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山西省部分学校大联考2024届高三上学期10月质量检测
数学
全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．设函数则（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知一组正数的方差为，则另一组数据，的平均数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则（ ）
A． B． C．2 D．4
8．已知定义在上的函数满足，当时，，若，其中，则当取最小值时，（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
9．关于的不等式对任意恒成立的充分不必要条件有（ ）
A． B． C． D．
10．把函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的两倍，再把所得到的曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于点成中心对称
B．函数在上的值域为
C．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为
D．函数在上有2个零点
11．已知数列的前项和为，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．数列的前100项的和为
12．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在上单调递增 B．是函数的极值点
C．过原点仅有一条直线与曲线相切 D．若，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量，若，则________．
14．科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级可定义为．在2021年3月13日下午，江西鹰潭余江区发生里氏3.1级地震，2020年1月1日，四川自贡发生里氏级地震，若自贡地震所散发出来的相对能量程度是余江地震所散发出来的相对能量程度的100倍，则________．
15．已知椭圆，偶函数，且，则椭圆的离心率的取值范围是________．
16．在三棱锥中，，则三棱锥的外接球的半径为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知指数函数在其定义域内单调递增．
（1）求函数的解析式；
（2）设函数，当时．求函数的值域．
18．（本小题满分12分）
已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直．
（1）求的解析式及的值；
（2）当时，恒成立，求的取值范围．
19．（本小题满分12分）
近日，某企业举行“猜灯谜，闹元宵”趣味竞赛活动，每个员工从8道谜语中一次性抽出4道作答．小张有6道谜语能猜中，2道不能猜中；小王每道谜语能猜中的概率均为，且猜中每道谜语与否互不影响．
（1）分别求小张，小王猜中谜语道数的分布列；
（2）若预测小张猜中谜语的道数多于小王猜中谜语的道数，求的取值范围．
20．（本小题满分12分）
在钝角中，内角所对的边分别为，且有．
（1）求；
（2）若点在边上，，求．
21．（本小题满分12分）
如图，已知抛物线与圆交于四点，直线与直线相交于点．
（1）求的取值范围；
（2）求点的坐标．
22．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，若为函数的正零点，证明：．
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参考答案、提示及评分细则
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C D B C B B A D AC BC ACD ACD
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】C
【解析】由，有，若，有．故选C．
2．【答案】D
【解析】由，可知复数在复平面内所对应的点位于第四象限．故选D．
3．【答案】B
【解析】由，有．故选B．
4．【答案】C
【解析】由，有，解得，有．故选C．
5．【答案】B
【解析】是偶函数，，当时，，，，在上单调递增，综上所述．故选B．
6．【答案】B
【解析】由，有且，可得，故数据的平均数为．故选B．
7．【答案】A
【解析】设，有，可得函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，函数的图象相当于函数的图象向下平移两个单位，可得函数的图象关于点对称，由对称性可知．故选A．
8．【答案】D
【解析】根据可得的图象关于对称，，，的周期为4，，，，，，，，，当且仅当，即时，等号成立，．故选D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．【答案】AC
【解析】根据题意得，解得，所以满足题意的选项有AC．故选AC．
10．【答案】BC
【解析】，由于，可知A选项错误；又由当时，，有，可知B选项正确；
当时，，若函数单调递减，必有，可得，可知C选项正确；
又由当时，，可得此时函数在上有3个零点，可知D选项错误．故选BC．
11．【答案】ACD
【解析】当时，有，可得；当时，，有，有，可得数列是以2为首项，1为公差的等差数列，有，可得．
对于A选项，有，故A选项正确；
对于B选项，有，故B选项错误；
对于C选项，有，故C选项正确；
对于D选项，，可得数列的前100项的和为，故D选项正确．故选ACD．
12．【答案】ACD
【解析】由，可得函数单调递增，此时不是极值点，可得选项A正确，选项B错误；对于选项C，设切点的坐标为，过的切线方程为，代入原点的坐标有，整理为，令，有，当时，；当时，，有，可得函数单调递增，又由，可得函数在区间内有且仅有一个零点，故过原点仅有一条直线与曲线相切，选项C正确；对于D选项，若，有，由函数单调递增，有，令，有．令，有（当且仅当时取等号），可得函数单调递增，又由，可得函数的减区间为，增区间为，可得，故成立，选项D正确．故选ACD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．【答案】
【解析】由，有，解得．
14．【答案】4.3
【解析】设里氏3.1级地震所散发出来的能量为，里氏级地震所散发出来的能量为，则①，②，②-①得，又由，有，可得．
15．【答案】
【解析】是偶函数，，，，，又，，．
16．【答案】
【解析】如图，由，可得，又由，可得点到底面的垂足为的外心，即的中点，显然三棱锥外接球的球心在直线上，设，在中，有，解得．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．【答案】（1） （2）
【解析】（1）是指数函数，且在其定义域内单调递增，，
解得或（舍），；
（2），
，令，
，
，
的值域为．
18．【答案】（1）
【解析】（1），令，
，
，直线的斜率为，切线与此直线垂直，
，且，
解得；
（2）依题意，则，
，等价于恒成立，
令，
且，
可得函数在上单调递增，，
的取值范围为．
19．【答案】（1）分布列见解析 （2）
【解析】（1）设小张猜中谜语的道数为，可知随机变量服从超几何分布，的取值分别为2，3，4．
有，，，
故小张猜中谜语道数的分布列为
2 3 4
设小王猜中谜语的道数为，可知随机变量服从二项分布的取值分别为0，1，2，3，4，
有，
，
，
，
．
故小王猜中谜语道数的分布列为
0 1 2 3 4
（2）由（1）可知，
若预测小张猜中谜语的道数多于小王猜中谜语的道数，则，可得．
20．【答案】（1） （2）
【解析】（1）由正弦定理及，有，
又由，有，
有，
则，
有，
又由钝角，有，上式可化为，
有，
有，
有，可得；
（2）由，有，
又由，可得，有，
可得，
又由，可得，
有．
21．【答案】（1） （2）
【解析】（1）圆的方程可化为．
将抛物线的方程代入圆的方程有，
由抛物线与圆相交有四个交点，必有解得，
故的取值范围为；
（2）设点的坐标分别为，
由对称性可知，点在轴上，点的坐标为，
由（1）可知，有，可得，直线的斜率为，直线的斜率为，
有，有，有，可得，
又由，有，
故点的坐标为．
22．【答案】（1）详解见解析 （2）略
【解析】（1）解：函数的定义域为．
，
①当即时，，函数单调递增，增区间为，没有减区间；
②当时，由，可得函数的减区间为，增区间为；
③当时，由，可得函数的减区间为，增区间为；
（2）证明：当时，由及函数的减区间为，增区间为，可知等价于．
又由，等价于证明，
又由，
令，有，
可得
，
令，有，
可得函数单调递减，有，可得当时，．
故有，可得得证．
