人教A版数学必修第一册综合测评
时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则( UA)∪B为( )
A．{1,2,4} B．{2,3,4}
C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}
2．已知条件p：|x－1|<2，条件q：x2－5x－6<0，则p是q的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．幂函数y＝f(x)的图象经过点，则满足f(x)＝27的x的值是 ( )
A. B．－ C．3 D．－3
4．函数f(x)＝2x－1＋log2x的零点所在的区间是( )
A. B. C. D．(1,2)
5．设a＝cos6°－sin6°，b＝，c＝ ，则有( )
A．a＞b＞c B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a
6. 函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为( )
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
7．当x>0时，若不等式x2－mx＋9>0恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，6) B．(－∞，6]
C．[6，＋∞) D．(6，＋∞)
8．锐角三角形的内角A，B满足tanA－＝tanB，则有( )
A．sin2A－cosB＝0 B．sin2A＋cosB＝0
C．sin2A－sinB＝0 D．sin2A＋sinB＝0
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．下列四个命题，其中是真命题的是( )
A．若x>1，则0.3x>0.3
B．若x＝log23，则x＋1＝
C．若sinx>，则cos2x<
D．若f(x)＝tanx，则f(x)＝f(x＋3)
10．如图，四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中正确的是( )
11．已知函数f(x)＝2sin(2x＋φ)(0<φ<π)，若将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于y轴对称，则下列结论中正确的是( )
A．φ＝
B.是f(x)图象的一个对称中心
C．f(φ)＝－2
D．x＝－是f(x)图象的一条对称轴
12．已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，对于任意x∈R，都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，当x1，x2∈[0,3]，且x1≠x2时，都有>0，下列命题正确的是( )
A．f(x)的周期为6
B．直线x＝－6是函数y＝f(x)的图象的一条对称轴
C．函数y＝f(x)在[－9，－6]上单调递增
D．函数y＝f(x)在[－9,9]上有四个零点
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．已知命题p： x∈R，x2－x＋＞0，则p为________．
14．定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且f＝0，则f(logx)<0的解集为____________________．
15．函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ)的最大值为________．
16．已知函数f(x)＝则f(f(4))＝________，若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)计算下列各式的值：
(1)1.5 eq \s\up15(－) ×0＋80.25×－ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up15( ) )；
(2)(log33 eq \s\up15( ) )2＋log0.25＋9log5－log 1.
18．(本小题满分12分)已知tan＝.
(1)求tanα的值；
(2)求的值．
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝loga(2x＋1)，g(x)＝loga(1－2x)(a＞0，且a≠1)．
(1)求函数F(x)＝f(x)－g(x)的定义域；
(2)判断F(x)＝f(x)－g(x)的奇偶性，并说明理由；
(3)确定x为何值时，有f(x)－g(x)＞0.
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2cos＋2sin.
(1)求函数f(x)的单调递减区间；
(2)求函数f(x)的最大值并求f(x)取得最大值时的x的取值集合；
(3)若f(x)＝，求cos的值．
21．(本小题满分12分)某建筑工地要建造一批简易房，供群众临时居住，房形为长方体，高2.5米，前后墙用2.5米高的彩色钢板，两侧用2.5米高的复合钢板，两种钢板的价格都用长度来计算(即钢板的高均为2.5米，用长度乘以单价就是这块钢板的价格)，每米单价：彩色钢板为450元，复合钢板为200元，房顶用其他材料建造，每平方米材料费为200元，每套房材料费控制在32000元以内．
(1)设房前面墙的长为x，两侧墙的长为y，一套简易房所用材料费为p，试用x，y表示p；
(2)一套简易房面积S的最大值是多少？当S最大时，前面墙的长度是多少？
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝1－.
(1)求函数f(x)的定义域，判断并证明f(x)的奇偶性；
(2)用单调性的定义证明函数f(x)在其定义域上是增函数；
(3)解不等式f(3m＋1)＋f(2m－3)<0.
人教A版数学必修第一册综合测评
时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则( UA)∪B为( )
A．{1,2,4} B．{2,3,4}
C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}
答案 C
解析 ∵全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，∴ UA＝{0,4}，又B＝{2，4}，∴( UA)∪B＝{0,2,4}．故选C.
2．已知条件p：|x－1|<2，条件q：x2－5x－6<0，则p是q的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 命题p：－1＜x＜3，记A＝{x|－1＜x＜3}，命题q：－1＜x＜6，记B＝{x|－1＜x＜6}，∵A?B，∴p是q的充分不必要条件．
3．幂函数y＝f(x)的图象经过点，则满足f(x)＝27的x的值是 ( )
A. B．－ C．3 D．－3
答案 A
解析 设幂函数为f(x)＝xα，因为图象过点，所以有－＝(－2)α，解得α＝－3，所以幂函数的解析式为f(x)＝x－3，由f(x)＝27，得x－3＝27，所以x＝.
4．函数f(x)＝2x－1＋log2x的零点所在的区间是( )
A. B. C. D．(1,2)
答案 C
解析 ∵函数f(x)＝2x－1＋log2x，f＝－1，f(1)＝1，∴ff(1)＜0，故连续函数f(x)的零点所在的区间是，故选C.
5．设a＝cos6°－sin6°，b＝，c＝ ，则有( )
A．a＞b＞c B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a
答案 C
解析 ∵a＝cos6°－sin6°＝sin30°cos6°－cos30°sin6°＝sin24°，b＝＝tan26°，c＝ ＝sin25°，∴a＜c＜b.
6. 函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为( )
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
答案 D
解析 由图象可知＋φ＝＋2mπ，＋φ＝＋2mπ，m∈Z，所以ω＝π，φ＝＋2mπ，m∈Z，所以函数f(x)＝cos＝cos的单调递减区间为2kπ<πx＋<2kπ＋π，k∈Z，即2k－
A．(－∞，6) B．(－∞，6]
C．[6，＋∞) D．(6，＋∞)
答案 A
解析 由题意，得当x>0时，mx
8．锐角三角形的内角A，B满足tanA－＝tanB，则有( )
A．sin2A－cosB＝0 B．sin2A＋cosB＝0
C．sin2A－sinB＝0 D．sin2A＋sinB＝0
答案 A
解析 由已知tanA－＝tanB，∴tanA－＝tanB，＝tanB.tanB·＝－1，tanBtan2A＝－1.sinBsin2A＝－cosBcos2A，
∴cos(2A－B)＝0.∵A，B为锐角，∴2A－B＝，
∴sin2A＝sin＝cosB，即sin2A－cosB＝0.
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．下列四个命题，其中是真命题的是( )
A．若x>1，则0.3x>0.3
B．若x＝log23，则x＋1＝
C．若sinx>，则cos2x<
D．若f(x)＝tanx，则f(x)＝f(x＋3)
答案 BCD
解析 对于A，由y＝0.3x在R上单调递减，且x>1，可得0.3x<0.3，故A是假命题；对于B，若x＝log23，可得2x＝3，x＋1＝×＝，故B是真命题；对于C，若sinx>，可得cos2x＝1－2sin2x<1－2×＝，故C是真命题；对于D，若f(x)＝tanx，可得f(x)的最小正周期为3，即有f(x＋3)＝f(x)，故D是真命题．
10．如图，四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中正确的是( )
答案 BCD
解析 对于A，水面的高度h随时间t的增大匀速增大，A错误；对于B，水面的高度h随时间t的增大而增大，其增大速度越来越慢，B正确；对于C，水面的高度h随时间t的增大而增大，其增大速度先是越来越慢，后是越来越快，C正确；对于D，水面的高度h随时间t的增大而增大，其增大速度先是越来越快，后是越来越慢，D正确．故选BCD.
11．已知函数f(x)＝2sin(2x＋φ)(0<φ<π)，若将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于y轴对称，则下列结论中正确的是( )
A．φ＝
B.是f(x)图象的一个对称中心
C．f(φ)＝－2
D．x＝－是f(x)图象的一条对称轴
答案 AD
解析 由题意得，平移后的函数g(x)＝f＝2sin的图象关于y轴对称，则－＋φ＝＋kπ，k∈Z，因为0<φ<π，所以φ＝，故A正确；因为f(x)＝2sin，由2x＋＝kπ，k∈Z，得对称中心的横坐标为－＋，k∈Z，故不是f(x)图象的一个对称中心，故B不正确；因为f(φ)＝2sin＝2sin＝2，故C不正确；由2x＋＝＋kπ，k∈Z，得x＝－＋，k∈Z，所以x＝－是f(x)图象的一条对称轴，故D正确．故选AD.
12．已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，对于任意x∈R，都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，当x1，x2∈[0,3]，且x1≠x2时，都有>0，下列命题正确的是( )
A．f(x)的周期为6
B．直线x＝－6是函数y＝f(x)的图象的一条对称轴
C．函数y＝f(x)在[－9，－6]上单调递增
D．函数y＝f(x)在[－9,9]上有四个零点
答案 ABD
解析 对于任意x∈R，都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，令x＝－3，则f(－3＋6)＝f(－3)＋f(3)，又因为f(x)是R上的偶函数，所以f(3)＝0，所以f(x＋6)＝f(x)，所以f(x)的周期为6，A正确；因为f(x)是R上的偶函数，所以f(x＋6)＝f(－x)，而f(x)的周期为6，所以f(x＋6)＝f(－6＋x)，f(－x)＝f(－x－6)，所以f(－6－x)＝f(－6＋x)，所以直线x＝－6是函数y＝f(x)的图象的一条对称轴，B正确；当x1，x2∈[0,3]，且x1≠x2时，都有>0，所以函数y＝f(x)在[0,3]上单调递增，因为f(x)是R上的偶函数，所以函数y＝f(x)在[－3,0]上单调递减，而f(x)的周期为6，所以函数y＝f(x)在[－9，－6]上单调递减，C错误；f(3)＝0，f(x)的周期为6，所以f(－9)＝f(－3)＝f(3)＝f(9)＝0，所以函数y＝f(x)在[－9,9]上有四个零点，D正确．故选ABD.
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．已知命题p： x∈R，x2－x＋＞0，则p为________．
答案 x∈R，x2－x＋≤0
解析 全称量词命题的否定是存在量词命题，注意：一是要改变相应的量词；二是要否定结论．
14．定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且f＝0，则f(logx)<0的解集为____________________．
答案 ∪(2，＋∞)
解析 因为定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，所以在(－∞，0]上单调递增．又f＝0，所以f＝0，由f(logx)<0可得logx<－或logx>，解得x∈∪(2，＋∞)．
15．函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ)的最大值为________．
答案 1
解析 函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ)＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sinφcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)cosφ＋cos(x＋φ)sinφ－2sinφcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)cosφ－cos(x＋φ)sinφ＝sin(x＋φ－φ)＝sinx，故函数f(x)的最大值为1.
16．已知函数f(x)＝则f(f(4))＝________，若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．
答案 1 (1,2)
解析 f(f(4))＝f＝f(2)＝log22＝1.关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，等价于函数f(x)与函数y＝k的图象有两个不同的交点，作出函数的图象如图，由图可知实数k的取值范围是(1,2)．
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)计算下列各式的值：
(1)1.5 eq \s\up15(－) ×0＋80.25×－ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up15( ) )；
(2)(log33 eq \s\up15( ) )2＋log0.25＋9log5－log 1.
解
(2)(log33 eq \s\up15( ) )2＋log0.25＋9log5－log1＝2＋1＋9×－0＝＋1＋＝.
18．(本小题满分12分)已知tan＝.
(1)求tanα的值；
(2)求的值．
解 (1)∵tan＝＝＝，解得tanα＝－.
(2)原式＝＝＝＝－.
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝loga(2x＋1)，g(x)＝loga(1－2x)(a＞0，且a≠1)．
(1)求函数F(x)＝f(x)－g(x)的定义域；
(2)判断F(x)＝f(x)－g(x)的奇偶性，并说明理由；
(3)确定x为何值时，有f(x)－g(x)＞0.
解 (1)要使函数有意义，则有
∴.
(2)F(x)＝f(x)－g(x)＝loga(2x＋1)－loga(1－2x)，
F(－x)＝f(－x)－g(－x)＝loga(－2x＋1)－loga(1＋2x)＝－F(x)．
∴F(x)为奇函数．
(3)∵f(x)－g(x)＞0，∴loga(2x＋1)－loga(1－2x)＞0，
即loga(2x＋1)＞loga(1－2x)．
①当0＜a＜1时，0＜2x＋1＜1－2x，∴－＜x＜0.
②当a＞1时，2x＋1＞1－2x＞0，∴0＜x＜.
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2cos＋2sin.
(1)求函数f(x)的单调递减区间；
(2)求函数f(x)的最大值并求f(x)取得最大值时的x的取值集合；
(3)若f(x)＝，求cos的值．
解 (1)f(x)＝2cosxcos＋2sinxsin－2cosx
＝cosx＋sinx－2cosx＝sinx－cosx
＝2sin.
令2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，
∴2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴函数f(x)的单调递减区间为
(k∈Z)．
(2)当f(x)取最大值2时，x－＝2kπ＋(k∈Z)，则x＝2kπ＋(k∈Z)．
∴f(x)的最大值是2，取得最大值时的x的取值集合是.
(3)f(x)＝，即2sin＝，
∴sin＝.
∴cos＝1－2sin2＝1－2×2＝.
21．(本小题满分12分)某建筑工地要建造一批简易房，供群众临时居住，房形为长方体，高2.5米，前后墙用2.5米高的彩色钢板，两侧用2.5米高的复合钢板，两种钢板的价格都用长度来计算(即钢板的高均为2.5米，用长度乘以单价就是这块钢板的价格)，每米单价：彩色钢板为450元，复合钢板为200元，房顶用其他材料建造，每平方米材料费为200元，每套房材料费控制在32000元以内．
(1)设房前面墙的长为x，两侧墙的长为y，一套简易房所用材料费为p，试用x，y表示p；
(2)一套简易房面积S的最大值是多少？当S最大时，前面墙的长度是多少？
解 (1)依题意得前后两面墙的钢板费用均为450x，两侧墙的钢板费用均为200y，房顶面积为xy，房顶材料费用为200xy，∴一套简易房所用材料费为p＝900x＋400y＋200xy.
(2)∵S＝xy，
∴p＝900x＋400y＋200xy≥2＋200S＝200S＋1200，
又p≤32000，∴200S＋1200≤32000，
化简，得S＋6－160≤0，解得－16≤≤10，
又S>0，∴0
即x＝，y＝15时S取得最大值．
∴每套简易房面积S的最大值是100平方米，当S最大时，前面墙的长度是米．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝1－.
(1)求函数f(x)的定义域，判断并证明f(x)的奇偶性；
(2)用单调性的定义证明函数f(x)在其定义域上是增函数；
(3)解不等式f(3m＋1)＋f(2m－3)<0.
解 (1)∵3x>0，∴3x＋1≠0，
∴函数f(x)的定义域为R，即(－∞，＋∞)，f(x)是奇函数．
证明如下：∵f(x)的定义域为R，
又f(x)＝1－＝＝，
∴f(－x)＝＝＝＝－f(x)，
∴f(x)是定义在R上的奇函数．
(2)证明：任取x1，x2∈R，且x1
＝，
∵x1
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)
(3)由f(3m＋1)＋f(2m－3)<0，得f(3m＋1)<－f(2m－3)，
∵函数f(x)为奇函数，∴－f(2m－3)＝f(3－2m)，
∴f(3m＋1)
∴f(3m＋1)
则不等式f(3m＋1)＋f(2m－3)<0的解集为.
