2022-2023学年山东省聊城市阳谷县八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在 中，，则( )
A. B. C. D.
2. 的平方根可以表示为( )
A. B. C. D.
3. 如果，那么下列不等式正确的是( )
A. B. C. D.
4. 下列数中是无理数的是( )
A. B. C. D.
5. 要检验一个四边形画框是否为矩形，可行的测量方法是( )
A. 测量四边形画框的两个角是否为
B. 测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分
C. 测量四边形画框的一组对边是否平行且相等
D. 测量四边形画框的四边是否相等
6. 如图，是的中线，、分别是，的中点，连结若，则的长为( )
A. B. C. D.
7. 如图，在正方形中，等边的顶点，分别在边和上，则等于( )
A. B.
C. D.
8. 下列判断正确的是( )
A. B. C. D.
9. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
10. 若不等式组的解是，则下列各式正确的是( )
A. B. C. D.
11. 小聪用元钱去购买笔记本和钢笔共件已知每本笔记本元，每支钢笔元，设小聪最多能买支钢笔可列出不等式( )
A. B.
C. D.
12. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为若，大正方形的面积为，则的长为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
13. ______ 填“”“”或“”
14. 若实数，满足，则的值是 ．
15. 连队执行救灾任务，原定用行军到达目的地，按计划走了小时后，接到命令，要求该连队至少提前到达，这个连队的行军速度至少提高到______ ．
16. 河滨公园有一块长方形的草坪如图所示，有少数的人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，他们仅仅少走了______ 米，却踩伤了花草青青绿草地，悠悠关我心，请大家文明出行，足下留“青”
17. 正方形纸板在数轴上的位置如图所示，点和对应的数分别是和，若正方形纸板绕着顶点顺时针方向在数轴上连续无滑动滚动，则数轴上、、、四个点中与数对应的点是______ ．
18. 如图，在边长为的菱形中，，连接，为图中任意线段上一点，若，则的长为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
如图，在平行四边形中，是对角线上的一点连，，，，求证：四边形是菱形．
20. 本小题分
解下列不等式组：
； ．
21. 本小题分
计算：
；
．
22. 本小题分
阅读下列解题过程：
；
；
；
计算： ______ ；
按照你所发现的规律，猜想： ______ ；为正整数
计算：．
23. 本小题分
如图，、、、分别是正方形四条边上的点，且
求证：四边形是正方形；
若，，求四边形的周长．
24. 本小题分
已知：如图，在中，，延长到，使，为的中点．
求证：提示：延长到，使，连接
25. 本小题分
某中学为落实教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球已知购买个篮球和个足球共需费用元；购买个篮球和个足球共需费用元．
求篮球和足球的单价分别是多少元；
学校计划采购篮球、足球共个，并要求篮球不少于个，且总费用不超过元那么有哪几种购买方案？
26. 本小题分
如图，中，，垂足为，，，．
求证：；
点为上一点，连接，若为等腰三角形，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据平行四边形的性质可得：．
故选：．
根据平行四边形的邻角互补即可得出的度数．
本题主要考查平行四边形的性质，属于基础题，比较简单，关键是掌握平行四边形的邻角互补．
2.【答案】
【解析】解：正数有两个平方根，它们互为相反数，
的平方根可以表示为，
故选：．
根据平方根的性质即可求解．
本题主要考查了平方根，掌握平方根的表示方法是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：、在不等式的两边同时减去，不等号的方向不变，即，不符合题意；
B、在不等式的两边同时加上，不等号的方向不变，即，不符合题意；
C、在不等式的两边同时乘，不等号法方向改变，即，不符合题意；
D、在不等式的两边同时乘，不等号的方向不变，即，符合题意．
故选：．
根据不等式的性质进行分析判断．
本题主要考查了不等式的性质．不等式的性质：不等式的两边都加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的性质：不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质：不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．据此逐一判断即可．
4.【答案】
【解析】解：、是无理数，故本选项符合题意；
B、是有理数，故本选项不符合题意；
C、是有理数，故本选项不符合题意；
D、是有理数，故本选项不符合题意．
故选：．
根据无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数逐项判断即得答案
本题考查了无理数的概念，属于应知应会题型，熟知概念是关键．
5.【答案】
【解析】解：、测量四边形画框的两个角是否为，不能判定为矩形，故选项A不符合题意；
B、测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分，能判定为矩形，故选项B符合题意；
C、测量四边形画框的一组对边是否平行且相等，能判定为平行四边形，不能判定是否为矩形，故选项C不符合题意；
D、测量四边形画框的四边是否相等，能判定为菱形，故选项D不符合题意；
故选：．
由平行四边形的判定与性质、菱形的判定，矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识；熟记“对角线互相平分的四边形为平行四边形”是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：是的中线，，
，
，分别是，的中点，
是的中位线，
，
故选：．
根据三角形的中线的概念求出，根据三角形中位线定理计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：连接，
四边形是正方形，
，，
是等边三角形，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
又，
，
故选：．
根据题意直接证明≌，进而得，可知，结合等边三角形的条件，即可求得．
本题考查了证明直角三角形全等，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，正方形的性质，熟练以上性质是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：，
，
故选：．
先找到所求的无理数在哪两个和它接近的有理数之间，然后判断出所求的无理数的范围．
此题主要考查了无理数的大小估算，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
9.【答案】
【解析】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
不等式组的解集为，
故选：．
根据解一元一次不等式组的步骤，先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可确定答案．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示等式组的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：不等式组的解集为，
．
故选：．
根据不等式组取解集的方法确定出所求即可．
此题考查了不等式的解集，不等式组取解集的方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．
11.【答案】
【解析】解：设小张买了支钢笔，则应满足的不等式是．
故选：．
根据题意分别表示出笔记本和钢笔总钱数进而得出答案．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确表示出总钱数是解题关键．
12.【答案】
【解析】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：，
每一个直角三角形的面积为：，
从图形中可得，大正方形的面积是个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，
，
，
，
．
故选：．
首先根据已知条件可得，中间小正方形的边长为：；接下来根据，大正方形的面积为求出小正方形的边长，然后根据勾股定理求解即可．
本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
13.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
故答案为：．
根据实数比较大小的方法求解即可．
本题主要考查了实数比较大小，解题的关键是要明确：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小．
14.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了算术平方根和算术平方根的非负性，能求出、的值是解此题的关键．
根据偶次方和算术平方根的非负性得出，的值，再根据算术平方根的定义即可得出答案．
【解答】
解：，
，，
，，
．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】解：设提速后的行军速度为，
原定用行军到达目的地，
原定行军速度为，
，
解得，
这个连队的行军速度至少提高到，
故答案为：．
设提速后的行军速度为，先求出原定速度，再根据该连队至少提前到达列出不等式求解即可．
本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，正确理解题意找到不等关系列出不等式是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：在中，，，
，
则，
故答案为：．
在中，直接利用勾股定理得出的长，再利用进而得出答案．
此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：滚动一次对应，对应；滚动二次对应，对应，滚动三次对应，对应；滚动四次对应，对应，正好一周，
正方形滚动一周的长度是，
，
即正方形滚动周，在滚动三次到达，
故答案为：．
由图形可知正方形滚动一周的长度是，是滚动周，再滚动三次，对应，故C是对应点．
本题考查的是有理数与数轴，解题的关键是找出正方形滚动的规律．
18.【答案】或或
【解析】解：如图所示，当点在上时，
，
；
如图所示，当点在上时，
四边形是菱形，
，
，
时等边三角形，
，
，
，
点是的中点，
，，
；
如图所示，当点在上时，作交的延长线于点，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
，
．
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
综上所述，的长为或或．
故答案为：或或．
根据题意分点在上，点在上和点在上三种情况讨论，分别利用菱形的性质，等边三角形的性质和勾股定理求解即可．
此题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
19.【答案】证明：在和中，
，
≌，
，
又四边形是平行四边形，
四边形是菱形．
【解析】证明≌得出平行四边形的邻边，即可得证．
本题考查了全等三角形的性质与判定，菱形的判定，掌握菱形的判定定理是解题的关键．
20.【答案】解：，
，
，
；
，
解得，
解得．
不等式的解集为．
【解析】移项，合并同类项，系数化为即可求解．
分别解出不等式解集，再确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键．
21.【答案】解：原式
；
原式
．
【解析】先计算负整数指数幂、立方根、算术平方根，再根据实数的混合计算法则求解即可；
先计算零指数幂、算术平方根及立方根，再根据实数的混合计算法则求解即可．
本题主要考查了实数的混合计算，零指数幂和负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键．
22.【答案】
原式
．
【解析】解：，
故答案为：；
依据上述运算的规律可得：，
故答案为：；
见答案．
利用算术平方根的意义解答即可；
利用式子的规律解答即可；
利用上面的规律将每个算术平方根化简，再利用分数的乘法的法则运算即可．
本题主要考查了实数的运算，实数运算的规律，发现数字运算的规律并熟练应用是解题的关键．
23.【答案】证明：，
．
，
≌≌≌．
，．
四边形是菱形，
，，
．
．
四边形是正方形；
解：，，
，
，
正方形的周长．
【解析】通过证明，，，全等，先得出四边形是菱形，再证明四边形中一个内角为，从而得出四边形是正方形的结论；
根据，，可得，根据勾股定理可得，进而可以解决问题．
本题主要考查了正方形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的判定和性质是解题的关键．
24.【答案】证明：延长到，使，连接
，
，
为的中点，
，
，
在与中，
≌，
，，
，
，
，
，
在与中
≌
【解析】延长到，使，连接，证明≌，然后再证明≌，从而可知．
本题考查全等三角形的性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定，本题属于中等题型．
25.【答案】解：设篮球的单价为元，足球的单价为元，
由题意可得：，
解得，
答：篮球的单价为元，足球的单价为元；
设采购篮球个，则采购足球为个，
要求篮球不少于个，且总费用不超过元，
，
解得，
为整数，
的值可为，，，，
共有四种购买方案，
方案一：采购篮球个，采购足球个；
方案二：采购篮球个，采购足球个；
方案三：采购篮球个，采购足球个；
方案四：采购篮球个，采购足球个．
【解析】根据购买个篮球和个足球共需费用元；购买个篮球和个足球共需费用元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
根据要求篮球不少于个，且总费用不超过元，可以列出相应的不等式组，从而可以求得篮球数量的取值范围，然后即可写出相应的购买方案．
本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式组．
26.【答案】证明：是直角三角形，理由如下：
，，，
，
又，，，
，
，
，
，
，是直角三角形．
解：分三种情况：
当时，
，
，
；
当时，是的中点，
；
当时，；
综上所述：的长为或或．
【解析】在中利用勾股定理可求，同理在中利用勾股定理可求，而，易求，从而可知是直角三角形．
分三种情况：当时；当时；当时；分别求出的长即可．
本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理的应用以及等腰三角形的性质．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
第1页，共1页
