2023-2024学年甘肃省兰州六十三中高三（上）第二次月考数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知全集，集合，，则( )
A. ， B. ，
C. D.
2.已知命题：，，则为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
4.若函数为幂函数，且在区间上单调递减，则( )
A. B. C. 或 D. 或
5.函数的零点所在区间是( )
A. B. C. D.
6.函数图象在点处的切线方程是( )
A. B. C. D.
7.过函数图象上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为( )
A. B. C. D.
8.若函数是定义域在上的偶函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列命题不正确的是( )
A. ，
B. ，
C. “”的充要条件是“”
D. “，”是“”的充分条件
10.下列各组函数是同一函数的是( )
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
11.已知函数，，若方程有两个不相等的实根，则实数的取值可以是( )
A. B. C. D.
12.已知函数为奇函数，且在区间上是增函数，若，则满足的是( )
A. B. C. D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.若，或，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围为______ ．
14.已知，则的最大值为______ ．
15.不等式的解集为______ ．
16.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知关于的不等式．
若，求不等式的解集；
若不等式的解集为，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数，求函数的值域；
已知，求值．
19.本小题分
设，且．
求的值及的定义域；
求在区间上的最值．
20.本小题分
已知幂函数为偶函数．
求的解析式；
若在区间上不单调，求实数的取值范围．
21.本小题分
已知曲线方程．
求以点为切点的切线方程；
求过点与曲线相切的直线方程．
22.本小题分
已知函数．
若函数的单调递减区间为，求实数的值；
若函数在单调递减，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：不等式解得，函数有意义，则，即，
则，，
所以，所以．
故选：．
解出集合中的不等式，解出集合中函数的定义域，得到这两个集合，再进行并集和补集的运算．
本题主要考查补集及其运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：命题是全称命题，则否定是特称命题：
即，，
故选：．
根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．
本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题进行判断是解决本题的关键，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
，
所以，
故选：．
先确定出，再通过、与的大小关系确定出．
本题考查中间值和指数对数的性质比较大小，属中档题．
4.【答案】
【解析】解：由题意函数为幂函数，且在区间上单调递减，
可得，且，
解得．
故选：．
根据函数为幂函数以及幂函数具有的性质，可列式计算，即得答案．
本题主要考查幂函数的性质，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：因为，在上单调递增，所以在上单调递增，
所以至多有一个零点，
因为，，
所以在零点在区间．
故选：．
根据零点存在性定理分析判断．
本题考查函数零点判断定理的应用，是基础题．
6.【答案】
【解析】【分析】
求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，再求出，利用直线方程的点斜式得答案．
本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是基础题．
【解答】
解：由，得，
则，又，
所求切线方程为，即．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
求出函数的导函数，由导函数的值域得到切线倾斜角正切值的范围，则倾斜角的范围可求．
本题考查导数的几何意义，考查直线倾斜角和斜率的关系，关键是熟练掌握正切函数的单调性，是中档题．
【解答】
解：由函数，得，
设函数图象上任一点，且过该点的切线的倾斜角为，
则，
，
或．
过函数图象上一个动点作函数的切线，切线倾斜角的范围为，．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性和单调性的定义和运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
由题意可得在上单调递减，且，推得和的解集，讨论，，可得的不等式组，解不等式可得所求解集．
【解答】
解：函数是定义域在上的偶函数，且在上单调递增，若，
可得在上单调递减，且，
则的解集为，的解集为．
不等式等价为或，
即为或，
所以原不等式的解集为．
故答案选C．
9.【答案】
【解析】解：对于选项，，，所以，命题“，”为假命题，错；
对于选项，当时，，故命题“，”为假命题，错；
对于选项，当时，，则无意义，”推不出“”，
另一方面，当时，则有，即，即“”“”，
所以，“”的充分不必要条件是“”，错；
对于选项，当，时，，即“，”是“”的充分条件，对．
故选：．
利用二次函数的性质可判断选项；利用特殊值法可判断选项；利用充分条件、必要条件的定义可判断选项；利用充分条件的定义可判断选项．
本题主要考查了含有量词的命题的真假的判断，还考查了充分必要条件的批判的，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，与的定义域都是，对应关系相同，
值域相同，故与是同一函数，故A正确；
对于，与的对应关系不同，故二者不是同一函数，故B错误；
对于，与，前者的定义域为，后者定义域为，
故二者不是同一函数，故C错误；
对于，与的定义域以及对应关系都相同，
故二者是同一函数，D正确．
故选：．
根据函数的定义，判断各选项中两函数的定义域、对应关系以及值域是否相同，如有不同即可判断不是同一函数，即可得答案．
本题主要考查了函数的基本性质，判断两个函数是否相同，需要判断定义域与对应法则是否相同，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：作出函数的图象如图，
直线过坐标原点，若，不满足方程有两个不相等的实根，
当时，直线与射线所在直线平行，，
则要使方程有两个不相等的实根，则，
结合选项可得，实数的取值可以是．
故选：．
作出的图象，对分类，数形结合得答案．
本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想，是中档题．
12.【答案】
【解析】解：为奇函数，且在区间上是增函数，
故函数在上也为增函数，，
由可知，当时，，可得，
当时，，可得，
综上所述，不等式的解集为
故选：．
根据函数的单调性，奇偶性即可得不等式的解集．
本题考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：因为是的充分不必要条件，所以，
又，或，
因此或，解得或，
所以实数的取值范围是．
故答案为：．
依题意有，根据集合的包含关系，列不等式求实数的取值范围．
本题主要考查充要条件，集合的运算，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由于，则，根据基本不等式，，
于是，即当时，的最大值是．
故答案为：．
根据基本不等式进行求解即可．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】【分析】
不等式，运用一元一次不等式组的解法，计算即可得到所求解集．
本题考查分式不等式的解法，注意运用分类讨论的思想方法，也可转化为二次不等式，注意分母不为，考查运算能力，属于基础题．
【解答】
解：不等式，
即有，
则，即解集为．
故答案为．
16.【答案】
【解析】解：方法一当时，不等式恒成立，
只需求出函数的最小值，令最小值大于即可．
二次函数的图象的对称轴为．
当，即时，函数在处取得最小值，则，，．
当，即时，函数在处取得最小值，
，解得，．
综上，实数的取值范围为．
方法二：，由得．
，当且仅当，即时等号成立，
的最大值为，．
故的取值范围为．
故答案为：．
根据二次函数的性质分类讨论求解最值即可求解，或者利用参数分离，结合基本不等式求解最值．
本题考查了不等式恒成立问题，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题．
17.【答案】解：时，，即，解得或，
故不等式的解集为或；
由题意得恒成立，故，
解得，
所以实数的取值范围是．
【解析】解一元二次不等式，求出答案；
转化为恒成立，由求出答案．
本题主要考查了一元二次不等式的求解，还考查了由不等式恒成立求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于基础题．
18.【答案】解：，
令，则，
由于在单调递增，
所以，
故的值域为；
由，得，
．
【解析】利用换元法，结合二次函数的性质即可求解，
根据指对互化，即可由对数的运算性质求解．
本题主要考查了函数单调性的应用，还考查了对数的运算性质的应用，属于基础题．
19.【答案】解：，
，
解得，或舍去，
由得，
函数的定义域为；
由知，．
．
二次函数的图像开口向下，对称轴为，
在上单调递增，在上单调递减．
，，，，
当时，．
又在上单调递增，
当时，．
在区间上的最小值是，最大值是．
【解析】利用代入法，结合对数型函数的定义域进行求解即可；
根据对数的运算性质，结合对数型函数的单调性进行求解即可．
本题考查对数函数的图象和性质，属中档题．
20.【答案】解：因为为幂函数，则，解得或，
当时，则为奇函数，不合题意；
当时，则为偶函数，符合题意；
综上所述：；
由可得：，其对称轴，
因为在区间上不单调，则，解得，
实数的取值范围．
【解析】根据幂函数的定义结合函数奇偶性分析求解；
根据二次函数单调性运算求解．
本题考查了函数的奇偶性、单调性及其运用，是基础题．
21.【答案】解：由，得，
则，
以点为切点的切线方程是；
设切点坐标为，
则切线方程为，即，
代入，则，即，
解得或，
当时，所求直线方程为；
当时，切点，斜率为，所求直线方程为．
过点与曲线相切的直线方程为和．
【解析】根据函数求导得到以点为切点的切线方程的斜率进而求解；
设出切点，将代入切线方程求解切点进而求解答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是中档题．
22.【答案】解：由题意得，
函数的单调递减区间为，
是的两个根，
，解得，
经检验当时，由，解得，
函数的单调递减区间为．
故；
在单调递减，
对恒成立，即，即恒成立，
，
故实数的取值范围为．
【解析】根据函数的单调递减区间为，得出是两个根，即可得出答案；
由函数在单调递减，转化为对恒成立，求解即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
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