数学试卷参考答案
一、单选题
1．【详解】由集合A的描述知：是除以3余数为1的整数，
显然，而，
所以，有2个元素.
故选：B
2．【详解】由特称命题的否定为全称命题，则原命题的否定为.
故选：B
3．【详解】由题意可知，M中必含元素1，2，且至少含有3，4，5中的一个，
于是集合M的个数等价于集合的非空真子集的个数，即．
故选：B.
4．【详解】解：因为p是q的充分不必要条件，
所以 ，则m≤－1，
故选：D.
5．【详解】，，，，只有B正确．
故选：B．
6．【详解】对于A，由可得，
所以的解集为，故A正确；
对于B，，
所以的解集为，故B错误；
对于C，可化为，
，所以的解集为，故C错误，
对于D，由可得，
所以的解集为空集，故D错误；
故选：A.
7．【详解】不等式恒成立，所以，则，
令，，则，当时，取得最大值，最大值为0，
所以，解得或.
故选：D.
8．【详解】因为，所以，则，
当且仅当，即，时，等号成立.
故选：D.
二、多选题
9．【详解】对于选项A，为有限集，故选项A正确；
对于选项B，若，则，故选项B错误；
对于选项C，，若，则当为空集时，符合题意；当不为空集时，此时，且或，解得或，所以，故选项C错误；
对于选项D，根据有理数的定义，若，则正确，故选项D正确；
故选：AD.
10．【详解】对A，，得到：或，由可以得到，但是，若，显然成立，但不成立，故A正确；
易知B错误；
对C，由“且”，显然可以得出“”，故C错误；
对D，且，则由无法得到，但是由可以得到，故D正确.
故选：AD.
11．【详解】A选项，①，
但是无解，所以①等号不成立，所以A选项错误.
B选项，当时，，
，
当且仅当时等号成立，所以B选项正确.
C选项，当时，，
所以，
当且仅当时等号成立，所以C选项正确.
D选项，是正数，
，
当且仅当时等号成立，所以D选项正确.
故选：BCD
12．【详解】关于x的不等式的解集为，
所以二次函数的开口方向向上，即，故选项A正确；
因为是方程的根，所以，解得，
所以 也即，解得，故选项B正确；
不等式等价于，也即，解得或，故选项C错误，
因为或，所以，故选项D正确，
故选:ABD．
三、填空题
13．【详解】，解得.
故答案为：
14．【详解】命题p：恒成立，若p是真命题，
则：，
命题q：，使得成立，
若命题q为真命题，
则.
所以命题q是假命题时，，
综上，参数a的取值范围为：，
即
故答案为：
15．【详解】因为集合，，
所以或，又，
所以，解得,
即的取值范围为.
故答案为：．
16．【详解】由，可得，
由题意：
当，即时，不等式的解集为；
若满足解集中仅有四个整数，为，则，此时，
又，所以
②当，即时，不等式的解集为；
若满足解集中仅有四个整数，为，则，
此时，与矛盾；
③当时，即，不等式的解集为，不符合题意；
④当，即时，不等式的解集为；
若满足解集中仅有四个整数，可能为，，或，
当整数解为时，，且，无解，
当整数解为时， 且，解得，
当整数解为时，且，无解；
综上知，实数的取值范围是.
故答案为：
四、解答题
17．【详解】（1）原式=+=.
（2）原式=．
由补集的定义可知， ，.
18．【详解】（1）由条件可得，
∴．
（2）由条件可得，而，
则，即实数a的取值范围为．
19．【详解】（1）因为为真命题，所以方程有解，即，
所以，即；
（2）因为是的必要不充分条件，所以 ，
所以，且等号不会同时取得，
解得，
综上，.
20．【详解】（1）因为，
所以 ,
当且仅当 即 时取等号，
所以的最小值是8 .
（2）由，
得，，所以
，
当且仅当即时，等号成立.
故的最小值为10.
21．【详解】原不等式可化为.
（1）当时，有.
（2）当时， 式，
当时，，∴或.
当时，，，此时.
③ 当时，.∴或.
（3）当时，式，∵，∴.∴.
综上所述，原不等式的解集:
当时，为；
当时，为；
当时，为；
当时，为；
当时，为.
22．【详解】（1）．
因为，所以.
由，得，即，
所以，又，
所以实数的取值范围是．
（2）因为 ．
又因为，所以，
所以（当且仅当时取“”）
所以，即当万元时，取最大值36万元．
答：常州市政府的专项补贴为3万元时，该制衣有限公司假期间加班生产所获收益最大．常州市重点中学2023-2024学年高一上学期10月学情阶段调研（一）
数 学
（考试时间：120分钟 满分150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．
1．已知集合，，则中的元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知集合M满足 M ，则所有满足条件的集合M的个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．已知条件p：，q：，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列各等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列四个不等式中解为一切实数的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知关于不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
8．已知，，且，则的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．3
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分．
9．下列说法中，正确的有（ ）
A．集合是有限集
B．若，则（为全集）
C．集合，，若，则
D．若，则
10．下面命题正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．命题“若，则”的是真命题
C．设，则“且”是“”的必要不充分条件
D．设，则“”是“”的必要不充分条件
11．下列命题中正确的是（ ）
A．的最小值是2
B．当时，的最小值是4
C．当时，的最大值是5
D．若正数满足，则的最小值为3
12．已知关于x的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．不等式的解集为
D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．不等式的解集是 ．
14．已知命题p：，命题q：，使得成立，若p是真命题，q是假命题，则实数a的取值范围为 ．
15．设为实数，集合，，若，则实数的取值范围为 ．
16．若，关于的不等式的解集中有且仅有四个整数，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)
化简求值:
（1）；
（2）(a>0，b>0)．
18．(本小题满分12分)
已知集合．
（1）求；
（2）若集合，满足，求实数a的取值范围．
19．(本小题满分12分)
已知命题，当命题为真命题时，实数的取值集合为．
（1）求集合；
（2）设集合，若“”是“”的必要且不充分条件，求实数的取值范围．
20．(本小题满分12分)
求解下列各题：
（1）求的最小值；
（2）已知，且，求的最小值．
21．(本小题满分12分)
解关于的不等式: ．
22．(本小题满分12分)
近日，随着假期来临，常州市政府积极制定政策，决定政企联动，决定为某制衣有限公司在假期间加班生产提供（万元）的专项补贴．该制衣有限公司在收到市政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）．同时该制衣有限公司生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额政府专项补贴成本．
（1）求该制衣有限公司假期间，加班生产所获收益（万元）关于专项补贴（万元）的表达式，并求当加班生产所获收益不低于35万元时，实数的取值范围；
（2）常州市政府的专项补贴为多少万元时，该制衣有限公司假期间加班生产所获收益（万元）最大？
