专题08圆的对称性（4个知识点6种题型1个易错考点2种中考考法）
【目录】
倍速学习五种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1：圆的对称性
知识点2：圆心角、弧、弦的关系
知识点3：垂径定理
知识点4：垂径定理的应用
【方法二】 实例探索法
题型1：圆的旋转不变性
题型2：圆的轴对称与中心对称
题型3：圆心角、弧、弦的关系
题型4：垂径定理
题型5：垂径定理的应用
题型6：分类讨论
【方法三】 差异对比法
易错点：没有进行分类讨论导致错误
【方法四】 仿真实战法
考法1:垂径定理
考法2：圆心角、弧、弦的关系
【方法五】 成果评定法
【学习目标】
1.理解圆的对称性；
2.掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用．
3.掌握垂径定理及其推论；
4.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.
【知识导图】
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1：圆的对称性
（1）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心
（2）圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。
知识点2：圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）圆心角的度数与它所对的弧的度数相等
注意：
（1）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
（2）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
知识点3：垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
知识点4：垂径定理的应用
垂径定理的应用很广泛，常见的有：
（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．
【方法二】实例探索法
题型1：圆的旋转不变性
【例1】
1．如图，三圆同心于O，，于O，则图中阴影部分面积为 cm2．
【变式1】
2．生活中处处有数学，下列原理运用错误的是 ．
A．建筑工人砌墙时拉的参照线是运用“两点之间线段最短”的原理
B．修理损坏的椅子腿时斜钉的木条是运用“三角形稳定性”的原理
C．测量跳远的成绩是运用“垂线段最短”的原理
D．将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”原理
【变式2】
（2022秋 惠山区期中）
3．如图，已知AB是⊙O的直径，弦于H，若，则图中阴影部分的面积为 ．
题型2：圆的轴对称与中心对称
【例2】
4．下列关于图形对称性的命题，正确的是（ ）
A．圆既是轴对称性图形，又是中心对称图形
B．正三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形
C．线段是轴对称图形，但不是中心对称图形
D．菱形是中心对称图形，但不是轴对称图形
【变式1】
5．世界上因为有了圆的图案，万物显得更富有生机，以下图形(如图)都有圆，它们看上去是多么美丽和谐，这正是因为圆具有轴对称性．
(1)图中的三个图形是轴对称图形的有_________；(分别用三个图的序号填空)
(2)请你再画出与上面图案不重复的两个与圆相关的轴对称图案．
【变式2】
6．下面是由半径相同的圆组成的花瓣，观察图形，回答下列问题：
(1)是轴对称图形的有 ，是中心对称图形的有 （分别用图形的代码填空）．
(2)若“花瓣”在圆中是均匀分布的，试根据（1）小题的结果总结“花瓣”的个数与花瓣图形的对称性（轴对称或中心对称）之间的规律．
【变式3】
7．画一画：
世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机，以下来自现实生活的图中都有圆：它们看上去多么美丽与和谐，这正是因为圆具有轴对称和中心对称性．
(1)请问图中三个图形中是轴对称图形的有 ，是中心对称图形的有 （分别用三个图的代号、、填空）．
(2)请你在图、两个圆中，按要求分别画出与、、图案不重复的图案（草图）（用尺规画或徒手画均可，但要尽可能准确些，美观些）．是轴对称图形但不是中心对称图形；既是轴对称图形又是中心对称图形．
题型3：圆心角、弧、弦的关系
【例3】
（2022秋 溧水区期中）
8．如图，C是弧的中点，弦，，且，则弧所在圆的半径为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．10
【变式1】
（2022秋 淮阴区月考）
9．如图，是上四点，且，求证：．
【变式2】
（2022秋 玄武区期末）
10．如图，在中，．
(1)若，则的度数为______°；
(2)若，，求的半径．
【变式3】
11．如图，在中，，且，是的三等分点，分别交，于点，．求证：．
题型4：垂径定理
【例4】．
（2022秋 锡山区校级月考）
12．如图，在中，于点C，若的半径为10，，则OC的长为 ．
【变式1】
（2022秋 高邮市期中）
13．如图，已知的直径为26，弦，动点在上，弦，若点分别是弦的中点，则线段的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】
（2022秋 大丰区月考）
14．如图，是的直径，弦，垂足为，若，则的半径的长是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
题型5：垂径定理的应用
【例5】
（2022秋 如皋市校级月考）
15．兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知，半径，高度为 m．
【变式1】
（2022秋 江宁区校级月考）
16．如图是一个隧道的横截图，它的形状是以点O为圆心的一部分，如果M是中弦的中点，经过圆心O交于点E，若，，则的半径为 m．
【变式2】
（2022 钟楼区校级模拟）
17．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为4米，半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是（ ）
A．1米 B．2米 C．米 D．米
【变式3】
（2022秋 泰州月考）
18．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度米，拱高米，
(1)求圆弧所在的圆的半径r的长；
(2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米是否要采取紧急措施？
【变式4】
19．不过圆心的直线交于、两点，是的直径，于，于．
(1)在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；
(2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论除外不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)；
(3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论．
题型6：分类讨论
【例6】
（2022秋 吴江区校级月考）
20．已知的半径为2，弦，弦，则的度数为 ．
【方法三】差异对比法
易错点：没有进行分类讨论导致错误
【变式】
21．已知：⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD间的距离．
【变式】
22．在中，直径，垂足为C，，则 ．
【方法四】 仿真实战法
考法1:垂径定理
（2020 南通）
23．已知⊙O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心O到AB的距离为 cm．
（2022 盐城）
24．证明：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧．
考法2：圆心角、弧、弦的关系
（2021 南京）
25．如图，是的弦，C是的中点，交于点D．若，则的半径为 ．
【方法五】 成果评定法
一、单选题
（2023·江苏·九年级假期作业）
26．如图，在中，，则度数是（ ）
A． B． C． D．
（2023·江苏·模拟预测）
27．如图，A、B、C是⊙O上的点，，垂足为点D，若＝5，＝8，则的长为（ ）．
A．5 B．4 C．3 D．2
（2022秋·江苏宿迁·九年级校考阶段练习）
28．如图，在半径为5的中，弦，点C是弦的一动点，若长为整数，则满足条件的点C有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
（2023春·江苏盐城·九年级校考阶段练习）
29．如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为（ ）
A． B． C． D．
（2022秋·江苏南京·九年级南京市第一中学校考阶段练习）
30．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论一定正确的个数有（ ）
①CE=DE；②BE=OE；③；④∠CAB=∠DAB．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
（2022秋·江苏宿迁·九年级统考期中）
31．如图，中，，以为弦作，并使直角顶点C在内，点在外，若，的半径为7，，则的长为（ ）
A． B． C． D．12
（2019秋·江苏镇江·九年级统考期中）
32．如图，在平面直角坐标系中，的圆心坐标是，半径为3，函数的图像被截得的弦的长为，则a的值是（ ）
A．4 B． C． D．
（2023·江苏·模拟预测）
33．将半径为5的如图折叠，折痕长为8，C为折叠后的中点，则长为（ ）
A．2 B． C．1 D．
（2021秋·江苏·九年级专题练习）
34．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，AB=12cm，AO=8cm，则OC长为（ ）cm
A．5 B．4 C． D．
（2021秋·江苏·九年级专题练习）
35．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（ ）cm.
A．6 B． C． D．
二、填空题
（2023春·江苏无锡·九年级校联考期末）
36．《九章算术》中卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？转化为数学语言：如图，为的半径，弦，垂足为，寸，尺尺寸，则此圆材的直径长是 寸．
（2021·江苏·九年级专题练习）
37．如图，的半径为4，，是的弦，且，，，则和之间的距离为 ．
（2022秋·江苏南京·九年级南京市科利华中学校考期中）
38．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，，点是的中点，，且，则这段弯路所在圆的半径为 m．
（2022秋·江苏无锡·九年级校考阶段练习）
39．如图，在平面直角坐标系中，交x轴于，两点，交y轴于C，两点，点S是 上一动点，N是的中点，则线段的最小值是 ．
（2022秋·江苏镇江·九年级校联考阶段练习）
40．已知⊙的直径为26cm，AB、CD是⊙的两条弦，，AB=24cm，CD=10cm，则、之间的距离为 cm．
（2022秋·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）
41．在半径为4cm的中，弦CD平行于弦AB，，，则AB与CD之间的距离是 cm．
（2022秋·江苏·九年级专题练习）
42．已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，，，，则与之间的距离为 cm．
（2022春·江苏南京·九年级统考期中）
43．如图，是半圆的直径，，是半圆上的点，连接，，，且，，设，则与之间的函数表达式为 ．
三、解答题
（2022秋·江苏淮安·九年级统考期中）
44．如图，、、、是上的四点，.求证：．
（2022秋·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）
45．如图，已知在半圆中，，，，求的长．
（2022秋·江苏宿迁·九年级校考阶段练习）
46．如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点．
(1)求证：；
(2)若，，求圆环的面积．
（2023·江苏·九年级假期作业）
47．如图所示，是的一条弦，，垂足为，交于点C、D．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求的半径长；
（2020秋·江苏泰州·九年级校考阶段练习）
48．如图，已知AB、CD是⊙O的两条平行弦，AB=8，CD=6，弦AB、CD之间的距离为7．
（1）求证：弧AD=弧BC．
（2）求图中阴影部分的面积．
（2021秋·江苏南通·九年级校考阶段练习）
49．如图，在半径为2的扇形OAB中，∠AOB＝90°，点C是上的一个动点（不与点A，B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D，E．
(1)当BC＝2时，求线段OD的长和∠BOD的度数；
(2)在△DOE中，是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．
(3)在△DOE中，是否存在度数保持不变的角？如果存在，请指出并求其度数；如果不存在，请说明理由．
（2022秋·江苏南通·九年级校考阶段练习）
50．定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦，等垂弦所在直线的交点叫做等垂点．
(1)如图1，是的等垂弦，，垂足分别为D，E．求证：四边形是正方形；
(2)如图2，是的弦，作，分别交于D，C两点，连接．求证：，是的等垂弦；
(3)已知的半径为10，，是的等垂弦，P为等垂点．若，求的长．
（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）
51．【阅读材料】如图1所示，对于平面内，在上有弦，取弦的中点，我们把弦的中点到某点或某直线的距离叫做弦到这点或者这条直线的“密距”．例如：图1中线段的长度即为弦到原点的“密距”．过点作轴的垂线交珅于点，线段的长度即为弦到轴的“密距”．
【类比应用】已知的圆心为，半径为4，弦的长度为4，弦的中点为．
(1)当轴时，如图2所示，圆心到弦的中点的距离是______，此时弦到原点的“密距”是______．
(2)①如果弦在上运动，在运动过程中，圆心到弦的中点的距离变化吗？若不变化，请求出的长，若变化，请说明理由．
②直接写出弦到原点的“密距”d的取值范围______；
(3)【拓展应用】如图3所示，已知的圆心为，半径为4，点，点为上的一动点，弦到直线的“密距”的最大值是______（直接写出答案）．
试卷第18页，共19页
试卷第1页，共19页
参考答案：
1．
【分析】根据圆的对称性可得图中阴影部分的面积正好是圆的面积的，进而就可以求得．
【详解】解：阴影部分的面积，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆是轴对称图形，两条相互垂直的直径是圆的对称轴，解题的关键是注意把不同的部分转移到一个图形中作答．
2．A
【分析】根据两点确定一条直线、三角形的稳定性、点到直线的距离中垂线段最短以及圆的有关性质对各选项进行逐一判断即可；
【详解】解：建筑工人砌墙时拉的参照线是运用“两点确定一条直线”的原理，故此选项符合题意；
B.修理损坏的椅子腿时斜钉的木条是运用“三角形稳定性”的原理，故此选项不符合题意；
C.测量跳远成绩的依据是“垂线段最短”，故此选项不符合题意；
D.将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理，故此选项不符合题意．
故选A．
【点睛】本题考查了圆的认识、三角形的稳定性、确定直线的条件等知识，掌握圆的认识、三角形的稳定性、确定直线的条件等知识是解题的关键.
3．20
【分析】根据垂径定理可知，可得出进而得出图中阴影部分面积为的面积，即可得出结果．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，弦于H，
又∵，
∴阴影部分面积
∴阴影部分面积
故答案为：20．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握垂径定理是解此题的关键．
4．A
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐一判断即可．
【详解】解：A、正确；
B、正三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故错误；
C、线段既是轴对称图形又是中心对称图形，故错误；
D、菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故错误；
故选A．
【点睛】本题主要考查中心对称图形与轴对称图形的知识，能正确地区分是解题的关键．
5．(1)①②③
(2)见解析
【分析】（1）根据轴对称的定义：沿着某一条直线翻折，直线两边的部分能够完全重合的图形即为轴对称图形，即可判断；
（2）根据定义内容画出符合要求的图形即可．
【详解】（1）解：根据轴对称图形的定义可得①②③均为轴对称图形．
（2）解：如图所示（答案不唯一）：
【点睛】本题侧重考查轴对称的概念，掌握其概念是解决此题的关键．
6．(1)①②③④⑤，①③⑤
(2)见解析
【分析】（1）中心对称图形：图形绕某一点旋后与原来的图形重合；轴对称图形：沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合；
（2）花瓣个数的奇偶性影响了图形的对称性．
【详解】（1）解：根据轴对称图形和中心对称图形的定义可知：
是轴对称图形的有①②③④⑤，是中心对称图形的有①③⑤．
故答案为：①②③④⑤；①③⑤．
（2）解：规律：当“花瓣”是偶数个，既是中心对称图形，也是轴对称图形；
若花瓣是奇数个，则是轴对称图形．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别．掌握相关定义是解题关键．
7．(1)、、；和
(2)见解析
【分析】（1）根据中心对称图形的定义以及轴对称图形的定义，逐个分析，判断即可求解；
（2）根据题意，设计图形，使得d 是轴对称图形但不是中心对称图形； e 既是轴对称图形又是中心对称图形．
【详解】（1）三个图形中轴对称的为、、．是中心对称的为和；
（2）解：如图所示
【点睛】本题考查了中心对称图形的定义以及轴对称图形的定义，作图设计，熟练掌握中心对称图形的定义以及轴对称图形的定义是解题的关键．轴对称图形是一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合的；中心对称图形是把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合；是解题的关键．
8．B
【分析】设弧所在的圆的圆心为点O，连接，设圆O的半径为r，可得点C，D，O三点共线，，再由勾股定理得到关于r的方程，即可求解．
【详解】解：如图，设弧所在的圆的圆心为点O，连接，设圆O的半径为r，
∵C是弧的中点，
∴，
∵，
∴点C，D，O三点共线，，
∵，，
∴，
解得：．
即弧所在圆的半径为5．
故选：B
【点睛】本题考查勾股定理，垂径定理，关键是定出圆心，构造直角三角形，应用勾股定理列出关于半径的方程．
9．证明过程见详解
【分析】根据同弧等弧所对的圆周角相等，即可证明三角形全等由此即可求解．
【详解】证明：如图所示，
是上四点，与交于点
∵与对应的弧是，与对应的弧是，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，即．
故证明得：．
【点睛】本题主要考查圆上同弧等弧所对圆心角相等，掌握同弧等弧所对圆周角相等是解题的关键．
10．(1)
(2)
【分析】（1）连接，已知，，得到，，结合，得到，得到，结合，即可求得的度数；
（2）连接并延长，交与，已知，，得到，，在中，求得， 设，则，在中，根据勾股定理即可求得的半径．
【详解】（1）解：连接，
在中，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：130
（2）解：连接并延长，交与，
∵，，
∴，，
在中，，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴的半径为
【点睛】本题主要考查圆周角定理，等腰三角形的性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
11．见解析
【分析】连接，，根据，是的三等分点，得出，得出，由，，得出，进而得出，根据等角对等边得出，同理可得，即可得证．
【详解】证明：如图，连接，．
，是的三等分点，
．
，．
又，
．
，，
．
．
，，
．
．
同理可得．
．
【点睛】本题考查了弧与弦的关系，等腰三角形的性质与判定，三角形的外角的性质，掌握弧与弦的关系是解题的关键．
12．6
【分析】连接．利用垂径定理求出，再勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，连接．
，
，
，，
，
故答案为：6．
【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
13．A
【分析】连接、、、，由垂径定理得到，，，，，由勾股定理得到，，当时，M、O、N三点共线时，当、位于点O的同侧时，线段的长度最短，当、位于点O的两侧时，线段的长度最长，分别求解即可．
【详解】解：连接、、、，如图所示，
∵的直径为26，
∴，
∵点M、N分别是弦的中点，，，
∴，，，，
∴，，
当时，M、O、N三点共线，
当、位于点O的同侧时，线段的长度最短，
当、位于点O的两侧时，线段的长度最长，
∴线段的长度的取值范围是，
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理、垂径定理、线段的最值问题，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
14．A
【分析】连接，设的半径为，则，根据垂径定理得出，根据勾股定理得出，代入后求出即可．
【详解】解：连接，
设的半径为，则，
，过圆心，，
，，
由勾股定理得：，
，
解得：，
即的半径长是5，
故选：A．
【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，正确掌握垂径定理并熟练应用是解题的关键．
15．4
【分析】弦，半径，根据题意得是直角三角形，可求出的长，由此即可求解．
【详解】解：根据题意得，在中，，半径，
∴，，，
∴，
故答案是：．
【点睛】本题主要考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
16．
【分析】连接，根据垂径定理可得，，然后在中，利用勾股定理求出x即可．
【详解】解：连接，∵M是弦的中点，，，
∴，，
设圆的半径是x米，
在中，有，
∴，
解得：，
即的半径为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，利用垂径定理构建直角三角形是解题的关键．
17．C
【分析】连接OC交AB于点E．利用垂径定理以及勾股定理求出OE，可得结论．
【详解】解：连接OC交AB于点E．
由题意OC⊥AB，
∴AE=BE=AB=2（米），
在Rt△AEO中，（米），
∴CE=OC-OE=（米），
故选：C．
【点睛】本题考查垂径定理的应用，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
18．(1)米
(2)不需要采取紧急措施，理由见解析
【分析】（1）连接，利用表示出的长，在中根据勾股定理求出的值即可；
（2）连接，在中，由勾股定理得出的长，进而可得出的长，据此可得出结论．
【详解】（1）连接，
由题意得：，
在中，由勾股定理得：，
解得，；
（2）连接，
，
在中，由勾股定理得：，
即：，
解得：．
．
，
不需要采取紧急措施．
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
19．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据题意构造出垂径定理的基本图形，使得于，于．
（2）根据图形得出结论
（3）选择图①，过作于．由垂径定理知．进而得出 ，则．
【详解】（1）解：如图所示，
在图①中、延长线交于外一点；
在图②中、交于内一点；
在图③中．
（2）在三个图形中均有结论：线段．
（3）证明：如图①，过作于．由垂径定理知．
于，于，
，
∴，
为直径，
，
，
．
【点睛】在运用垂径定理解题时，常用的辅助线是过圆心作弦的垂线，构造出垂径定理的基本图形.
20．150°或30°
【分析】分类讨论：①当点B和点C在AO两侧时，过点O作于点P，作于点Q，根据垂径定理可求出，，再根据勾股定理可求出，，从而得出，，即得出，，进而可求出，最后由圆周角定理即可求出的大小；②当点B和点C在AO同侧时，过点O作于点M，作于点N，同理可求出，再由圆周角定理即可求出的大小．
【详解】分类讨论：①当点B和点C在AO两侧时，过点O作于点P，作于点Q，如图，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
∴；
②当点B和点C在AO同侧时，过点O作于点M，作于点N，如图，
由①同理可得：，，
∴，
∴．
综上可知的度数为150°或30°．
故答案为：150°或30°．
【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质．正确的作出图形和辅助线并利用分类讨论的思想是解题关键．
21．14cm或2cm
【分析】在⊙O中，两平行弦AB、CD间的距离就是它们的公垂线段的长度，若分别作弦AB、CD的弦心距，则可用弦心距的长表示这两条平行弦AB、CD间的距离，不过本题要按平行线与圆间的位置关系分类讨论．
【详解】（1）如图1，当⊙O的圆心O位于AB、CD之间时，作OM⊥AB于点M，并延长MO，交CD于N点．分别连结AO、CO．
∵AB∥CD，
∴ON⊥CD，即ON为弦CD的弦心距．
∵AB=12cm，CD=16cm，AO=OC=10cm，
∴，
=8+6=14（cm）
图1 图2
（2）如图2所示，当⊙O的圆心O不在两平行弦AB、CD之间（即弦AB、CD在圆心O的同侧）时，
同理可得：MN=OM-ON=8-6=2（cm）
∴⊙O中，平行弦AB、CD间的距离是14cm或2cm．
【点评】本题考查了垂径定理，解这类问题时，要按平行线与圆心间的位置关系分类讨论，千万别丢解．
22．8或2
【分析】分两种情况：第一：，第二：；连接，根据垂径定理和勾股定理进行计算即可．
【详解】解：①当时，如图1，
连接，∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②当时，如图2，
连接，∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：8或2．
【点睛】本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．注意方程思想在解题中的作用．
23．12
【分析】如图，作OC⊥AB于C，连接OA，根据垂径定理得到AC=BC=AB=5，然后利用勾股定理计算OC的长即可．
【详解】解：如图，作OC⊥AB于C，连接OA，
则AC＝BC＝AB＝5，
在Rt△OAC中，OC＝＝12，
所以圆心O到AB的距离为12cm．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
24．见解析
【分析】根据命题的题设：垂直于弦的直径，结论：CD平分AB，CD平分 写出已知，求证，再利用等腰三角形的性质，圆心角与弧之间的关系证明即可．
【详解】已知：如图，是的直径，是的弦，，垂足为．
求证：，，．
证明：如图，连接、．
因为 ，，
所以，．
所以，．
所以．
【点睛】本题考查的是命题的证明，圆心角与弧，弦之间的关系，等腰三角形的性质，熟练的运用在同圆与等圆中，相等的圆心角所对的弧相等是解本题的关键．
25．5
【分析】连接OA，由垂径定理得AD=4cm，设圆的半径为R，根据勾股定理得到方程，求解即可
【详解】解：连接OA，
∵C是的中点，
∴
∴
设的半径为R，
∵
∴
在中，，即，
解得，
即的半径为5cm
故答案为：5
【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据垂径定理判断出OC是AB的垂直平分线是解答此题的关键．
26．B
【分析】根据圆心角的度数得出即可．
【详解】解：圆心角，
圆心角对的弧的度数是，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，注意：圆心角的度数等于它所对的弧的度数．
27．D
【分析】利用垂径定理和勾股定理计算即可求出答案．
【详解】解：，
，
在中，，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，也考查了勾股定理．
28．C
【分析】如图所示，过点O作于D，连接，利用垂径定理和勾股定理求出，进而得到，再由长为整数进行求解即可．
【详解】解：如图所示，过点O作于D，连接，
∴，
在中，由勾股定理得，
∵点C是弦的一动点，
∴，即，
∵长为整数，
∴时，有一个点满足题意；当时，有两个点满足题意；当时，有两个点满足题意；
∴一共有5个点满足题意，
故选C．
【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
29．C
【分析】根据勾股定理求得的长，垂径定理可得，进而即可求解．
【详解】解：依题意，，
在中，
∵
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，熟练掌握勾股定理，垂径定理是解题的关键．
30．B
【分析】已知直径AB垂直于弦CD，那么可根据垂径定理来判断所给出的结论是否正确．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，且AB⊥CD，
∴CE=DE，；故①③正确；
∴∠CAB=∠DAB；故④正确
由于没有条件能够证明BE=OE，故②不一定成立；
所以一定正确的结论是①③④；
故选：B．
【点睛】此题主要考查的是垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧，掌握垂径定理是解题的关键．
31．B
【分析】取中点D，连接、、，利用垂径定理及直角三角形斜边中点性质可得，，最后在中利用勾股定理列方程计算即可．
【详解】解：取中点D，连接、、，则
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴在中，，
∵在中，
∴，
解得（负值舍去），
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，直角三角形斜边中点等知识，解题的关键是熟记相关的定理以及公式．
32．B
【分析】作轴于C，交于D，作于E，连接，求出D点坐标为，可得为等腰直角三角形，从而也为等腰直角三角形．根据垂径定理得，在中，利用勾股定理求出，再求出的长即可求解．
【详解】解：作轴于C，交于D，作于E，连接，如图，
∵的圆心坐标是，
∴，
把代入得，
∴D点坐标为，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，，
在中，，
∴，
∴，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，以及垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．正确作出辅助线是解答本题的关键．
33．C
【分析】延长交于点D，交于点E，连接、、、，根据圆心角、弧、弦、的关系由得到，可以判断是的垂直平分线，则，再利用勾股定理求出，所以，然后利用点C和点D关于对称得出，最后计算即可得出答案．
【详解】解：延长交于点D，交于点E，连接、、、，如图，
∵C为折叠后的中点，
∴，
∴，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
在中，,
∴，
∵沿折叠得到，，
∴点C和点D关于对称，
∴，
∴，
故选C
【点睛】本题主要考查了图形的折叠变换，圆的对称性，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系以及勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握圆的对称性及折叠前后的对应关系．
34．D
【详解】解： O为圆心的两个同心圆的圆心，大圆的弦AB与小圆相切于C点，
C点是AB的中点，即AC=BC==6；
并且OC⊥AB，在中，
由勾股定理得，
所以；AO=8cm，
所以，
所以OC=
故选：
【点睛】本题考查弦心距，勾股定理，解答本题要求考生掌握弦心距的概念和性质，熟悉勾股定理的内容.
35．C
【分析】作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长.
【详解】解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC，
∵OA=OD=4，CD=2，
∴OC=2，
∴AC=，
∴AB=2AC=.
故答案为C.
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键.
36．
【分析】连接，依题意，得出，设半径为，则，在中，，解方程即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，，，为的半径，
∴，
设半径为，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴直径为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
37．
【分析】作OE于E，交CD于F，连结OA，OC，根据平行线的性质等到，再利用垂径定理得到，再由勾股定理解得OE，OF的长，继而分类讨论解题即可．
【详解】作OE于E，交CD于F，连结OA，OC，如图，
在中，
在中，
当圆心O在AB与CD之间时，
当圆心O不在AB与CD之间时，
即AB和CD之间的距离为，
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理、垂径定理、分类讨论等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
38．##
【分析】根据垂径定理可得设圆的半径为x，则在Rt中，根据勾股定理列方程即可求出x的值.
【详解】∵点C是 的中点
∴，且
设圆O的半径为x，则
在Rt△中，
解得（舍去)
∴
故答案为：
【点睛】本题主要考查了垂径定理、勾股定理及一元二次方程.平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.熟练掌握垂径定理是解题的关键.
39．
【分析】在y轴上截取，连接，根据，，求出点M的坐标为，根据，，得出，当取最小值时，才能取得最小值，当且仅当E、S、M三点共线时，才能取得最小值，求出，得出，即可得出答案．
【详解】解：在y轴上截取，连接，如图所示：
∵，，
∴圆心M在的垂直平分线上，
∴M点的横坐标为1，
设M点的纵坐标为n，
∴，
∵，
∴，
解得：，，
∴，
∵，，
∴，
∴当取最小值时，才能取得最小值，当且仅当E、S、M三点共线时，才能取得最小值，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，中位线定理，作出相应的辅助线，求出点M的坐标，解题的关键是找出当取最小值时，才能取得最小值，当且仅当E、S、M三点共线时，才能取得最小值．
40．7或17##17或7
【分析】首先分先AB、CD在圆心的同侧和异侧两种情况讨论，画出图形，过圆心O作两弦的垂线，利用垂径定理可分别求出圆心到两弦的距离，从而可求出两弦间的距离．
【详解】①当弦AB、CD在圆心的同侧时，如图1
过点O作OF⊥CD交AB于点E，连接OA，OC
∵
∴OE⊥AB
∵AB=24，CD=10
∴AE=12，CF=5
又∵⊙的直径为26
∴OA=OC=13
∴，
∴EF=OF-OE=7
②当弦AB、CD在圆心的异侧时，如图2
过点O作OF⊥CD，延长FO交AB于点E，连接OA，OC
∵
∴OE⊥AB
∵AB=24，CD=10
∴AE=12，CF=5
又∵⊙的直径为26
∴OA=OC=13
∴，
∴EF=OF+OE=17
故答案为：7或17．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，解题是要注意分AB、CD在圆心的同侧和异侧两种情况讨论．
41．或
【分析】根据题意，分析两种AB的位置情况进行求解即可；
【详解】解：①如图，AB//CD，过点O作
在中
∵，
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵AB//CD
∴AB与CD之间的距离即GH
∴AB与CD之间的距离为
②如图，作，连接AD
则有四边形PEFD是矩形，
∴EF=PD
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：或
【点睛】本题主要圆的的性质、三角形的全等，勾股定理，掌握相关知识并正确做出辅助线是解题的关键．
42．7或1．
【分析】分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O同一侧时，当两条弦位于圆心O两侧时；利用垂径定理和勾股定理分别求出OE和OF的长度，即可得到答案．
【详解】解：分两种情况考虑：
当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，
过O作OE⊥CD，交CD于点E，交AB于点F，连接OC，OA，
∵AB∥CD，∴OE⊥AB，
∴E、F分别为CD、AB的中点，
∴CE=DE=CD=3cm，AF=BF=AB=4cm，
在Rt△AOF中，OA=5cm，AF=4cm，
根据勾股定理得：OF=3cm，
在Rt△COE中，OC=5cm，CE=3cm，
根据勾股定理得：OE═4cm，
则EF=OEOF=4cm3cm=1cm；
当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，
同理可得EF=4cm+3cm=7cm，
综上，弦AB与CD的距离为7cm或1cm．
故答案为：7或1．
【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．
43．
【分析】过O作OE⊥AC于E，CF⊥OD于F，连接OC，利用垂径定理求得，再利用OE=CF列方程即可．
【详解】过O作OE⊥AC于E，CF⊥OD于F，连接OC，如图：
∵
∴
∵
∴四边形OECF是矩形
∴
∵
∴OC=OD=2
∴
在Rt△OFC中，，
在Rt△DFC中，，
∴
整理得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查垂径定理、矩形的性质与判定、勾股定理，正确的做出辅助线是解题的关键．
44．见解析
【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系得出，求出，再根据圆心角、弧、弦之间的关系推出答案即可．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
45．
【分析】连接交于，根据垂径定理的推论得出，根据题意得出，继而得出为等边三角形，即可求解．
【详解】解：连接交于，如图，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
而，
∴为等边三角形，
∴．
【点睛】本题考查了垂径定理的推论，等边三角形的性质与判定，得出是解题的关键．
46．(1)见详解
(2)
【分析】（1）过点作于点，利用垂径定理可得，，即可证明；
（2）连接、，由已知条件以及垂径定理可得，，再在和中，利用勾股定理可求得，，然后利用圆环面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：如下图，过点作于点，
则，，
∴，
即；
（2）解：如下图，连接、，
∵，，
∴，
又∵，
∴，，
∴在中，，
在中，，
∴，
即圆环的面积为．
【点睛】本题主要考查了垂径定理、勾股定理以及求圆环的面积等知识，正确作出辅助线，灵活运用相关知识是解题关键．
47．(1)
(2)3
【分析】（1）根据垂径定理可得，从而可得，即可解答；
（2）根据垂径定理可得，然后设的半径长为，再在中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【详解】（1）解： 是的一条弦，，
，
，
的度数是；
（2）解：是的一条弦，，
，
设的半径长为，
在中，，
，
，
的半径长为3．
【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
48．（1）见解析；（2）
【分析】（1）过点O作，延长MO交CD于点N，连接OA、OB、OC、OD，通过证明≌推出，，根据相等的圆心角所对的弧相等即可得出结论；
（2）根据代入数值求解即可．
【详解】解：（1）过点O作，延长MO交CD于点N，连接OA、OB、OC、OD，
，
，
，，，
在中，，
①，
在中，，
②，
②①得，
，
，
，，
，，，
在和中，，
∴≌，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴；
（2）．
【点睛】本题考查圆的基本性质、不规则图形的面积、勾股定理等内容，作出辅助线是解题的关键．
49．(1)、30°
(2)存在，DE=
(3)存在，∠DOE=45°
【分析】（1）根据等边三角形的判定和性质及勾股定理即可解决问题；
（2）利用三角形的中位线定理即可解决问题；
（3）利用等腰三角形的性质即可解决问题．
【详解】（1）解：如图，连接OC，
∵OB=OC=BC=2，
∴△OCB 是等边三角形，
∵OD⊥BC，
∴BD=CD=BC=1，∠BOD=∠COD=∠BOC=30°，
由勾股定理得：，
∴OD=；
即线段OD的长和∠BOD的度数分别为、30°；
（2）解：存在，DE=；
如图，连接AB；
∵∠AOB=90°，OA=OB=2，
∴，
∴AB=2；
∵OD⊥BC，OE⊥AC，
∴BD=CD，AE=EC，
∴DE是△ABC的中位线，
DE=×2=．
（3）解：存在，∠DOE=45°；
∵OD⊥BC，OE⊥AC，且OA=OB=OC，
∴∠BOD=∠COD，∠AOE=∠COE，
∴∠DOE=∠AOB=45°，
即∠DOE=45°．
【点睛】本题考查了垂径定理、三角形中位线定理、勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
50．(1)见解析
(2)见解析
(3)或
【分析】（1）根据垂直的定义及等垂弦定义推出四边形是矩形，根据垂径定理得出，即可判定矩形是正方形；
（2）连接，由圆心角、弦的关系可得，由圆周角定理可得，，可证，可得结论；
（3）分两种情况讨论，过点O作，作，可证矩形为正方形，利用勾股定理可求解．
【详解】（1）证明：∵是的等垂弦，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵是的等垂弦，
∴，
∵，
∴，
∴矩形是正方形；
（2）证明：设交于点E，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
即，
∵，
∴是的等垂弦；
（3）解：若点P在内，过点O作，垂足为H，作，垂足为G，如图，
∵是的等垂弦，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴矩形为正方形，
∴，
∵，且，
∴，
在中，，
即，
解得，
∴，
∴；
若点P在外，过点O作，垂足为H，作，垂足为G，如图，
同理，，则；
∴或．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
51．(1)，
(2)①不变化，理由见解析；②
(3)
【分析】（1）理解“密距”之意义，运用垂径定理相关知识，构造直角三角形，运用勾股定理即可作答；
（2）①运用同圆中等弦的弦心距相等，即可得答；②由三角形三边关系的应用，易得弦到原点O的“密距”d的取值范围；
（3）取中点C，连接，过点C作于D，先证得弦的中点M运动轨迹是以C为圆心，以2为半径的圆，再求出此圆心到直线的“密距”，加2即可得弦到直线的“密距”的最大值．
【详解】（1）如图2，连接，
∵的圆心为，半径为4，弦的长度为4，弦的中点为．
∴，，．
∵P为圆心，M是弦（非直径）的中点，
∴．
在中，由勾股定理得，即圆心P到弦的中点M的距离是；
∵轴，
∴轴，
在中，由勾股定理得，
∴由“密距”的定义得弦AB到原点O的“密距”是．
故答案为：，；
（2）①不变化，理由如下，
∵点M是弦（非直径）的中点，P为圆心，
∴，
∴；
②∵
∴．
故答案为：；
（3）如图3，取中点C，连接，过点C作于D，
∵M是（非直径）中点，P是的圆心，
∴．
又∵C是中点，
∴．
当是的直径时，，
∴当B点在上运动时，M的运动轨迹是以C为圆心，以2为半径的圆，如图，
∵直线的解析式为，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴．
∴M到的最远距离为，
∴弦到直线的“密距”的最大值为．
故答案为：．
【点睛】此题考查垂径定理，勾股定理，三角形三边关系的应用，三角形中位线的性质，一次函数的应用，等腰直角三角形的判定和性质等知识．解题关键是读懂题意，理解“密距”的定义，在（3）中还有一关键是发现弦的中点的轨迹是圆．
答案第40页，共43页
答案第41页，共43页
