萨尔图区东风中学2023-2024学年高二上学期10月月考模拟数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.若复数满足，则在复平面内对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知，是单位向量，若，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
3.在空间中，，，，，表示直线，表示平面，则下列命题正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
4.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄的分布饼状图、后从事互联网行业者的岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是
注：后指年及以后出生，后指年之间出生，前指年及以前出生
A. 互联网行业从业人员中后占一半以上
B. 后互联网行业者中从事技术岗位的人数超过后总人数的
C. 互联网行业中从事运营岗位的人数后比前多
D. 互联网行业中从事技术岗位的人数后比后多
5.足球点球大战中，每队派出人进行点球，假设甲队每人点球破门的概率都是，乙队每人点球破门的概率都是，若甲队进球的概率为，乙队队进球的概率为，则( )
A. B. C. D. ，大小关系无法确定
6.如图，空间四边形中，，，，点在上，且满足，点为的中点，则( )
A. B.
C. D.
7.如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且与，的夹角都等于若是的中点，则( )
A. B. C. D.
8.锐角中，角、、所对的边分别为、、，若，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知的角，，所对的边分别为，，，且，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 为等腰非等边三角形 D. 为等边三角形
10.某市共青团委统计了甲、乙两名同学近十期“青年大学习”答题得分情况，整理成如图所示的茎叶图则下列说法中正确的是( )
A. 甲得分的分位数是 B. 乙得分的众数是
C. 甲得分的中位数小于乙得分的中位数 D. 甲得分的极差等于乙得分的极差
11.下列描述正确的是( )
A. 若事件，满足，则与是对立事件
B. 若，，，则事件与相互独立
C. 掷两枚质地均匀的骰子，“第一枚出现奇数点”与“第二枚出现偶数点”不是互斥事件
D. 一个袋子中有个红球，个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出两球，第二次取到红球的概率是
12.如图，在正方体中，点为棱的中点，则下列说法正确的是( )
A.
B. 平面
C. 与所成角的正弦值为
D. 直线与平面所成角的正切值为
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知向量，，若，，则
14.如图：为了测量河对岸的塔高，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与，现测得米，且在点和测得塔顶的仰角分别为和，又，则塔高 米
15.已知正三棱柱的底面边长为，三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的表面积为______
16.如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，，，则的长为
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
某校从高一班和班的某次数学考试的成绩中各随机抽取了份数学成绩组成一个样本，如茎叶图所示试卷满分为分．
试计算这份成绩的中位数；
用各班的样本方差比较两个班的数学学，哪个班更稳定一些？
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，且，是的中点．
Ⅰ求证：直线平面；
Ⅱ求直线与平面的夹角的正弦值．
19.本小题分
甲、乙俩人各进行次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为．
Ⅰ记甲击中目标的次数为，求的概率分布及数学期望；
Ⅱ求乙至多击中目标次的概率；
Ⅲ求甲恰好比乙多击中目标次的概率．
20.本小题分
某学校有学生人，为了解学生对本校食堂服务满意程度，随机抽取了名学生对本校食堂服务满意程度打分，根据这名学生的打分，绘制频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为．
求频率分布直方图中的值，并估计该校学生满意度打分不低于分的人数；
若打分的平均值不低于分视为满意，判断该校学生对食堂服务是否满意？并说明理由同一组中的数据用该组区间中点值为代表；
若采用分层抽样的方法，从打分在的受访学生中随机抽取人了解情况，再从中选取人进行跟踪分析，求这人至少有一人评分在的概率．
21.本小题分
如图，四棱锥中，底面，，，，为的中点．
Ⅰ证明：平面；
Ⅱ若是边长为的等边三角形，求点到平面的距离．
22.本小题分
如图，四棱锥的底面为菱形，平面平面，，，，为的中点．
证明：；
求二面角的余弦值．萨尔图区东风中学2023-2024学年高二上学期10月月考模拟
数学试题 答案版
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.若复数满足，则在复平面内对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
解：由，得 ，所以，故在复平面内对应的点位于第一象限
2.已知，是单位向量，若，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
【答案】D
解：由已知 ，是单位向量，，所以，所以
所以在方向上的投影向量为
3.在空间中，，，，，表示直线，表示平面，则下列命题正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
【答案】D
解：若，，则和相交平行或在内，故A错误
当与，与为异面垂直时，与可能异面或相交，故B错误
若，，则有可能在内，故C错误
若，则与内所有直线都垂直，因为，所以也与内所有直线都垂直，则正确，故D正确
4.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄的分布饼状图、后从事互联网行业者的岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是
注：后指年及以后出生，后指年之间出生，前指年及以前出生
A. 互联网行业从业人员中后占一半以上
B. 后互联网行业者中从事技术岗位的人数超过后总人数的
C. 互联网行业中从事运营岗位的人数后比前多
D. 互联网行业中从事技术岗位的人数后比后多
【答案】D
解：在中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图得到互联网行业从业人员中后占，故A正确
在中，由后从事互联网行业岗位分布条形图得到从事技术岗位的人数占，而互联网行业中后占，，超过总人数的，故B正确
在中，后从事运营岗位的人数占其，而互联网行业从业人员中后占，，而互联网行业从业人员中前仅占，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、后从事互联网行业岗位分布条形图得到：互联网行业中从事运营岗位的人数后比前多，故C正确
在中，由得互联网行业中从事技术岗位的后人数占整个互联网行业总人数的，而互联网行业从业人员中后占，故互联网行业中从事技术岗位的人数后不一定比后多，故D错误
5.足球点球大战中，每队派出人进行点球，假设甲队每人点球破门的概率都是，乙队每人点球破门的概率都是，若甲队进球的概率为，乙队队进球的概率为，则( )
A. B.
C. D. ，大小关系无法确定
【答案】A
解：甲队进球的概率为，
乙队队进球的概率为，
则．
6.如图，空间四边形中，，，，点在上，且满足，点为的中点，则( )
A. B.
C. D.
【答案】C
解：由，点为的中点，可得，
又，．
7.如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且与，的夹角都等于若是的中点，则( )
A. B. C. D.
【答案】A
解：，，
是的中点
，
8.锐角中，角、、所对的边分别为、、，若，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
解：由及正弦定理得
即，所以
因为，所以
由为锐角得，由题意得，解得，则
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知的角，，所对的边分别为，，，且，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 为等腰非等边三角形 D. 为等边三角形
【答案】ABD
解：对于，由正弦定理及知，
因为，所以，又，所以，故A正确
对于，由平面向量的加法运算法则知，与的角平分线共线
因为为等边三角形，所以，即，故B正确
对于与，由余弦定理知，，因为，所以
整理得，即，所以为等边三角形，即选项C错误，故D正确
10.某市共青团委统计了甲、乙两名同学近十期“青年大学习”答题得分情况，整理成如图所示的茎叶图则下列说法中正确的是( )
A. 甲得分的分位数是 B. 乙得分的众数是
C. 甲得分的中位数小于乙得分的中位数 D. 甲得分的极差等于乙得分的极差
【答案】BCD
解：甲的得分从小到大依次为：，，，，，，，，，，
乙的得分从小到大依次为：，，，，，，，，，，
A、因为，所以甲得分的分位数是，所以不正确
B、由众数的定义知：乙得分的众数是，所以B正确
C、甲得分的中位数是，乙得分的中位数是因为，所以甲得分的中位数小于乙得分的中位数，所以C正确
D、甲得分的极差为，乙得分的极差为，所以甲得分的极差等于乙得分的极差，所以D正确
11.下列描述正确的是( )
A. 若事件，满足，则与是对立事件
B. 若，，，则事件与相互独立
C. 掷两枚质地均匀的骰子，“第一枚出现奇数点”与“第二枚出现偶数点”不是互斥事件
D. 一个袋子中有个红球，个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出两球，第二次取到红球的概率是
【答案】BC
解：对于，例如，投掷一枚质地均匀的骰子，记事件为“点数为，，”，事件为“点数为，，”，
则，但是，不是对立事件，故A不正确
对于，，，故B正确
对于，掷两枚质地均匀的骰子，“第一枚出现奇数点”与“第二枚出现偶数点”能同时发生，所以不是互斥事件，故C正确
对于，若第一次摸到红球，则第二次摸到红球的概率为
若第一次摸到绿球，则第二次摸到红的概率为，所以第二次摸到红球的概率为，故D不正确
12.如图，在正方体中，点为棱的中点，则下列说法正确的是( )
A.
B. 平面
C. 与所成角的正弦值为
D. 直线与平面所成角的正切值为
【答案】ACD
解：如图，连接，由题易得，，又，所以平面又平面，所以，A正确
若平面，因为平面平面，所以，与题意不符，不正确
因为，所以为与所成的角或其补角，连接，
设正方体的棱长为，易得平面
所以E.因为，，
由余弦定理可得，所以C正确
因为为在平面上的射影，所以为直线与平面所成的角
可得，所以D正确
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知向量，，若，，则
【答案】
解：根据题意，设，向量，
若，，则，解得，，则
14.如图：为了测量河对岸的塔高，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与，现测得米，且在点和测得塔顶的仰角分别为和，又，则塔高 米
【答案】
解：由题意知，，
设，则，
在中，，
由余弦定理得，即
故，即米
15.已知正三棱柱的底面边长为，三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的表面积为______
【答案】
解：如图，因为正三棱柱的底面边长为，所以底面所在平面截其外接球所得圆的半径
而三棱柱的高为，则球心到圆的圆心的距离，因此球的半径满足：，即有，因此可得：外接球的表面积
16.如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，，，则的长为
【答案】
解：由条件，知，
所以
所以
四、解答题（本大题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
某校从高一班和班的某次数学考试的成绩中各随机抽取了份数学成绩组成一个样本，如茎叶图所示试卷满分为分．
试计算这份成绩的中位数
用各班的样本方差比较两个班的数学学，哪个班更稳定一些？
解：从茎叶图中可以看到，这份成绩按从小到大排列，第个是，第个是，所以中位数为
由表中数据，易得班的份成绩的平均数
班的份成绩的平均数
所以班的份成绩的方差为
班的份成绩的方差为
所以有，说明班成绩波动较小，班两极分化较严重些，所以班成绩更稳定．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，且，是的中点
Ⅰ求证：直线平面
Ⅱ求直线与平面的夹角的正弦值
【答案】Ⅰ证明：平面，平面
，又，
、平面
平面
Ⅱ以为原点，分别以、、为，，轴建立空间直角坐标系，如图
设，则，，
，故，
，设平面的法向量为
由得，取，设直线与平面所成角为，因为，
所以，即直线与平面所成角的正弦值为．
19.本小题分
甲、乙俩人各进行次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为
Ⅰ求乙至多击中目标次的概率
Ⅱ求甲恰好比乙多击中目标次的概率
解：（Ⅰ）
（Ⅱ）设甲恰比乙多击中目标2次为事件A，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件B1，甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次为事件B2，则A=B1+B2，B1，B2为互斥事件，
P（A）=P（B1）+P（B2）=+= ∴甲恰好比乙多击中目标2次的概率为．
20.本小题分
某学校有学生人，为了解学生对本校食堂服务满意程度，随机抽取了名学生对本校食堂服务满意程度打分，根据这名学生的打分，绘制频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为．
求频率分布直方图中的值，并估计该校学生满意度打分不低于分的人数
若打分的平均值不低于分视为满意，判断该校学生对食堂服务是否满意？并说明理由同一组中的数据用该组区间中点值为代表
若采用分层抽样的方法，从打分在的受访学生中随机抽取人了解情况，再从中选取人进行跟踪分析，求这人至少有一人评分在的概率
【答案】解：由频率分布直方图可知，
，解得
该校学生满意度打分不低于分的人数为人
打分平均值为：．
所以该校学生对食堂服务满意
由频率分布直方图可知：打分在和内的频率分别为和
抽取的人采用分层抽样的方法，在内的人数为人，在内的人数为人
设内的人打分分别为内的人打分分别为
则从的受访学生中随机抽取人，人打分的基本事件有：，，共种．
其中两人都在内的可能结果为，
则这人至少有一人打分在的概率．
21.本小题分
如图，四棱锥中，底面，，，，为的中点
Ⅰ证明：平面
Ⅱ若是边长为的等边三角形，求点到平面的距离
【答案】解：Ⅰ证明：取中点，连接，
，又面，所以面
，
又，四边形为平行四边形，得
又面，所以面
又，，平面
平面平面，而平面
平面
Ⅱ解：是边长为的等边三角形 ，
不妨设点到平面的距离为，则，即
22.本小题分
如图，四棱锥的底面为菱形，平面平面，，，，为的中点
证明：
求二面角的余弦值
【答案】证明：取的中点，连接，，
底面为菱形，
、分别为，的中点，
，为的中点，
又平面平面，平面平面，平面
平面，
，、都在平面中
平面
平面
解：连接
底面为菱形，
，为等边三角形
又为的中点，
平面，，
、、两两垂直
以、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直接坐标系
则，，
为平面的法向量
设平面的法向量
，
则，即，取，则
由题意可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为
