第02讲 线段垂直平分线的性质和判定（知识解读+真题演练+课后巩固)
知识点1 ：线段垂直平分线
1．定义
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．
2．线段垂直平分线的作图
1． 分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点；
2． 作直线 CD，CD 为所求直线
知识点2 ：线段垂直平分线性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
知识点3：线段的垂直平分线逆定理
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
【题型1 线段垂直平分线的性质在线段中的应用】
【典例1】
（2023 邵阳县二模）
1．如图所示，在中，的垂直平分线分别交于E、D两点，且，，则的周长是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【变式1-1】
（2022秋 防城港期末）
2．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式1-2】
（2023春 新城区校级月考）
3．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，D．若的周长为8，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1-3】
（2023春 新城区校级月考）
4．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，D．若的周长为8，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型2 线段垂直平分线的性质在求角中的应用】
【典例2】
（2023春 青羊区期末）
5．如图，在中，是边的垂直平分线，分别交于D、E两点，连接，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】
（2023 西湖区校级二模）
6．如图，中，，的垂直平分线与的角平分线交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】
（2022秋 曲靖期末）
7．如图，在中，，是边的垂直平分线，垂足为E，交于F．是边的垂直平分线，垂足为M，交于N．连接、则的度数是（ ）
A．70 B．55 C．40 D．30
【变式2-3】
（2022秋 青县期末）
8．如图，在中，，，的垂直平分线分别交于点D，E，连接，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【题型3 线段垂直平分线的性质在实际中的应用】
【典例3】
（2022秋 东昌府区校级期末）
9．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个公园，要使公园到三个村庄的距离相等，那么这个公园应建的位置是的（ ）
A．三条高线的交点 B．三边垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点
【变式3-1】
（2022春 于洪区期末）
10．如图，电信部门要在公路l旁修建一座移动信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇M，N的距离必须相等，则发射塔应该建（ ）
A．A处 B．B处 C．C处 D．D处
【变式3-2】
（2022秋 天心区期中）
11．在国家精准扶贫政策的指导下，在镇党委的大力扶持下，有两个村庄P、Q都开发了绳网项目，生产体育绳网、安全绳网等．为了让绳网通过互联网迅速销往各地，当地政府准备在两个村庄的公路m旁建立公用5G移动通信基站，要使基站到两个村庄的距离相等，那么基站应该建立在（ ）
A．A处 B．B处 C．C处 D．D处
【变式3-3】
（2022秋 平城区校级期末）
12．近年来，高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目，如图，A，B，C三地都想将高铁站的修建项目落户在当地．但是，国资委为了使A，B，C三地的民众都能享受高铁带来的便利，决定将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，则高铁站应建在（ ）
A．AB，BC两边垂直平分线的交点处 B．AB，BC两边高线的交点处
C．AB，BC两边中线的交点处 D．∠B，∠C两内角的平分线的交点处
【题型4 线段垂直平分线的性质的综合应用】
【典例4】
（2022秋 宁乡市期末）
13．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，且．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【变式4-1】
（2022秋 天河区校级期末）
14．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，的周长为，，求的周长．
【变式4-2】
（2022春 永丰县期中）
15．如图，在Rt△ABC中DE为AB的垂直平分线．
(1)如果AC=6cm，BC=8cm，试求△ACD的周长；
(2)如果∠CAD：∠BAD=1：2，求∠B的度数．
【变式4-3】
（2022秋 垣曲县期末）
16．如图，直线l与m分别是边和的垂直平分线，l与m分别交边于点D和点E．
(1)若，则的周长是多少？为什么？
(2)若，求的度数．
【题型5 线段垂直平分线的判定】
【典例5】
（秋 南安市期末）
17．（1）求证：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．（要求：画出图形，写出已知，求证和证明过程）
（2）用（1）中的结论解决：如图，△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，BE平分∠ABC， 求证：点E在线段AB的垂直平分线上．
【变式5】
18．如图，P为∠MON平分线上一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，求证：OP垂直平分AB．
【题型6 线段垂直平分线的作法】
【典例6】
（2022秋 杭州期中）
19．如图：直线m表示一条公路，A、B表示两所大学．要在公路旁修建一个车站P使到两所大学的距离相等，请在图上找出这点P．（尺规作图，保留作图痕迹）
【变式6-1】
（2020 宜昌）
20．如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且，我们知道按如图所作的直线为线段的垂直平分线．下列说法正确的是（ ）．
A．是线段的垂直平分线 B．是线段的垂直平分线
C．是线段的垂直平分线 D．是的垂直平分线
【变式6-2】
（秋 丰台区期末）
21．下面是小东设计的“作△ABC中BC边上的高线”的尺规作图过程．
已知：△ABC．
求作：△ABC中BC边上的高线AD．
作法：如图，
①以点B为圆心，BA的长为半径作弧，以点C为圆心，CA的长为半径作弧，两弧在BC下方交于点E；
②连接AE交BC于点D．
所以线段AD是△ABC中BC边上的高线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵ =BA， =CA，
∴点B，C分别在线段AE的垂直平分线上（ ）（填推理的依据）．
∴BC垂直平分线段AE．
∴线段AD是△ABC中BC边上的高线．
【题型7 线段垂直平分线的判定与性质的综合】
【典例7】
（2022春 甘孜州期末）
22．如图，已知中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧交边，于点M 和N ，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结并延长交于点D．
(1)求证：点D在线段的垂直平分线上；
(2)若的面积为3，求的面积．
【变式7】
（2022秋 牡丹江期中）
23．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．
（1）若BC=10，求△ADE的周长；
（2） 设直线DM、EN交于点O
①试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由；
②若∠BAC=100°，求∠BOC的度数
（2023 南宁一模）
24．如图，的垂直平分线交于点D，，，则的周长为（ ）
A．6 B．10 C．16 D．18
（2023 贵阳模拟）
25．如下图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口，尽快抓住老鼠，应该蹲在（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三条边的中线的交点
C．三条高的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
（2021 河北）
26．如图，直线，相交于点．为这两直线外一点，且．若点关于直线，的对称点分别是点，，则，之间的距离可能是（ ）
A．0 B．5
C．6 D．7
（2023 碑林区校级模拟）
27．如图，在中，边的垂直平分线交于点，交于点，已知，的周长为，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
（2022 青海）
28．如图，在RtABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=10°，则∠C的度数为 °．
（2020 南京）
29．如图，线段AB、BC的垂直平分线、相交于点，若39°，则= ．
（2020 牡丹江）
30．在中，垂直平分斜边，分别交于D、E．若，求．
31．如图，△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB，若AC＝12，EC＝5，且△ACE的周长为30，则BE的长为（ ）
A．5 B．10 C．12 D．13
32．如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，交于点E，边的垂直平分线交于点F，交于点G，连接，．则的度数（ ）
A． B． C． D．
33．到三角形三个顶点的距离都相等的点是（ ）
A．两条中线的交点
B．两条高的交点
C．两条角平线的交点
D．两条边的垂直平分线的交点
34．如图，在中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若的周长为13，BE=5，则的周长为（ ）
A．14 B．28 C．18 D．23
35．温江进行河边公园改造，如图，江安河公园有三角形草坪（△ABC），现准备在该三角形草坪内种一棵树，使得该树到△ABC三个顶点的距离相等，则该树应种在（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点
B．三个角的角平分线的交点
C．三角形三条高的交点
D．三角形三条中线的交点
36．如图，线段AC的垂直平分线交AB于点D，∠A＝43°，则∠BDC的度数为（ ）
A．90° B．60° C．43° D．86°
37．如图，中，的平分线交于D，过点D作，，垂足为点E、F，下面四个结论中：①；②垂直平分；③；④，正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
38．如图，，，则下列判断正确的是（ ）
A．垂直平分 B．垂直平分
C．与互相垂直平分 D．平分
39．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，DB=12cm，则AC=（ ）
A．4cm B．5m C．6cm D．7cm
40．在△ABC中，∠B=60°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，若AE=BC，则∠A=
41．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°．
（1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D；
②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．
42．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点E，且，△BCE的周长等于．
(1)求BC的长；
(2)若，并且．求证：．
参考答案：
1．B
【分析】根据垂直平分线的性质得，然后将的周长转化为即可；
【详解】解：为线段的垂直平分线，
，
的周长，
，，
的周长．
故选：B．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练运用线段垂直平分线的性质是解题关键．
2．C
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝EA＝4，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，AE＝4，
∴EB＝EA＝4，
∴BC＝EB＋EC＝4＋2＝6，
故选：C．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
3．C
【分析】根据线段的垂直平分线的性质求出，求出，即可得出答案．
【详解】解：∵在中，的垂直平分线分别交，于点E，D，
∴，
∵周长为8，，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
4．C
【分析】根据线段的垂直平分线的性质求出，求出，即可得出答案．
【详解】解：∵在中，的垂直平分线分别交，于点E，D，
∴，
∵周长为8，，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
5．D
【分析】利用垂直平分线的性质，可得，根据三角形内角和定理，可得的度数．
【详解】解：是边的垂直平分线，
，
根据三角形内角和定理，可得，
故选：D．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟练利用垂直平分线的性质是解题的关键．
6．A
【分析】根据角平分线的定义得出，再根据垂直平分线的性质得到，最后根据等边对等角得到结果．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，垂直平分线的性质，等边对等角，属于基本知识，这几个知识点经常组合考查，关键是要能够将它们关联起来．
7．C
【分析】根据垂直平分线的性质得，，再由等边对等角，以及三角形内角和定理求出所求角度数即可．
【详解】解：∵是边的垂直平分线，是边的垂直平分线，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解本题的关键．线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
8．A
【分析】由线段的垂直平分线交于D，交于E，可得，继而求得的度数，再由三角形的外角性质和三角形的内角和即可求得答案．
【详解】解：∵线段的垂直平分线交于D，交于E，
∴，
∴，
∵
∴，
∵,
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的外角性质，三角形的内角和以及等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
9．B
【分析】直接根据线段垂直平分线的性质即可得出结论．
【详解】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等，
∴这个公园应建的位置是的三边垂直平分线的交点上，
故选：B．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质．理解线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键．
10．C
【分析】利用垂直平分线的性质即可判断．
【详解】如图，可知两个圆弧交点所连直线为线段MN的垂直平分线，
根据垂直平分线的性质，可得发射塔应该在C处，
故选：C．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的实际应用，理解中垂线的性质是解题关键．
11．B
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等进行求解即可．
【详解】由题意知，村庄P．Q连线的垂直平分线与公路的交点就是所求，即选在点B，
故选B．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知性质是解题的关键．
12．A
【分析】根据线段垂直平分线的性质可直接进行求解．
【详解】解：因为决定将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，所以高铁站应建在AB，BC两边垂直平分线的交点处，
理由是线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；
故选A．
【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
13．(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）连接，根据线段垂直平分线的性质得到，证明，根据等腰三角形的三线合一性质即可证得结论；
（2）由可得，由外角的性质可得，由可得，进而求出，由三角形内角和定理即可求出的度数．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∵为线段的中点，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵是的外角，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】此题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质及等腰三角形的性质是解题的关键．
14．
【分析】根据垂直平分线的性质可得，根据 周长为，根据中点的性质以及，可得的长，进而即可求得周长．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，，
∴的周长，
又∵，
∴，
∴的周长．
【点睛】此题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案；
（2）根据等腰三角形的性质得到，根据直角三角形的两锐角互余计算即可．
【详解】（1）解：为的垂直平分线，
，
的周长；
（2）解：设，则，
，
，
，
，
解得：，
则．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
16．(1)10；理由见解析
(2)
【分析】（1）依据线段垂直平分线的性质可得，然后根据三角形周长公式求解即可；
（2）依据，即可得到，再根据三角形内角和定理，即可得到，进而得到，再根据进行计算即可．
【详解】（1）的周长为10．
∵直线l与m分别是边和的垂直平分线，
∴，
∴的周长；
（2）∵直线l与m分别是边和的垂直平分线，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
17．（1）详见解析；（2）详见解析.
【分析】（1）先画出图形，写出已知、求证，过Q作MN⊥AB于C，推出∠QCA=∠QCB=90°，根据HL推出Rt△QCA≌Rt△QCB，根据全等三角形的性质得出AC=BC，即可得出答案；（2）根据题意可得∠CBA=60°，由角平分线可得∠ABE=30°，即可证明∠ABE=∠A，可得BE=AE，根据（1）即可证明结论.
【详解】(1)已知：如图，QA=QB.
求证：点Q在线段AB的垂直平分线上．
证明：过点Q作MN⊥AB，垂足为点C.则∠QCA=∠QCB=90°
在Rt△QCA和Rt△QCB中，
∵QA=QB ,QC=QC
∴Rt△QCA≌Rt△QCB(H.L.)
∴AC=BC
∴点Q在线段AB的垂直平分线上．
即到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．
（2）证明：∵∠C=90°∠A=30°，
∴∠ABC=90° 30°=60°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠ABC=×60°=30°，
∴∠A=∠ABE，
∴EA=EB，
∴点E在线段AB的垂直平分线上．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题关键.
18．证明见解析
【分析】因为角度是一个轴对称图形，它的对称轴是这个角的角平分线，因此OM与ON关于OP对称，PA⊥OM ，PB⊥ON，PA＝PB，A点和B点关于OP对称，OP垂直平分AB．
【详解】证明：∵PA⊥OM ，PB⊥ON ∴∠OAP=∠OBP=90
又∵∠AOP=∠BOP OP=OP
∴△OAP≌△OBP（AAS）
∴OA=OB，则△OAB为等腰三角形
OP是∠AOB的平分线，OP垂直平分AB
【点睛】考点：1．角平分线的性质；2．等腰三角形的性质；3．三角形全等的判定和性质．
19．答案见详解
【分析】连接AB．根据“到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”知，点P应是线段AB的垂直平分线与直线m的交点．
【详解】解：如图所示，点P是AB的垂直平分线与直线m的交点．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质和作图能力，属基础题．
20．A
【分析】根据垂直平分线的定义判断即可．
【详解】
∵为线段的垂直平分线,
∴FO=GO,
又∵EF=GH,
∴EO=HO,
∴是线段的垂直平分线,故A正确
由上可知EO≠QO,FO≠OH,故B、C错误
∵是直线并无垂直平分线，故D错误
故选：A．
【点睛】本题考查垂直平分线的定义,关键在于牢记基础知识．
21．（1）作图见解析；（2）AB；EC；到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上.
【分析】（1）根据要求画出图形即可；
（2）根据线段的垂直平分线的判定即可解决问题.
【详解】（1）图形如图所示：
（2）理由：连接BE，EC．
∵AB=BE，EC=CA，
∴点B，点C分别在线段AE的垂直平分线上（到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上），
∴直线BC垂直平分线段AE，
∴线段AD是△ABC中BC边上的高线．
故答案为BE，EC，到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．
【点睛】本题考查线段的垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识．
22．(1)见解析
(2)6
【分析】（1）根据直角三角形的性质求出，根据尺规作图得出 是的角平分线，根据等腰三角形的判定定理得到，根据线段垂直平分线的判定定理证明结论；
（2）根据含角的直角三角形的性质得到， 进而得出，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】（1）证明：∵， ，
∴，
根据作图方法可知， 是 的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴点D 在线段的垂直平分线上；
（2）在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴ ．
【点睛】本题考查了尺规作图—作角平分线，垂直平分线的判定，含30度角直角三角形的性质等知识，熟知作角平分线的步骤是解题的关键．
23．（1）10；（2）点O是否在BC的垂直平分线上，理由见解析；（3）160°
【分析】（1）由在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，根据线段垂直平分线的性质可得AD=BD，AE=CE，继而可得△ADE的周长=BC；
（2）①连接OB，OA，OC，证明OB=OC即可；
②根据题意得∠BOC=2∠MON,由四边形内角和可得∠BOC的度数.
【详解】（1）∵在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，
∴AD=BD，AE=CE，
又∵BC=10，
∴△ADE周长为：AD+DE+AE=BD+DE+EC=BC=10；
（2）①如图，连接OB，OA，OC，
∵MO是AB的垂直平分线，NO是AC的垂直平分线，
∴BO=AO，CO=AO，
∴BO=CO，
∴O在BC的垂直平分线上；
②∵OM⊥AB，ON⊥AC，
∴∠AMO=∠ANO=90°，
∵∠BAC=100°，
∴∠MOM=360°-∠AMO-∠BAC-∠ANO=80°;
∵MO是AB的垂直平分线，NO是AC的垂直平分线，
∴∠BOM=∠AOM，∠CON=∠AON，
∴∠BOC=2∠MON=160°．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用
24．C
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，然后问题可求解．
【详解】解：∵的垂直平分线交于点D，
∴，
∵，，
∴；
故选C．
【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
25．D
【分析】根据题意，知猫应该到三个洞口的距离相等，则此点就是三角形三边垂直平分线的交点．
【详解】解：∵三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，
∴猫应该蹲守在△ABC三边垂直平分线的交点处．
故选D．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，掌握三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等是本题的解题关键．
26．B
【分析】连接根据轴对称的性质和三角形三边关系可得结论．
【详解】解：连接，如图，
∵是P关于直线l的对称点，
∴直线l是的垂直平分线，
∴
∵是P关于直线m的对称点，
∴直线m是的垂直平分线，
∴
当不在同一条直线上时，
即
当在同一条直线上时，
故选：B
【点睛】此题主要考查了轴对称变换，熟练掌握轴对称变换的性质是解答此题的关键
27．D
【分析】由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质得到线段相等，进行线段的等量代换后将的周长转化为，据此即可求解．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴；，
∵的周长为，
∴，即
∴的周长为
．
的周长是．
故选：D．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质；根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，得到，是正确解答本题的关键．
28．40°
【分析】根据直角三角形的性质求得∠AEB=80°；根据线段垂直平分线的性质得AE=CE，则∠C=∠EAC，再根据三角形的外角的性质即可求解．
【详解】解：∵∠B=90°，∠BAE=10°，
∴∠BEA=80°．
∵ED是AC的垂直平分线，
∴AE=EC，
∴∠C=∠EAC．
∵∠BEA=∠C+∠EAC，
∴∠C=40°．
故答案为：40°．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，涉及到三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质的知识，难度适中．
29．78
【分析】如图，利用线段垂直平分线的性质结合三角形外角性质得到∠AOC=∠2+∠3=2(∠A+∠C)，再利用垂直的定义结合三角形外角性质得到∠AOG =51-∠A，∠COF =51-∠C，利用平角的定义得到∠AOG+∠2+∠3+∠COF+∠1=180，计算即可求解．
【详解】如图，连接BO并延长，
∵、分别是线段AB、BC的垂直平分线，
∴OA=OB，OB=OC，∠ODG=∠OEF=90，
∴∠A=∠ABO，∠C=∠CBO，
∴∠2=2∠A，∠3=2∠C，∠OGD=∠OFE=90-39=51，
∴∠AOC=∠2+∠3=2(∠A+∠C)，
∵∠OGD=∠A+∠AOG，∠OFE=∠C+∠COF，
∴∠AOG =51-∠A，∠COF =51-∠C，
而∠AOG+∠2+∠3+∠COF+∠1=180，
∴51-∠A+2∠A+2∠C+51-∠C+39=180，
∴∠A+∠C=39，
∴∠AOC=2(∠A+∠C)=78，
故答案为：78．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，垂直的定义，平角的定义，注意掌握辅助线的作法，注意掌握整体思想与数形结合思想的应用．
30．
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，从而得到，进而得到，继而得到，即可求解．
【详解】解：∵垂直平分斜边，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．
31．D
【分析】根据垂直平分线的性质可得BE＝AE，根据已知条件求得AE，即可求解．
【详解】解：∵ED垂直平分AB，
∴BE＝AE，
∵AC＝12，EC＝5，且△ACE的周长为30，
∴12+5+AE＝30，
∴AE＝13，
∴BE＝AE＝13，
故选：D．
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线是解题的关键．
32．B
【分析】根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：∵边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点F，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，熟练掌握各性质定理并熟练运用是解题的关键．
33．D
【分析】根据三角形垂直平分线的性质求解即可．
【详解】解：∵线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，
∴到三角形三个顶点的距离都相等的点是两条边的垂直平分线的交点．
故选：D．
【点睛】此题考查了三角形垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形垂直平分线的性质．
34．D
【分析】利用线段的垂直平分线的性质证明△ABD的周长＝AB＋AC，再求出BC＝2BC解答即可．
【详解】解：∵BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E，
∴DB＝DC，BE＝EC，
∵BE＝5，
∴BC＝10，
∵△ABD的周长＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋DC＝AB＋AC＝13，
∴△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝13＋10＝23，
故选：D．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
35．A
【分析】根据线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等进行判断即可得到答案．
【详解】∵线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，
∴到△ABC三个顶点的距离相等的点是△ABC三条边的垂直平分线的交点，
故选：A．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
36．D
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，根据等腰三角形的性质得到∠DCA=∠A，根据三角形的外角的性质计算即可．
【详解】∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴DA=DC，
∴∠DCA=∠A=43°，
∴∠BDC=∠DCA+∠A=86°，
故选D．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质和三角形的外角的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
37．A
【分析】根据角平分线的性质得到，根据垂直的定义、等腰三角形的性质判断①；根据线段垂直平分线的判定定理判断②；根据三角形的面积公式判断③，结合题意判断④．
【详解】解：∵的平分线交于D，，，
∴，
∴，又，
∴，①正确；
∵，
∴，又，
∴垂直平分，②正确；
，③正确；
由垂直平分，若，则，由题意，不一定垂直，故与不一定平行，④错误，
故选：A．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的判定、角平分线的性质定理，掌握角平分线上任意一点，到角两边的距离相等是解题的关键．
38．A
【分析】根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：在与中，
，
，
，
垂直平分，
故选：．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
39．C
【详解】解：连接AD．
∵AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，DB=12cm，
∴AD=BD=12cm，∠B=∠BAD=15°；
又∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，
∴∠DAC=60°，
∴∠ADC=30°，
∴AC=AD=6cm．
故选C．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等）．解答本题的关键是线段垂直平分线的性质求得AD=BD=12cm，及∠ADC=30°．
40．40°
【分析】如图，连接BE，根据线段垂直平分线的性质得到AE=BE，求得∠A=∠ABE，由三角形外角的性质得到∠BEC=∠A+∠ABE=2∠A，根据三角形的内角和定理即可得到答案．
【详解】解：如图，连接BE，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠A=∠ABE，
∴∠BEC=∠A+∠ABE=2∠A，
∵AE=BC，
∴BE=BC，
∴∠C=∠BEC=2∠A，
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴∠A+2∠A+60°=180°，
∴∠A=40°，
故答案为：40°．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
41．（1）①见解析；②见解析；（2）∠DAE∠DAC＝40°
【分析】（1）根据垂直平分线与角平分线的尺规作图方法即可求解；
（2）根据垂直平分线的性质得到DB＝DA，求出∠CAD=80°，再利用角平分线的性质即可求解．
【详解】解：（1）如图，点D，射线AE即为所求．
（2）∵DF垂直平分线段AB
∴DB＝DA
∴∠DAB＝∠B＝30°
∵∠C＝40°
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣40°＝110°
∴∠CAD＝110°﹣30°＝80°
∵AE平分∠DAC
∴∠DAE∠DAC＝40°．
【点睛】此题主要考查垂直平分线与角平分线，解题的关键是熟知尺规作图的方法．
42．(1)9cm
(2)见解析
【分析】（1）由线段垂直平分线的性质求出AE=BE，由此得到△BCE的周长= BC+AC=24cm，即可求出BC的长；
（2）利用等边对等角的性质求出∠C的度数，再利用等腰三角形的性质及外角性质求出∠BEC的度数，推出∠C=∠BEC，即可得到结论．
【详解】（1）解：∵MN垂直平分线AB，
∴AE=BE，
∴△BCE的周长=BC+CE+BE=BC+CE+AE=BC+AC=24cm，
∵AC=15cm，
∴BC=24-15=9cm；
（2）证明：∵，．
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∵AE=BE，
∴∠A=∠ABE，
∴∠BEC=∠A+∠ABE=72°，
∴∠C=∠BEC，
∴．
【点睛】此题考查等腰三角形的等边对等角的性质，等腰三角形等角对等边的判定，三角形的外角的性质，线段垂直平分线的性质，熟记线段垂直平分线的性质推出AE=BE是解题的关键．
