专题01一元二次方程（3个知识点5大题型2个易错点中考2种考法）
【目录】
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1一元二次方程的定义（重点）
知识点2一元二次方程的一般形式（重点）
知识点3一元二次方程的解（重点）
【方法二】 实例探索法
题型一：根据一元二次方程的定义求字母的值
题型二：根据一元二次方程的根求字母或代数式的值
题型三：一元二次方程新定义问题
题型四：对含字母的一元二次方程的系数的讨论
题型五：一元二次方程与完全平方公式综合
【方法三】 差异对比法
易错点1忽略一元二次方程的二次项系数不等于0这个隐含条件
易错点2 在求一元二次方程的相关项及系数时，没有先将其化为一般形式
【方法四】 仿真实战法
考法1根据方程的根求字母（或代数式）的值
考法2根据实际问题列一元二次方程
【方法五】 成果评定法
【知识导图】
【倍速学习四种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1一元二次方程的定义（重点）
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
例1.（2022秋 镇江期末）
1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
知识点2一元二次方程的一般形式（重点）
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
例2.（2022秋 建邺区期中）
2．将方程（x﹣1）2＝6化成一元二次方程的一般形式，正确的是（ ）
A．x2﹣2x+5＝0 B．x2﹣2x﹣5＝0 C．x2+2x﹣5＝0 D．x2+2x+5＝0
例3.（2022秋 镇江期中）
3．将一元二次方程化为一般形式，正确的是（ ）
A． B． C． D．
例4.（2022秋 新北区校级月考）
4．将方程化为一般形式为
例5.（2022秋 海州区校级月考）
5．一元二次方程的一次项系数是 ．
例6.（2022秋 常州期中）
6．若关于x一元二次方程的常数项为0，则m的值等于 ．
例7.（2021秋 淮安区期中）
7．若关于的一元二次方程的常数项为，求的值．
知识点3一元二次方程的解（重点）
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12＋bx1＋c＝0（a≠0），ax22＋bx2＋c＝0（a≠0）．
例8.（2021春 射阳县校级期末）
8．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2＋5x＋m2﹣3m＋2＝0的常数项为0
(1)求m的值；
(2)求此时一元二次方程的解．
【方法二】实例探索法
题型一：根据一元二次方程的定义求字母的值
（2022秋 大丰区期末）
9．如果（m﹣3）x2+5x﹣2＝0是一元二次方程，则（ ）
A．m≠0 B．m≠3 C．m＝0 D．m＝3
（2023 睢宁县校级开学）
10．关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是( )
A．a＞0 B．a≥0 C．a=1 D．a≠0
题型二：根据一元二次方程的根求字母或代数式的值
（2023 邗江区校级一模）
11．已知m是方程的一个根，则的值为（ ）
A．2023 B．2022 C．2021 D．2020
（2022秋 邳州市期末）
12．已知关于的方程的一个根为，则实数的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
（2023 邗江区一模）
13．若关于x的方程的一个根为3，则m的值为 ．
（2023春 玄武区期中）
14．若m是方程的一个根，则代数式的值为 ．
（2022秋 江阴市校级月考）
15．已知2是关于x的方程的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰的两条边长．
求m的值；
求的周长．
（2022 广陵区校级开学）
16．已知x是一元二次方程的实数根，求代数式的值．
题型三：一元二次方程新定义问题
（2021秋 高港区期中）
17．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰方程”．
（1）判断一元二次方程3x2﹣4x﹣7＝0是否为凤凰方程，说明理由．
（2）已知2x2﹣mx﹣n＝0是关于x的凤凰方程，若m是此凤凰方程的一个根，求m得值．
（2022秋 江阴市校级月考）
18．定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“好友方程”，如果关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0与x2+3x+m﹣1＝0为“友好方程”，求m的值．
（2017秋 句容市月考）
19．阅读下列材料：
问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍．
解：设所求方程的根为，则，所以，把，代入已知方程，得．
化简，得，
故所求方程为
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：
(1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为 ；
(2)已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
题型四：对含字母的一元二次方程的系数的讨论
（2022春 建邺区期末）
20．已知关于x的一元二次方程（m为常数）．
(1)若它的一个实数根是关于x的方程的根，求m的值；
(2)若它的一个实数根是关于x的方程的根，求证：．
（2020秋 鼓楼区期中）
21．方程是含有未知数的等式，使等式成立的未知数的值称为方程的“解”．方程的解的个数会有哪些可能呢？
（1）根据“任何数的偶数次幂都是非负数”可知：关于x的方程x2+1＝0的解的个数为 ；
（2）根据“几个数相乘，若有因数为0，则乘积为0”可知方程（x+1）（x﹣2）（x﹣3）＝0的解不止一个，直接写出这个方程的所有解；
（3）结合数轴，探索方程|x+1|+|x﹣3|＝4的解的个数；（写出结论，并说明理由）
（4）进一步可以发现，关于x的方程|x﹣m|+|x﹣3|＝2m+1（m为常数）的解的个数随着m的变化而变化…请你继续探索，直接写出方程的解的个数与对应的m的取值情况．
题型五：一元二次方程与完全平方公式综合
（2020秋 句容市月考）
22．阅读下列材料：
①关于x的方程方程两边同时乘以得：，即，故，所以．
②；．
根据以上材料，解答下列问题：
（1），则______ ；______ ；______ ；
（2），求的值．
【方法三】差异对比法
易错点1忽略一元二次方程的二次项系数不等于0这个隐含条件
（2021秋 襄城县期中）
23．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣6x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，则m的值为 ．
易错点2 在求一元二次方程的相关项及系数时，没有先将其化为一般形式
（2022秋 沭阳县校级期末）
24．一元二次方程2x2－1＝4x化成一般形式后，常数项是－1，一次项系数是（ ）
A．2 B．－2 C．4 D．－4
【方法四】 仿真实战法
考法1根据方程的根求字母（或代数式）的值
（2022 连云港）
25．若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是 ．
（2021 宿迁）
26．若关于x的一元二次方程x2 +ax-6=0的一个根是3，则a=
（2022 广东）
27．若是方程的根，则 ．
（2022 遂宁）
28．已知m为方程的根，那么的值为（ ）
A． B．0 C．2022 D．4044
（2022 资阳）
29．若a是一元二次方程的一个根，则的值是 ．
考法2根据实际问题列一元二次方程
（2022 衢州）
30．将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x（cm）满足的一元二次方程： （不必化简）．
【方法五】 成果评定法
一、单选题
（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）
31．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．3、2、 B．3、2、3 C．3、、3 D．3、、
（2022秋·江苏徐州·九年级校考期末）
32．下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为（ ）
A． B． C． D．
（2022秋·江苏镇江·九年级统考期中）
33．根据关于的一元二次方程，可列表如下：则方程的正数解满足（ ）
A．解的整数部分是，十分位是 B．解的整数部分是，十分位是
C．解的整数部分是，十分位是 D．解的整数部分是，十分位是
（2022秋·江苏无锡·九年级校考阶段练习）
34．若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m＝（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
（2022秋·江苏徐州·九年级校考期末）
35．关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值是（ ）
A． B．1 C．1或 D．或0
（2022秋·江苏南京·九年级校联考阶段练习）
36．观察表格中数据，一元二次方程的一个近似解为（ ）
x
4.67 4.61 4.56 4.51 4.46 4.41 4.35
A． B． C． D．
二、填空题
（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）
37．若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为 ．
（2023春·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）
38．已知m是方程的一个根，则代数式的值为
（2023春·江苏南京·九年级校联考阶段练习）
39．已知方程的两个根分别是2、1，则 ．
（2023·江苏扬州·统考一模）
40．若关于x的方程的一个根为3，则m的值为 ．
（2023春·江苏南京·九年级统考期中）
41．若m是方程的一个根，则代数式的值为 ．
（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）
42．若关于x的方程是一元二次方程，则a的值为 ．
三、解答题
（2022秋·九年级课时练习）
43．已知关于x的方程（m﹣）﹣x＝3，试问：
(1)m为何值时，该方程是关于x的一元一次方程？
(2)m为何值时，该方程是关于x的一元二次方程？
（2022秋·九年级课时练习）
44．已知关于x的方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣2m+1＝0．
(1)m为何值时，此方程是一元一次方程？求出该一元一次方程的解；
(2)m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．
（2023秋·江苏泰州·九年级统考期末）
45．先化简再求值：，其中a是方程的根．
（2022秋·江苏·九年级阶段练习）
46．（1）若方程是关于x的一元二次方程，求m的取值范围．
（2）如果是方程的一个根，求的值．
（2022秋·江苏·九年级阶段练习）
47．已知m是方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，求（m﹣2）2+（m+3）（m﹣3）的值．
（2022秋·九年级课时练习）
48．定义一种新运算“a*b”：当a≥b时，a*b＝a＋3b；当a＜b时，a*b＝a－3b，例如：3*（﹣4）＝3＋（﹣12）＝﹣9，（﹣6）*12＝﹣6－36＝﹣42
(1)x2*（x2﹣2）＝30，则x＝ ；
(2)小明在计算（﹣3x2＋6x﹣5）*（﹣x2＋2x＋3）随取了一个x的值进行计算，得到的结果是40，小华说小明计算错了，请你说明小华是如何判断的．
（2022秋·九年级课时练习）
49．已知方程是关于的一元二次方程．
（1）求的取值范围；
（2）若该方程的一次项系数为，求此方程的根．
（2022秋·江苏·九年级期中）
50．定义：在平面直角坐标系xOy中，称两个不同的点P（m，n）和Q（－n，－m）为“反换点”．如：点（一2，1）和（一1，2）是一对“反换点”．
(1)下列函数：①y＝﹣x＋2；②y＝﹣；③y＝﹣2x2，其中图象上至少存在一对“反换点”的是 （只填序号）；
(2)直线y＝x﹣3与反比例函数y＝（k＞0）的图象在第一象限内交于点P，点P和点Q为一对“反换点”若S△OPQ＝6，求k的值；
(3)抛物线y＝﹣x2﹣4x上是否存在一对“反换点”？如果存在，请求出这一对“反换点”所连线段的中点坐标；如果不存在，请说明理由．
（2022秋·九年级课时练习）
51．当m为何值时，关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5．
(1)为一元二次方程；
(2)为一元一次方程．
试卷第2页，共10页
试卷第1页，共10页
参考答案：
1．D
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【详解】解：A．此方程是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．由原方程变形得到：，该方程是关于x的一元一次方程，故本选项不符合题意；
C．方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，只有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
2．B
【分析】先去括号，再移项，最后合并同类项即可．
【详解】解：（x-1）2=6，
x2-2x+1-6=0，
x2-2x-5=0，
即将方程（x-1）2=6化成一般形式为x2-2x-5=0，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）．
3．D
【分析】根据一元二次方程的一般式的定义进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般式，熟知一元二次方程的一般式是解题的关键．
4．
【分析】一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【详解】解：
，
故答案为：
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
5．
【分析】根据一元二次方程的一般形式，即可解答．
【详解】一元二次方程的一次项系数是，
故答案为：．
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式及概念，解题的关键是熟记：一般地，任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项；叫做一次项系数，叫做常数项．
6．
【分析】根据一元二次方程成立的条件及常数项为0列出方程组，求出m的值即可．
【详解】解：根据题意得，
，
解得m=-1．
故答案为：-1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（a、b、c是常数且a≠0），特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a、b、c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
7．4
【分析】根据关于的一元二次方程的常数项为，得到m2-3m-4=0，m+1≠0，解得m值即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的常数项为，
∴m2-3m-4=0且m+1≠0，
∴（m-4）（m+1）=0，且m≠-1，
解得m=4或m=-1，且m≠-1，
∴m=4．
【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，正确掌握定义并理解是解题的关键．
8．(1)m＝2
(2)x1＝0，x2＝﹣5
【分析】（1）根据常数项为0，列出关于的方程，解出即可；
（2）将的值代入原方程，解出原方程即可
【详解】（1）解：由题意，得：m2﹣3m+2＝0
解之，得m＝2或m＝1①，
由m﹣1≠0，得：m≠1②，
由①，②得：m＝2；
（2）解：当m＝2时，代入（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0，
得x2+5x＝0，
x（x+5）＝0
解得：x1＝0，x2＝﹣5．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式以及一元二次方程的解法，正确解方程是解题关键．
9．B
【分析】根据一元二次方程的定义判断即可．
【详解】∵（m﹣3）x2+5x﹣2＝0是一元二次方程
∴m﹣3≠0
∴m≠3
故选：B
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，形如ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)的方程叫做一元二次方程，注意a≠0这个条件．解题的关键是熟记一元二次方程的定义．
10．D
【详解】因为一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a，b，c是常数，且a≠0），所以要使ax2 3x+3=0是一元二次方程，必须保证a≠0．
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念认识，解题的关键是一定要对概念熟练．
11．C
【分析】先根据一元二次方程解的定义得到，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．
【详解】解：是一元二次方程的一个根，
，
，
．
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
12．D
【分析】将代入中求解即可．
【详解】解：∵关于的方程的一个根为，
∴，解得：，
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的解、解一元一次方程，理解方程的解的意义是解答的关键．
13．
【分析】根据题意把3代入方程，得到关于m的方程，解方程即可得．
【详解】解：依题意得，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根、解一元一次方程，熟练掌握一元二次方程根的定义是解题关键．
14．2022
【分析】根据m是方程的一个根，得到，进而得到，代入代数式计算即可得解．
【详解】解：∵m是方程的一个根，
∴，
∴，
∴；
故答案为：2022．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，熟练掌握方程的解是使方程成立的未知数的值，是解题的关键．
15．（1）；（2）14．
【分析】（1）直接把x=2代入方程可求出m的值；
（2）先解方程，解得，再利用三角形三边的关系确定等腰三角形的腰与底，然后计算它的周长．
【详解】解：（1）把x=2代入方程得：，解得：；
（2）当时，原方程变为，解得．
∵该方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，且不存在三边为2，2，6的等腰三角形，
∴的腰为6，底边为2，
∴的周长为6+6+2=14．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了三角形三边的关系．
16．
【分析】利用一元二次方程的解可得出，将其代入的化简结果中即可求出答案．
【详解】解：∵x是一元二次方程的实数根，
∴．
，
∴代数式的值为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解、分式的化简等知识，熟练掌握一元二次方程的解的定义和分式的运算法则是解题的关键．
17．（1）是，理由见解析；（2）m的值为2或﹣1
【分析】（1）利用有一个根为﹣1的一元二次方程为“凤凰方程”对一元二次方程3x2﹣4x﹣7＝0是否为凤凰方程进行判断；
（2）根据“凤凰方程“的定义得到2+m﹣n＝0①，再把x＝m代入2x2﹣mx﹣n＝0得2m2﹣m2﹣n＝0，然后消去n得到m的一元二次方程，最后解关于m的方程即可．
【详解】解：（1）是．
理由如下：
当x＝﹣1时，3x2﹣4x﹣7＝0，
所以一元二次方程3x2﹣4x﹣7＝0为凤凰方程；
（2）根据题意得2+m﹣n＝0①，
把x＝m代入2x2﹣mx﹣n＝0得2m2﹣m2﹣n＝0②，
②﹣①得m2﹣m﹣2＝0，解得m1＝2，m2＝﹣1，
即m的值为：2或﹣1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
18．m的值为1或–9．
【分析】通过解方程x2﹣2x=0，可得出方程的根，分x=0为两方程相同的实数根或x=2为两方程相同的实数根两种情况考虑：①若x=0是两个方程相同的实数根，将x=0代入方程x2+3x+m﹣1=0中求出m的值，将m的值代入原方程解之可得出方程的解，对照后可得出m=1符合题意；②若x=2是两个方程相同的实数根，将x=2代入方程x2+3x+m﹣1=0中求出m的值，将m的值代入原方程解之可得出方程的解，对照后可得出m=2符合题意．综上此题得解．
【详解】解方程x2﹣2x=0，得：x1=0，x2=2．
①若x=0是两个方程相同的实数根．
将x=0代入方程x2+3x+m﹣1=0，得：m﹣1=0，∴m=1，此时原方程为x2+3x=0，解得：x1=0，x2=﹣3，符合题意，∴m=1；
②若x=2是两个方程相同的实数根．
将x=2代入方程x2+3x+m﹣1=0，得：4+6+m﹣1=0，∴m=﹣9，此时原方程为x2+3x﹣10=0，解得：x1=2，x2=﹣5，符合题意，∴m=﹣9．
综上所述：m的值为1或﹣9．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，代入x求出m的值是解题的关键．
19．(1)
(2)
【分析】（1）设所求方程的根为，则，所以，代入原方程即可得；
（2）设所求方程的根为，则，于是，代入方程整理即可得．
【详解】（1）解：设所求方程的根为，则，所以，
把代入方程，得：，
故答案为：；
（2）解：设所求方程的根为，则，于是，
把代入方程，得，
去分母，得，
若，有，
于是，方程有一个根为，不合题意，
∴，
故所求方程为．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义和解题的方法．
20．(1)m的值为-1或1
(2)见解析
【分析】（1）由得到，代入求解m即可；
（2）由得到，代入得到m、n的关系式，进而利用配方法和平方式的非负性求解即可．
【详解】（1）解：由得到，
将代入中，得：
，即，
解得：m=-1或m=1，
故m的值为-1或1；
（2）证明：由得到，
将代入中，得：
，
整理得：，
∴=，
即．
【点睛】本题考查含参数的一元二次方程的解、一元一次方程的解、配方法和平方式的非负性，利用消元思想，将问题转化为学过的一元二次方程是解答的关键．
21．（1）0；（2）x1＝﹣1，x2＝2，x3＝3；（3）有无数个，理由见解析；（4）当m＝时，方程有无数个解；当m≥3时，方程有2个解；m＜时无解．
【分析】（1）根据“任何数的偶数次幂都是非负数”进行解答即可得；
（2）根据“几个数相乘，若有因数为0，则乘积为0”进行解答即可得；
（3）分情况讨论：当x≤﹣1时，有﹣x﹣1+3﹣x＝4，解得x＝﹣1，当﹣1＜x≤3时，有x+1+3﹣x＝4，x为﹣1＜x≤3中任意一个数，当x＞3时，有x+1+x﹣3＝4，解得x＝3（舍）即可得；
（4）根据题意分两种情况：①m＜3时和②m≥3进行解答即可得．
【详解】解：（1）关于x的方程x2+1＝0的解的个数为0，
故答案为0；
（2）∵（x+1）（x﹣2）（x﹣3）＝0，
∴x+1＝0或x﹣2＝0或x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝2，x3＝3；
（3）有无数个，理由如下：
|x+1|+|x﹣3|＝4，
当x≤﹣1时，有﹣x﹣1+3﹣x＝4，解得x＝﹣1，
当﹣1＜x≤3时，有x+1+3﹣x＝4，x为﹣1＜x≤3中任意一个数，
当x＞3时，有x+1+x﹣3＝4，解得x＝3（舍），
综上，方程的解为：﹣1≤x≤3中任意一个数；
（4）根据题意分两种情况：
①m＜3时，如图①数轴，
当m≤x≤3时，|x﹣m|+|x﹣3|＝2m+1，即3﹣m＝2m+1，
解得m＝，
即≤x≤3，x有无数个解；
②m≥3，如图②数轴，
∵3≤x≤m时，|x﹣m|+|x﹣3|＝m﹣3＝2m+1，解得m＝﹣4（与m≥3矛盾，故舍去），
∴x在3的左侧或m的右侧，
当x1在3左侧时，|x1﹣m|+|x1﹣3|＝m﹣x1+3﹣x1＝2m+1，解得，
当x2在m右侧时，|x2﹣m|+|x2﹣3|＝x2﹣m+x2﹣3＝2m+1，解得，
综上所述：方程的解的个数与对应的m的取值情况为：
当m＝时，方程有无数个解；
当m≥3时，方程有2个解；m＜时无解．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，数轴，绝对值，解题的关键是综合掌握以上知识．
22．（1）4， 14，194；（2）
【分析】（1）根据例题方程两边同时除以x，即可求得的值，然后平方即可求得的值，然后再平方求得的值；
（2）首先方程两边除以2x即可求得的值，然后平方即可求得的值，，然后利用题目提供的立方差公式求解．
【详解】解：（1）∵，
∴，
，
；
故答案为：4；14；194；
（2）∵，
∴，
，
．
【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式以及立方差公式，正确理解完全平方公式的变形是关键．
23．1
【分析】根据常数项为0，二次项系数不为0，确定出m的值即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣6x+m2﹣3m+2 =0的常数项为0，
∴m﹣2≠0且m2﹣3m+2 =0，
解得：m =1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义以及因式分解法解一元二次方程，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
24．D
【分析】首先化为一般形式，然后确定一次项系数即可．
【详解】解：一元二次方程2x2-1＝4x化成一般形式为2x2-4x -1＝0，
故一次项系数为-4，
故选D．
【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程ax2+bx+c=0的二次项系数是a，一次项系数是b，常数项是c．
25．1
【分析】根据一元二次方程解的定义把代入到进行求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个解是，
∴，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，熟知一元二次方程解的定义是解题的关键．
26．-1
【分析】把x=3代入一元二次方程即可求出a．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2 +ax-6=0的一个根是3，
∴9+3a-6=0，
解得a=-1．
故答案为：-1
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的意义，一元二次方程方程的解又叫一元二次方程的根，熟知一元二次方程根的意义是解题的关键．
27．1
【分析】本题根据一元二次方程的根的定义，把x=1代入方程得到a的值．
【详解】把x=1代入方程，得1 2+a=0，
解得a=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．
28．B
【分析】根据题意有，即有，据此即可作答．
【详解】∵m为的根据，
∴，且m≠0，
∴，
则有原式=，
故选：B．
【点睛】本题考查了利用未知数是一元二次方程的根求解代数式的值，由m为得到是解答本题的关键．
29．6
【分析】将a代入，即可得出，再把整体代入，即可得出答案．
【详解】∵a是一元二次方程的一个根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，整体思想是本题的关键．
30．
【分析】根据题意分别找出包装盒的长、宽、高，再利用长方体的体积即可列出关于x的方程．
【详解】由包装盒容积为360cm3可得，，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了将实际问题转化为一元二次方程，能够利用长方形的体积列出方程是解题关键．
31．D
【分析】将一元二次方程化为一般形式即可求得结果．
【详解】解：将一元二次方程化为一般形式，
得，
二次项系数为3，一次项系数为，常数项为．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式以及多项式的有关概念，解决问题的关键是将一元二次方程化为一般形式．
32．D
【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可．
【详解】解：A、当时，该方程不是关于x的一元二次方程，故A不符合题意；
B、方程整理后不含有二次项，该方程不是关于x的一元二次方程，故B不符合题意；
C、该方程属于分式方程，不是关于x的一元二次方程，故C不符合题意；
D、符合一元二次方程的定义，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
33．B
【分析】通过观察表格可得时，，即可求解．
【详解】解：由表格可知，
当时，，
当时，，
∴时，，
∴解的整数部分是，十分位是．
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，通过观察所给的信息，确定一元二次方程解的范围是解题的关键．
34．B
【分析】根据一元二次方程成立的条件和常数项为0列出方程组，解方程组即可求解．
【详解】若关于x的一元二次方程的常数项为0，
则，
解得，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式和一元二次方程的含义，熟练掌握知识点是解题的关键．
35．A
【分析】根据方程是一元二次方程，可得，将代入解析式，求出的值即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是0，
∴，，
∴；
故选A．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程二次项系数不为0，使等式成立的未知数的值是方程的解，是解题的关键．
36．C
【分析】根据表格中的数据，可判断代数式的值为4.61和4.56时，对应x的值为 1.12和 1.11，观察原方程可理解为求代数式的值为4.6时，对应的x的值，由此判断即可．
【详解】解：∵x= 1.12时，；x= 1.11时，；
∴时，对应x应满足 1.12
故选C．
【点睛】本题考查一元二次方程的近似解，理解表格中的数据，掌握求近似解的方法是解题关键．
37．
【分析】利用整体思想设，得到方程，再根据即可得到的值，最后得出结论．
【详解】解：∵在中，设
∴
∵有一个根
∴在中
∴即在中，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，利用整体思想解一元二次方程是解题的关键．
38．
【分析】由方程根的定义得到，整体代入即可得到答案．
【详解】解：∵m是方程的一个根，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】此题考查了一元二次方程的解和代数式的值，熟练掌握一元二次方程解的定义是解题的关键．
39．
【分析】把代入得出，整理即可得出答案．
【详解】解：把代入得：，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握方程解的定义，得出．
40．
【分析】根据题意把3代入方程，得到关于m的方程，解方程即可得．
【详解】解：依题意得，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根、解一元一次方程，熟练掌握一元二次方程根的定义是解题关键．
41．2022
【分析】根据m是方程的一个根，得到，进而得到，代入代数式计算即可得解．
【详解】解：∵m是方程的一个根，
∴，
∴，
∴；
故答案为：2022．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，熟练掌握方程的解是使方程成立的未知数的值，是解题的关键．
42．
【分析】根据一元二次方程的定义得出且，再求出即可．
【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴且，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和绝对值，能根据一元二次方程的定义得出且是解此题的关键．
43．(1)m＝或或
(2)
【分析】（1）根据方程中只含有一个未知数且未知数的最高次数是1次的整式方程是一元一次方程，可得答案；
（2）根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件： (1) 未知数的最高次数是2； (2) 二次项系数不为0；由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得m2﹣1＝1，
解得m＝，
当m＝时，该方程是一元一次方程；
m﹣＝0，解得m＝，
当m＝时，该方程是一元一次方程；
m2﹣1＝0，解得m＝±1，
m＝±1时，该方程是一元一次方程，
综上，当m＝或或±1时，该方程是关于x的一元一次方程；
（2）解：由题意，得m2﹣1＝2且m﹣≠0，
解得m＝﹣，
当m＝﹣时，该方程是关于x的一元二次方程．
【点睛】本题利用了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0 (且a≠0) ，特别要注意a≠0的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点．
44．(1)m＝1；x＝﹣1
(2)m≠1；二次项系数为m﹣1，一次项系数为m﹣2，常数项为﹣2m+1
【分析】（1）当二次项系数为0，一次项系数不为0时，方程为一元一次方程，然后解方程即可；
（2）当二次项系数不为0时，方程是一元二次方程．
【详解】（1）解：若关于x的方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣2m+1＝0是一元一次方程，
则m﹣1＝0且m﹣2≠0，
解得m＝1．
∴原方程变形为﹣x﹣2+1＝0
解得x＝﹣1．
（2）解：当m≠1时，关于x的方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣2m+1＝0是一元二次方程，
此时该方程的二次项系数为m﹣1，
一次项系数为m﹣2，
常数项为﹣2m+1．
【点睛】本题考查了一元二次方程、一元一次方程的定义及解一元一次方程，难度不大．掌握一元一次方程及一元二次方程的相关定义是解决本题的关键．
45．，．
【分析】先计算括号内的分式的减法，再把除法化为乘法运算，约分后可得结果，再把化为，再整体代入计算即可．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴原式．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，一元二次方程的解的含义，掌握“分式的混合运算以及整体代入法求值”是解本题的关键．
46．（1）且；（2）9
【分析】（1）根据一元二次方程的定义和二次根式有意义的条件进行求解即可；
（2）把代入中得到，再由进行求解即可．
【详解】解：（1）∵方程是关于x的一元二次方程，
∴，
∴且；
（2）∵是方程的一个根，
∴，即
∴．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解，二次根式有意义的条件，完全平方公式，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程的相关知识．
47．1
【分析】根据方程的根的定义，得到m2﹣2m﹣3＝0，化简得m2﹣2m＝3，再化简原式得原式=2（m2﹣2m）﹣5，将m2﹣2m＝3代入原式，从而求得原式的值．
【详解】解：∵m是方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，
∴m2﹣2m﹣3＝0，
∴m2﹣2m＝3，
∴（m﹣2）2+（m+3）（m﹣3）
＝m2﹣4m+4+m2﹣9
＝2（m2﹣2m）﹣5
＝2×3﹣5＝1．
【点睛】本题考查了方程的根的定义，整式的乘法，掌握相关定义并进行正确的运算是解题的关键，解题中注意整体代入法的运用．
48．(1)±3
(2)见解析
【分析】（1）认真阅读题目，理解新运算的定义，然后计算即可；
（2）先判断出（﹣3x2＋6x﹣5）与（﹣x2＋2x＋3）大小关系，然后根据新运算定义计算．
【详解】（1）解：∵x2*（x2﹣2）＝30，x2≥（x2﹣2）
∴x2＋3（x2－2）＝30，解得x＝±3，
故答案为：±3．
（2）解：∵（﹣3x2+6x﹣5）－（﹣x2+2x+3）＝﹣2x2+4x﹣8＝﹣2（x﹣1）2﹣6＜0，
∴﹣3x2+6x﹣5＜﹣x2+2x+3，
（﹣3x2+6x﹣5）*（﹣x2+2x+3）＝（﹣3x2+6x﹣5）﹣3（﹣x2+2x+3）＝﹣3x2+6x﹣5+3x2﹣6x﹣9＝﹣14，
∵化简后的结果与x取值无关，
∴不论x取何值，结果都应该等于﹣14，不可能等于40，
∴小华说小明计算错误．
【点睛】本题考查解一元二次方程的能力和新定义的应用，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
49．（1）；（2），
【分析】（1）先把方程化为一元二次方程的一般形式，再考虑二次项系数不为0即可；
（2）把方程化为一般形式后，根据条件一次项系数为0列出方程，求出a的值，再代入原方程，解出方程即可.
【详解】解：化简，得
．
方程是关于的一元二次方程，得
，解得，
当时，方程是关于的一元二次方程；
由一次项系数为零，得．
则原方程是，即．
因式分解得，
解得，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项的系数不能为0，一元二次方程不含一次项时可选用因式分解法解一元二次方程.
50．(1)②③
(2)
(3)
【分析】（1）设两个不同的点P（m，n）和Q（－n，－m）是一对 “反换点”；①假设图象上存在“反换点”，将P（m，n），Q（－n，－m）坐标分别代入解析式，计算两等式是否有解，若有解，则图象存在反换点；
（2）设，则，其中，由题意得，求出的值，进而得到点坐标，然后代入中计算求解即可；
（3）假设图象上存在“反换点”，则有，①+②式得，有即，将代入①中求解的值，的值，进而得到的点坐标，计算两点的中点坐标即可．
【详解】（1）解：设两个不同的点P（m，n）和Q（－n，－m）是一对 “反换点”，且即
①假设图象上存在“反换点”，
将P（m，n）代入，则有即
将Q（－n，－m）代入，则有即
与矛盾
∴P（m，n）和Q（－n，－m）不能同时在图象上
∴图象上不存在“反换点”
故①不符合题意；
②假设图象上存在“反换点”，
将P（m，n）代入，则有 即
将Q（－n，－m）代入，则有即
与相同
∴P（m，n）和Q（－n，－m）均在图象上
∴图象上存在“反换点”
故②符合题意；
③假设图象上存在“反换点”，
将P（m，n）代入，则有①
将Q（－n，－m）代入，则有即②
将①代入②中得即
解得或（舍去）
∴存在使P（m，n）和Q（－n，－m）均在图象上
∴图象上存在“反换点”
故③符合题意；
故答案为：②③．
（2）解：设，则，其中
∴
解得
∴
将代入得
解得
∴的值为．
（3）解：假设图象上存在“反换点”
则有
①+②式得
∴或（舍去）
将代入①中得
解得或
当时，，此时，，两点的中点坐标为；
当时，，此时，，两点的中点坐标为；
∴存在“反换点”，线段中点坐标为．
【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，反比例函数与几何综合，解一元二次方程等知识．解题的关键在于理解题意并用适当的方法解方程．
51．(1)m＝3
(2)m＝±1或m＝0，m＝2
【分析】（1）根据一元二次方程的定义，可得答案；
（2）根据一元一次方程的定义，可得答案．
【详解】（1）由关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5一元二次方程，得
，
解得m＝3．
当m＝3时，关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5的一元二次方程．
（2）由关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5的一元一次方程，得
m+1＝0或或m-1=0，
解得m＝±1或m＝0，m＝2，
当m＝±1或m＝0，m＝2时，关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5的一元一次方程．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
答案第2页，共24页
答案第1页，共24页
