绵阳市名校2023-2024学年高三上学期第一次月考
理科数学试题
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1. 若集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 命题“，”的否定为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3．函数的零点为，且，，则（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
4．已知函数的最小正周期是，当时，函数取得最小值，则（ ）
A． B． C． D．
5. 在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度（单位：）与燃料的质量（单位：），火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是．当燃料质量与火箭质量的比值为时，火箭的最大速度可达到．若要使火箭的最大速度达到，则燃料质量与火箭质量的比值应为（ ）
A． B． C． D．
6．已知等差数列，其前项和满足，则（ ）
A．4 B． C． D．3
7. 已知点在幂函数的图象上，设，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
8．若：实数使得“”为真命题，：实数使得“”为真命题，则是的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．部分图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
10．设函数，则使得的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．若函数周期为2，且时，，已知函数则函数在区间内的零点个数为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．11
12．函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且满足，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若实数满足约束条件，则的最大值为 .
14．已知函数，则 .
15．若，则的最小值是 .
16. 设定义在上的函数与的导函数分别为和， 若，， 且为奇函数， 则下列说法中一定正确的是 .
（1）函数的图象关于对称 （2）
（3） （4）
三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知数列的前项和为，且满足.
(1) 求数列的通项公式；
(2) 记，求数列的前项和.
18．已知函数在时取得极大值4.
(1) 求实数的值；
(2) 求函数在区间上的最值.
记的内角所对边分别为．已知．
求的大小；
若，再从下列条件①，条件②中任选一个作为已知，求的面积．
条件①：；条件②：．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
20．已知函数（），（）．
(1) 若函数在处的切线方程为，求实数与的值；
(2) 当时，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围．
21．已知函数．
(1) 讨论函数的单调区间；
(2) 当时,设的两个极值点恰为
的零点，求的最小值．
请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
22．已知在直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），曲线的参数方程是（为参数），点.
(1) 将曲线的方程化为普通方程，并指出曲线是哪一种曲线；
(2) 直线与曲线交于点，当时，求直线的斜率.
23．设函数，为不等式的解集.
(1) 求；
(2) 证明：当时，.
绵阳市名校2023-2024学年高三上学期第一次月考
参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A C B B D A C A D C C B
14. 15. 16.①③
17.（1）依题意，
当时，.
两式相减，得，即，
当时，有，解得.
（2）由（1）可知，所以.
则，
所以，
18.（1），由题意得，解得.
此时，，
当时，，所以在单调递增，
当时，，所以在单调递减，
当时，，所以在单调递增，
所以在时取得极大值.
所以.
（2）由（1）可知，在单调递增，在单调递减，在单调递增.
又因为，，，，
所以函数在区间上的最大值为4，,最小值为0.
19.（1），
由正弦定理知，即．
在中，由，．
．．．
（2）若选择条件①，由正弦定理，得．
．又，即．．
．
若选择条件②，由，即．
设．则．
由，得．．
．
20.（1），由得，
∴，，即切点为，代入方程得，所以，；
（2）法1：∵时，在恒成立，
故在为增函数，∴，，
分离参数可得：存在，，.
法2：由题意可得时，．
∵时，在恒成立，
故在为增函数，∴，．
①当时， 在区间上递增，所以，
由解得，舍去；
②当时，在上单调递减，在上单调递增，
故，故，解得或，∴；
③当时，在区间上递减，所以，
由解得，∴.综上，.
21.函数，，；
当时，由解得，即当时，，单调递增；
由解得，即当时，，单调递减；
当时，，即在上单调递增；
当时，，故，即在上单调递增；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，；
当时，的单调递增区间为； （5分）
，则，
的两根，即为方程的两根；又，
△，，； （6分）
又，为的零点，，，
两式相减得，得，而，
（8分）
令，由得，
因为，两边同时除以，得，
，故，解得或，；（10分）
设，，则在，上是减函数，
，即的最小值为．
22.（1）参数方程化为普通方程可得曲线的普通方程是，曲线是圆.
（2）点满足：所以，即.因为，所以.从而.所以.
据此可得直线的斜率为.
23.（1）
①当时，由得，解得；即；
②当时，由得，解得，即；
③当时，由得，解得，此时，这样的x不存在.
所以的解集.
（2）证明：由（1）知，当时，，，
从而，
因此，即得证.
