解】解：因为函数是R上的奇函数，所以，
由得，，所以
所以函数为周期函数，周期为6，所以，
又，所以.故选：A
9.【答案】CD
【解析】
【分析】根据相等向量的定义，结合正四棱柱的结构特征依次判断选项即可.
【详解】由正四棱柱可知，
A：，但与方向相反，故A不符题意；
B：，但与方向不同，故B不符题意；
C：，且与方向相同，故C符题意；
D：，且与方向相同，故D符题意.故选：CD.
10.【答案】AC
【解析】
【分析】根据向量，，不共面得到A正确，当时，不一定存在实数，，使，故B错误，根据直线的方向向量的定义知C正确，计算得到，D错误，得到答案.
【详解】对于A：已知向量，，是空间的一组基底，即向量，，不共面，则向量，，也不共面，∴，，是空间的一个基底，故A正确；
对于B：当时，若三个向量，，共面，即与共面，则不一定存在实数，，使，故B错误；
对于C：根据直线的方向向量的定义可知，，故C正确；
对于D：∵两平面的法向量，，∴，即，∴，故D错误；故选：AC.
11.【答案】ABD
【解析】
【分析】根据条件求出的值，然后根据三角函数的知识逐一判断即可.
【详解】因为函数的最小正周期为，
所以，即，即，
因为，所以函数图像关于点中心对称，故A正确；
当时，，所以在上单调递减，故B正确；
将曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，故C错误；因为，所以直线是曲线的一条对称轴，故D正确：故选：ABD
12.【答案】AD
【解析】
【分析】连接，由已知结合余弦定理与勾股定理逆定理可得，于是可建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算逐项判断即可.
【详解】连接，因为，设，由余弦定理得，所以，则，
则，即，又底面，，底面，
所以，，如图，以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
对于A，所以，，则，所以，故A正确；
对于B，又，因为底面，所以是平面的一个法向量，所以，
则与平面所成角的正弦值为，即与平面所成角为，故B错误；
对于C，，，则，则异面直线与所成角的余弦值为，故C错误；
对于D，设平面的法向量为，则，令，则，
设平面的法向量为，则，令，则，
所以，则平面与平面的夹角的余弦值为，故D正确.故选：AD.
13.【答案】3
【解析】
【分析】先求出向量的和，再利用数量积的坐标形式可求数量积.
【详解】，，，
故，所以.故答案为：3.
14.【答案】
【解析】
【分析】依空间向量的加法、减法和数乘运算法则，以，，为基底表示出，由此求得，，，进而求得.
【详解】平行六面体中，，，
所以
.
由，所以，，，.故答案为：.
15.【答案】
【解析】
【分析】根据题意，由相互独立事件概率的乘法公式可得密码没有被破译的概率，进而由对立事件的概率性质分析可得答案.
【详解】解：根据题意，甲乙两人能成功破译的概率分别是，，
则密码没有被破译，即甲乙都没有成功破译密码的概率，
故该密码被成功破译的概率.故答案为：.
16.【答案】
【解析】
【分析】根据梯形的边长可求出，由几何体翻折过程中体积最大可得平面平面，由面面垂直性质可确定外接球的球心以及半径，即可求得其表面积.
【详解】过点作，垂足为，如图下图所示：
因为为等腰梯形，，，所以，，可得，
由余弦定理得，即，
易知，所以，
易知，当平面平面时，三棱锥体积最大，如图所示：
此时，平面，易知，，记为外接球球心，半径为，
由于平面，，因此到平面的距离，
又的外接圆半径，因此外接球半径，
即可得球的表面积为.故答案为：
【点睛】方法点睛：在求解几何体外接球问题时，需根据几何体的特征确定球心位置，再利用半径相等构造等量关系解出半径即可.
17.【答案】（1）（2）或
【解析】
【分析】（1）根据空间向量夹角公式求得正确答案.
（2）根据列方程，从而求得的值.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
由于，所以，所以，
，，解得或.
18.【答案】（1）；单调递减区间为，（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角函数恒等变换化简函数解析式可得，利用余弦函数的周期公式可求的最小正周期，利用余弦函数的单调性可求其单调递减区间；
（2）由已知利用三角函数的图象变换可求，由题意利用正弦函数的性质即可求解的值域.
【小问1详解】
因为
，则，所以的最小正周期为，
由，，解得，，所以的单调递减区间为，.
【小问2详解】
由（1）可得，将函数的图象向左平移个单位，再将纵坐标伸长为原来的2倍，得到图像，
所以
当时，，则，故，
即，所以函数的值域为.
19.【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
【分析】（1）连接，则由三角形中位线定理可得，然后由线面平行的判定定理可证得结论；
（2）由题意可得，，，所以以为原点，以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.
【小问1详解】
连接，在中，因为，是，的中点，所以，
又平面，平面所以平面.
【小问2详解】
在三棱柱中，因为侧面，都是正方形
所以，又为直角，所以.
所以以为原点，以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，设直线与平面所成的角为
设平面的法向量为，因为，，，
所以，令，则，
所以，所以直线与平面所成的角的正弦值为.
20.【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意由正弦定理和两角和的正弦公式可得，即可得；
（2）根据向量的比例关系可得，由余弦定理可解得，由面积公式即可求出结果.
【小问1详解】
在中，因为，
由正弦定理可得，所以，
又，，则，所以，因此.
【小问2详解】
由，且，，可得，，即；
在中，由余弦定理得，
即，即，解得或（舍）
所以；即的面积为.
21.【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据向量的线性运算可表示出，根据向量数量积的定义和运算律可求得，进而得到；
（2）利用向量数量积的定义和运算律可求得，由向量夹角运算求得，由此可得所求余弦值.
【小问1详解】
∵，
∴，∴.
【小问2详解】
∵，∴，
又，，∴，
∴异面直线与所成的角的余弦值是.
22.【答案】（1）（2）84（3），
【解析】
【分析】（1）根据图中小矩形面积之和可求得；
（2）利用频率分布直方图计算百分位数公式可得，第75百分位数为84；
（3）将总体平均数代入总体方差公式计算可得总方差为.
【小问1详解】
利用每组小矩形的面积之和为1可得，，
解得
【小问2详解】
成绩落在内的频率为，
落在内的频率为，
设第75百分位数为，由，得，故第75百分位数为84；
【小问3详解】
由图可知，成绩在的市民人数为，
成绩在的市民人数为，故；
由样本方差计算总体方差公式可得总方差为
