2023年秋季初二数学第一阶段复习
一．角平分线模型
1．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，若∠A＝50°，则∠BOC＝（ ）
A．100° B．115° C．125° D．130°
2．如图，已知BE平分∠ABC，CE平分∠ACD交BE于E，若∠BEC＝β，请用含β的式子表示∠FAE，下列表示正确的是（ ）
A．3β B．180°﹣2β C．90°﹣β D．45°+β
3．（1）如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求证：∠P＝90°+∠A；
（2）如图2，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACE，猜想∠P和∠A有何数量关系，并证明你的结论．
4．如图，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝80°，∠ABC＝70°．求∠BAD，∠AOF．
5．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠CBM是△ABC的外角，∠CAB和∠CBM的平分线交于点P，过P作PF⊥AD交CB的延长线于点F，交AC延长线于点H．
（1）求∠APB度数；
（2）求证：AP＝FP；
（3）若AH＝5，BD＝1.5，求AB的长．
6．（1）如图1，在△ABC中BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，过点O作直线EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，直接写出EF和BE、CF的数量关系 ．
（2）如图2，若将（1）中的“BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB”改为“BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB的外角”，其他条件不变，则EF与BE、CF的关系又如何？请说明理由．
二．倍长中线模型
7．如图，已知AD是△ABC中BC边上的中线，AB＝5，AC＝3，则AD的取值范围是（ ）
A．2＜AD＜8 B．1＜AD＜4 C．2＜AD＜5 D．4≤AD≤8
8．在△ABC中，AB＝6，AC＝4，则BC边上的中线AD的取值范围是 ．
9．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AM⊥BC于点M，点D在AM上，且DM＝CM，F是BC的中点，连接FD并延长，在FD的延长线上有一点E，连接CE，且CE＝CA，∠BDF＝36°，则∠E＝ ．
10．如图，AD是△ABC的中线，F为AD上一点，E为AD延长线上一点，且DF＝DE．
求证：BE∥CF．
11．已知CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C＝∠BAE．
12．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．
求证：AB＝CD．
13．（1）如图1，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝80°，AD平分∠BAC．求证：AD＝AC；
（2）如图2，在△ABC中，点E在BC边上，中线BD与AE相交于点P，AP＝BC．求证：PE＝BE．
三．一线三等角模型（一线三垂直）
14．如图，AC＝AB＝BD，∠ABD＝90°，BC＝8，则△BCD的面积为（ ）
A．8 B．12 C．14 D．16
15．如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，对角线BD⊥CD，若BD＝14，则△ABD的面积为 ．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，若AD＝8cm，BE＝3cm，则DE＝ cm．
17．如图，在△ABC中，点D、E分别为边AC、BC上的点，且AD＝DE，AB＝BE，∠A＝70°，则∠CED＝ 度．
18．如图，等边三角形ABC中，放置等边三角形DEF，且点D，E分别落在AB，BC上，AD＝5，连结CF，若CF平分∠ACB，则BE的长度为 ．
19．如图，等边△ABC中，CH⊥AB于点H，点D、E分别在边AB、BC上，连接DE，点F在CH上，连接EF，若DE＝EF，∠DEF＝60°，BE＝2，CE＝8，则DH＝ ．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC，AB边上的高AD，CE相交于点F，且AE＝CE．
（1）求证：△AEF≌△CEB；
（2）若AF＝12，求CD的长．
21．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD＝3，BE＝1，求DE的长．
四．平行+中点构造全等模型
22．如图，△ABD中，∠A＝60°．点B为线段DE的中点，EF⊥AD，交AB于点C，若AC＝BC＝3，则AD＝ ．
23．如图，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝1，BC＝4，CD＝3，取AD的中点E，连结BE，则BE＝ ．
24．如图，四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，AB+CD＝AC．
（1）求证：CO平分∠ACD；
（2）求证：AO平分∠BAC，OA⊥OC．
25．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，且DE⊥BC交AB于点F．
（1）求证：△ADF是等腰三角形；
（2）若AC＝10，BE＝3，F为AB中点，求DF的长．
26．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点M在BC边上，且∠MDF＝∠ADF．
（1）求证：△ADE≌△BFE．
（2）求证：EM垂直平分DF．
27．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点M在BC边上，且∠MDF＝∠ADF．
（1）求证：△ADE≌△BFE．
（2）连接EM，如果FM＝DM，判断EM与DF的关系，并说明理由．
五．角平分+垂直模型
28．如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，连接PC，若△ABC的面积为2cm2，则△PBC的面积为（ ）
A．0.8cm2 B．1cm2 C．1.2cm2 D．不能确定
29．如图，OA是∠MON的角平分线，过A作一直线分别与∠MON的两边交于B、C两点，线段BC的垂直平分线交OA于点D，交BC于点P．若∠MON＝54°，则∠BDP＝（ ）
A．54° B．63° C．66° D．72°
30．如图，AD∥BC，AE平分∠BAD，点E为DC中点，求证：AD+BC＝AB．
31．已知：如图，PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，D、E分别是边PA和PB上的点，且CD＝CE．
求证：∠APB+∠DCE＝180°．
32．如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，满足CD＝BA，过点C作CE∥AB，且CE＝BC，连接DE并延长，分别交AC，AB于点F，G．
（1）求证：△ABC≌△DCE；
（2）若BD＝12，AB＝2CE，求BC的长度．
33．如图，AD是△ABC的角平分线，过点C作CE⊥AD，垂足为点E，延长CE与AB相交于点F，连接DF，若∠BAC＝60°，∠B＝40°，求∠BDF的度数？
六．等腰三角形性质与判定
34．等腰三角形的一边等于5，一边等于12，则它的周长是（ ）
A．22 B．29 C．22或29 D．17
35．用一条长41cm的细绳围成一个三角形，已知此三角形的第一条边为xcm，第二条边是第一条边的3倍少4cm．
（1）请用含x的式子表示第三条边的长度．
（2）若此三角形恰好是一个等腰三角形，求这个等腰三角形的三边长．
36．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，P、Q分别为AC、AB上的点，且AP＝PQ＝QB＝BC，则∠PCQ的度数为（ ）
A．30 B．36 C．45 D．37.5
37．如图，△ABC中，AC＝8，点D，E分别在BC，AC上，F是BD的中点．若AB＝AD，EF＝EC，则EF的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
38．如图，在△ABC中，D为边AC上一点，且BD平分∠ABC，过A作AE⊥BD于点E．若∠ABC＝64°，∠C＝29°，AB＝4，BC＝10，则AE＝ ．
39．如图，已知O是等边三角形ABC内一点，D是线段BO延长线上一点，且OD＝OA，∠AOB＝120°，那么∠BDC＝ 度．
40．如图，在△ABC中，AB＝AC＝24厘米，BC＝16厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为 厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．
41．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF，求证：
（1）EF⊥AB；
（2）△ACF为等腰三角形．
42．已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F．
（1）求证：AN＝BM；
（2）求证：△CEF为等边三角形．
参考答案与试题解析
1．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，若∠A＝50°，则∠BOC＝（ ）
A．100° B．115° C．125° D．130°
【解答】解：在△ABC中，∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°．
∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠1+∠2＝（∠ABC+∠ACB）＝65°．
在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝115°．
故选：B．
2．如图，已知BE平分∠ABC，CE平分∠ACD交BE于E，若∠BEC＝β，请用含β的式子表示∠FAE，下列表示正确的是（ ）
A．3β B．180°﹣2β C．90°﹣β D．45°+β
【解答】解：过点E作EM⊥BF、EG⊥AC、EN⊥BC，
垂足分别为M、G、N．
∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠FBE＝∠EBD＝∠ABC，
∠DCE＝∠ACD＝．
又∵EM⊥BF、EG⊥AC、EN⊥BC，
∴EF＝EN，EG＝EN．
∴EF＝EG．
∵EM⊥BF、EG⊥AC，
∴AE是∠FAC的平分线，
∴∠FAE＝FAC．
∵2∠FAE＝∠FAC＝∠ABC+∠ACB
＝2∠EBC+（180°﹣∠ACD）．
又∵∠ACD＝2∠ECD＝2（∠EBC+∠BEC）
＝2∠EBC+2β．
∴2∠FAE＝2∠ECB+180°﹣（2∠EBC+2β）
＝2∠ECB+180°﹣2∠EBC﹣2β
＝180°﹣2β．
∴∠FAE＝90°﹣β．
故选：C．
3．（1）如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求证：∠P＝90°+∠A；
（2）如图2，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACE，猜想∠P和∠A有何数量关系，并证明你的结论．
【解答】（1）证明：∵A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PCB＝ACB，∠PBC＝ABC，
∴∠P＝180°﹣（∠PCB+∠PBC）
＝180°﹣（∠ACB+∠ABC）
＝180°﹣（180°﹣∠A）
＝90°+A；
（2）猜想：
证明：∵∠ACE＝∠A+∠ABC，
∴∠A＝∠ACE﹣∠ABC，
∵∠PCE＝∠P+∠PBC，
∴∠P＝∠PCE﹣∠PBC，
又∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACE，
∴，
∴∠P＝ACE﹣ABC
＝（∠ACE﹣∠ABC）
＝A．
4．如图，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝80°，∠ABC＝70°．求∠BAD，∠AOF．
【解答】解：∵AD是高，∠ABC＝70°，
∴∠BAD＝90°﹣70°＝20°，
∵AE、BF是角平分线，∠BAC＝80°，∠ABC＝70°，
∴∠ABO＝35°，∠BAO＝40°，
∴∠AOF＝∠ABO+∠BAO＝75°．
5．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠CBM是△ABC的外角，∠CAB和∠CBM的平分线交于点P，过P作PF⊥AD交CB的延长线于点F，交AC延长线于点H．
（1）求∠APB度数；
（2）求证：AP＝FP；
（3）若AH＝5，BD＝1.5，求AB的长．
【解答】（1）解：∵AP平分∠BAC，
∴∠PAB＝∠BAC，
同理可得∠PBM＝∠CBM，
∵∠CBM＝∠BAC+∠ACB，∠PBM＝∠APB+∠BAP，
∴∠APB+∠BAP＝∠CBM＝∠BAC+ACB，
∴∠APB＝∠ACB＝45°；
（2）证明：∵PF⊥AD，∠ACB＝90°，
∴∠APF＝90°，∠CAD+∠CDA＝90°，
∴∠BPF＝∠APF﹣∠APB＝45°，∠F+∠PDF＝90°，
又∵∠CDA＝∠PDF，
∴∠F＝∠CAD，
∠∴F＝∠CAD＝∠BAP（角平分线的定义和等量代换），
又∵BP＝BP，∠APB＝∠FPB＝45°，
∴△APB≌△FPB（AAS），
∴AP＝FP；
（3）解：∵∠PDB＝∠PAB+∠ABD，∠PMB＝∠F+∠FBM，∠PAM＝∠F，∠ABD＝∠FBM，
∴∠PDB＝∠PMB，
又∵∠DPB＝∠MPB，BP＝BP，
∴△DPB≌△MPB（AAS），
∴BM＝BD＝1.5，
∵∠APH＝∠APM＝90°，∠HAP＝∠MAP，AP＝AP，
∴△HAP≌△MAP（ASA），
∴AM＝AH＝5，
∴AB＝AM﹣BM＝3.5．
6．（1）如图1，在△ABC中BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，过点O作直线EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，直接写出EF和BE、CF的数量关系 EF＝BE+CF ．
（2）如图2，若将（1）中的“BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB”改为“BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB的外角”，其他条件不变，则EF与BE、CF的关系又如何？请说明理由．
【解答】解：（1）EF＝BE+CF．
理由：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB，
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，
∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，
∴BE＝OE，CF＝OF，
∴EF＝BE+CF．
（2）EF＝BE﹣CF，
理由：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD，
∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCD，
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCD，
∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，
∴BE＝OE，CF＝OF，
∴EF＝BE﹣CF．
7．如图，已知AD是△ABC中BC边上的中线，AB＝5，AC＝3，则AD的取值范围是（ ）
A．2＜AD＜8 B．1＜AD＜4 C．2＜AD＜5 D．4≤AD≤8
【解答】解：如图，延长AD到E，使DE＝AD，连接CE，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△ABD和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE＝AB＝5，
在△ACE中，由三角形的三边关系得：CE﹣AC＜AE＜CE+AC，
∴5﹣3＜AE＜5+3，
即2＜2AD＜8，
∴1＜AD＜4，
故选：B．
8．在△ABC中，AB＝6，AC＝4，则BC边上的中线AD的取值范围是 1＜AD＜5 ．
【解答】解：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC＝BE＝4，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴6﹣4＜2AD＜6+4，
∴1＜AD＜5，
故答案为：1＜AD＜5．
9．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AM⊥BC于点M，点D在AM上，且DM＝CM，F是BC的中点，连接FD并延长，在FD的延长线上有一点E，连接CE，且CE＝CA，∠BDF＝36°，则∠E＝ 36° ．
【解答】解：∵∠ABM＝45°，AM⊥BM，
∴∠BMD＝∠AMC，BM＝AM，
在△BMD和△AMC中，
，
∴△BMD≌△AMC（SAS），
延长EF到点G，使得FG＝EF，连接BG．如图所示：
∵△BMD≌△AMC
∴BD＝AC，
又∵CE＝AC，
∴BD＝CE，
在△BFG和△CFE中，
，
∴△BFG≌△CFE（SAS），
∴BG＝CE，∠G＝∠CEF，
∴BD＝CE＝BG，
∴∠BDF＝∠G＝∠CEF．
∴∠BDF＝∠CEF，
∴∠E＝36°．
故答案为：36°．
10．如图，AD是△ABC的中线，F为AD上一点，E为AD延长线上一点，且DF＝DE．
求证：BE∥CF．
【解答】证明：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（SAS），
∴∠BED＝∠CFD，
∴BE∥CF．
11．已知CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C＝∠BAE．
【解答】证明：延长AE到F，使EF＝AE，连接DF，
∵AE是△ABD的中线，
∴BE＝ED，
在△ABE与△FDE中
，
∴△ABE≌△FDE（SAS），
∴AB＝DF，∠BAE＝∠EFD，
∵∠ADB是△ADC的外角，
∴∠DAC+∠ACD＝∠ADB＝∠BAD，
∴∠BAE+∠EAD＝∠BAD，∠BAE＝∠EFD，
∴∠EFD+∠EAD＝∠DAC+∠ACD，
∴∠ADF＝∠ADC，
∵AB＝DC，∴DF＝DC，
在△ADF与△ADC中
，
∴△ADF≌△ADC（SAS）
∴∠C＝∠AFD＝∠BAE．
12．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．
求证：AB＝CD．
【解答】证明：延长DE到F，使EF＝DE，连接BF，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∵在△BEF和△CED中
，
∴△BEF≌△CED（SAS）．
∴∠F＝∠CDE，BF＝CD．
∵∠BAE＝∠CDE，
∴∠BAE＝∠F．
∴AB＝BF，
又∵BF＝CD，
∴AB＝CD．
13．（1）如图1，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝80°，AD平分∠BAC．求证：AD＝AC；
（2）如图2，在△ABC中，点E在BC边上，中线BD与AE相交于点P，AP＝BC．求证：PE＝BE．
【解答】证明：（1）在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝80°，
∴∠BAC＝180°﹣60°﹣80°＝40°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝BAC＝20°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝60°+20°＝80°，
∵∠C＝80°，
∴∠C＝∠ADC，
∴AD＝AC；
（2）过点A作AF∥BC交BD的延长线于点F，
∴∠F＝∠DBC，∠FAD＝∠C，
∵AD＝CD，
∴△ADF≌△CDB（AAS），
∴AF＝BC，
∵AP＝BC，
∴AP＝AF，
∴∠APF＝∠F，
∵∠APF＝∠BPE，∠F＝∠DBC，
∴∠BPE＝∠PBE，
∴PE＝BE．
14．如图，AC＝AB＝BD，∠ABD＝90°，BC＝8，则△BCD的面积为（ ）
A．8 B．12 C．14 D．16
【解答】解：作AE⊥BC于E，DF⊥CB交CB延长线于F，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE＝4，
∵∠EAB+∠ABE＝∠DBF+∠ABE＝90°，
∴∠EAB＝∠DBF，
∵∠AEB＝∠BFD＝90°，AB＝DB，
∴△AEB≌△BFD（AAS），
∴DF＝BE＝4，
∴S△DCB＝CB DF，
∴S△DCB＝×8×4＝16，
故选：D．
15．如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，对角线BD⊥CD，若BD＝14，则△ABD的面积为 98 ．
【解答】解：过点A作AE⊥BD，垂足为E，
∵AE⊥BD，CD⊥BD，
∴∠AEB＝∠CDB＝90°，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠DBC＝90°，
∴∠BAE＝∠DBC，
∵AB＝BC，
∴△ABE≌△BCD（AAS），
∴AE＝BD＝14，
∴△ABD的面积＝BD AE＝×14×14＝98，
故答案为：98．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，若AD＝8cm，BE＝3cm，则DE＝ 5 cm．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
在△CDA和△BEC中，
，
∴△CDA≌△BEC（AAS），
∴CD＝BE，CE＝AD，
∵DE＝CE﹣CD，
∴DE＝AD﹣BE，
∵AD＝8cm，BE＝3cm，
∴DE＝5cm，
故答案为：5．
17．如图，在△ABC中，点D、E分别为边AC、BC上的点，且AD＝DE，AB＝BE，∠A＝70°，则∠CED＝ 110 度．
【解答】解：在△ADB与△EDB中，
，
∴△ADB≌△EDB（SSS），
∴∠A＝∠DEB＝70°，
∴∠CED＝180°﹣∠DEB＝180°﹣70°＝110°，
故答案为：110．
18．如图，等边三角形ABC中，放置等边三角形DEF，且点D，E分别落在AB，BC上，AD＝5，连结CF，若CF平分∠ACB，则BE的长度为 2.5 ．
【解答】解：如图，在BC上截取EG＝BD，连接FG，
∵△ABC和△DEF是等边三角形，
∴DE＝EF，AB＝BC，∠DEF＝∠B＝∠ACB＝60°，
∵∠DEC＝∠BDE+∠B＝∠DEF+∠FEG，
∴∠BDE＝∠FEG，
在△BED和△GFE中，
，
∴△BED≌△GFE（SAS），
∴∠B＝∠EGF＝60°，BE＝FG，
∵FC平分∠ACB，
∴∠ACF＝∠ECF＝30°，
∵∠EGF＝∠GFC+∠FCG，
∴∠GFC＝∠GCF＝30°，
∴FG＝CG＝BE，
∵AB＝BC，BD＝EG，
∴AD＝BE+CG＝2BE＝5，
∴BE＝2.5．
故答案为：2.5．
19．如图，等边△ABC中，CH⊥AB于点H，点D、E分别在边AB、BC上，连接DE，点F在CH上，连接EF，若DE＝EF，∠DEF＝60°，BE＝2，CE＝8，则DH＝ 1 ．
【解答】解：在BC上取点G，连接GF，使GC＝GF，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，
∵CH⊥AB，
∴AH＝BH＝AB＝×10＝5，
∠BCH＝∠ABC＝30°，
∵GF＝GC，
∴∠GFC＝∠BCH＝30°，
∴∠EGF＝∠GFC+∠BCH＝60°，
∴∠B＝∠EGF，
∵∠DEF＝60°，
∴∠BED+∠GEF＝120°，
∵∠BED+∠BDE＝120°，
∴∠BDE＝∠GEF，
又∵DE＝EF，
∴△BDE≌△GEF（AAS），
∴BE＝CG＝2，
BD＝EG＝10﹣2﹣2＝6，
∴DH＝BD﹣BH＝6﹣5＝1．
故答案为：1．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC，AB边上的高AD，CE相交于点F，且AE＝CE．
（1）求证：△AEF≌△CEB；
（2）若AF＝12，求CD的长．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠B+∠BAD＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠B+∠BCE＝90°，
∴∠EAF＝∠ECB，
在△AEF和△CEB中，
，
∴△AEF≌△CEB（ASA）．
（2）解：∵△AEF≌△CEB，
∴AF＝BC，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴CD＝BD，BC＝2CD，
∴AF＝2CD，
∴CD＝AF＝×12＝6．
21．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD＝3，BE＝1，求DE的长．
【解答】解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E＝∠ADC＝90°，
∴∠EBC+∠BCE＝90°．
∵∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠DCA．
在△CEB和△ADC中，
，
∴△CEB≌△ADC（AAS），
∴BE＝DC＝1，CE＝AD＝3．
∴DE＝EC﹣CD＝3﹣1＝2．
22．如图，△ABD中，∠A＝60°．点B为线段DE的中点，EF⊥AD，交AB于点C，若AC＝BC＝3，则AD＝ ．
【解答】解：如图，作BG∥AD交EF于点G，
∵∠A＝60°，EF⊥AD，AC＝3，
∴AF＝AC＝，
∵BG∥AD，
∴∠A＝∠CBG，∠AFC＝∠BGC，
又∵AC＝BC，
∴△ACF≌△BCG（AAS），
∴BG＝AF＝，
∵BG∥AD，
∴△BEG∽△DEF，
∴，
∵点B为线段DE的中点，
∴，
∴DF＝2BG＝2×＝3，
∴AD＝AF+DF＝+3＝．
故答案为：．
23．如图，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝1，BC＝4，CD＝3，取AD的中点E，连结BE，则BE＝ ．
【解答】解：延长BE交CD于点F，
∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠DFE，
在△ABE与△DFE中，
，
∴△ABE≌△DFE（ASA），
∴BE＝EF＝BF，AB＝DF＝1，
∴CF＝2，
∴BF＝＝＝2，
∴BE＝BF＝，
故答案为：．
24．如图，四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，AB+CD＝AC．
（1）求证：CO平分∠ACD；
（2）求证：AO平分∠BAC，OA⊥OC．
【解答】证明：（1）延长AO交CD的延长线于E．
∵∠D＝∠ABD＝90°，
∴∠CDB+∠ABD＝90°，
∴AB∥CE，
∴∠BAO＝∠E，
在△ABO和△EDO中，
，
∴△ABO≌△EDO，
∴AO＝OE，AB＝DE，
∵AC＝AB+CD，CE＝CD+DE＝CD+AB，
∴CA＝CE，∵OA＝OE，
∴OC平分∠ACD．
（2）∵CA＝CE，
∴∠CAE＝∠E，
∵∠E＝∠BAE，
∴∠CAO＝∠OAB，
∴OA平分∠CAB，
∵CA＝CE，OA＝OE，
∴CO⊥AO．
25．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，且DE⊥BC交AB于点F．
（1）求证：△ADF是等腰三角形；
（2）若AC＝10，BE＝3，F为AB中点，求DF的长．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝∠DEB＝90°，
∴∠B+∠BFE＝90°，∠C+∠D＝90°，
∴∠D＝∠BFE，
∵∠BFE＝∠AFD，
∴∠D＝∠AFD，
∴AD＝AF，
∴△ADF是等腰三角形；
（2）过点A作AG⊥DE，垂足为G，
∵AB＝AC，AC＝10，
∴AB＝10，
∵F为AB中点，
∴AF＝BF＝AB＝5，
在Rt△BFE中，BE＝3，
∴EF＝＝＝4，
∵∠AGF＝∠BEF＝90°，∠AFG＝∠BFE，
∴△AFG≌△BFE（AAS），
∴GF＝EF＝4，
∵AD＝AF，AG⊥DF，
∴DF＝2GF＝8．
26．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点M在BC边上，且∠MDF＝∠ADF．
（1）求证：△ADE≌△BFE．
（2）求证：EM垂直平分DF．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠A＝∠EBF，∠ADE＝∠F．
∵E是AB的中点，
∴AE＝BE．
在△ADE与△BFE中，
，
∴△ADE≌△BFE（AAS）．
（2）∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠F．
∵∠MDF＝∠ADF，
∴∠MDF＝∠F．
∴FM＝DM．
∵△ADE≌△BFE，
∴EF＝DE．
∴点E为边DF的中点．
∴ME⊥DF．
即EM垂直平分DF．
27．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点M在BC边上，且∠MDF＝∠ADF．
（1）求证：△ADE≌△BFE．
（2）连接EM，如果FM＝DM，判断EM与DF的关系，并说明理由．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠BFE，
∵E为AB的中点，
∴AE＝BE，
在△AED和△BFE中，，
∴△AED≌△BFE（AAS）；
（2）解：EM与DM的关系是EM垂直且平分DF；理由如下：
连接EM，如图所示：
由（1）得：△AED≌△BFE，
∴DE＝EF，
∵∠MDF＝∠ADF，∠ADE＝∠BFE，
∴∠MDF＝∠BFE，
∴FM＝DM，
∴EM⊥DF，
∴ME垂直平分DF．
28．如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，连接PC，若△ABC的面积为2cm2，则△PBC的面积为（ ）
A．0.8cm2 B．1cm2 C．1.2cm2 D．不能确定
【解答】解：如图，延长AP交BC于E，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠EBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB＝∠EPB＝90°，
∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴AP＝PE，
∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，
∴S△PBC＝S△ABC＝×2＝1（cm2），
故选：B．
29．如图，OA是∠MON的角平分线，过A作一直线分别与∠MON的两边交于B、C两点，线段BC的垂直平分线交OA于点D，交BC于点P．若∠MON＝54°，则∠BDP＝（ ）
A．54° B．63° C．66° D．72°
【解答】解：过点D作DE⊥OM于点E，作DF⊥ON于点F，如图，
∵P为BC的中点，且DP⊥BC，
∴DB＝DC，
∵OD平分∠MON，
∴DE＝DF，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），
∴∠DCF＝∠DBE，
∵∠DBE+∠OBD＝180°
∴∠DCF+∠OBD＝180°，
∴∠MON+∠BDC＝180°，
∵∠MON＝54°，
∴∠BDC＝126°，
∴∠BDP＝63°，
故选：B．
30．如图，AD∥BC，AE平分∠BAD，点E为DC中点，求证：AD+BC＝AB．
【解答】证明：延长AE，BC交于点F，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠CFE，
∵点E是DC的中点，
∴ED＝CE，
在△ADE与△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴AD＝CF，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAF＝∠BAF，
∵AD∥BC，
∴∠DAF＝∠F，
∴∠BAF＝∠F，
∴AB＝BF，
∴AB＝BF＝BC+CF＝BC+AD．
31．已知：如图，PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，D、E分别是边PA和PB上的点，且CD＝CE．
求证：∠APB+∠DCE＝180°．
【解答】证明：∵PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，
∴CM＝CN，
在Rt△DCM与Rt△ECN中，
，
∴Rt△DCM≌Rt△ECN（HL），
∴∠DCM＝∠ECN，
∴∠MCN＝∠MCD+∠DCN＝∠ECN+∠DCN＝∠DCE，
∵∠PMC+∠PNC+∠APB+∠MCN＝90°+90°+∠APB+∠MCN＝360°，
∴∠APB+∠MCN＝180°，
∴∠APB+∠DCE＝180°．
32．如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，满足CD＝BA，过点C作CE∥AB，且CE＝BC，连接DE并延长，分别交AC，AB于点F，G．
（1）求证：△ABC≌△DCE；
（2）若BD＝12，AB＝2CE，求BC的长度．
【解答】（1）证明：∵CE∥AB，
∴∠B＝∠ECD，
在△ABC与△DCE中，
，
∴△ABC≌△DCE（SAS）；
（2）解：∵△ABC≌△DCE，
∴AB＝CD＝8，
∴BC＝BD﹣CD＝12﹣8＝4．
33．如图，AD是△ABC的角平分线，过点C作CE⊥AD，垂足为点E，延长CE与AB相交于点F，连接DF，若∠BAC＝60°，∠B＝40°，则∠BDF的度数为 40 °．
【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠FAD＝∠CAD，
∵CE⊥AD，
∴∠AEF＝∠AEC＝90°，
在△AFE和△ACE中，
，
∴△AFE≌△ACE（ASA），
∴EF＝CE，AF＝CF，
∴∠AFE＝∠ACE，
∵CE⊥AD，
∴CD＝FD，
∴∠DFC＝DCF，
∴∠AFD＝∠ACD，
∵∠BAC＝60°，∠B＝40°，
∴∠ACD＝∠AFD＝180°﹣60°﹣40°＝80°，
∴∠CDF＝360°﹣∠BAC﹣∠ACD﹣∠AFD＝140°，
∴∠BDF＝180°﹣∠CDF＝180°﹣140°＝40°．
故答案为：40．
34．等腰三角形的一边等于5，一边等于12，则它的周长是（ ）
A．22 B．29 C．22或29 D．17
【解答】解：若5为底边长，12为腰长，
∵12+5＞12，
∴能组成三角形，
∴此时它的周长是：12+12+5＝29；
若12为底边长，5为腰长，
∵5+5＜12，
∴不能组成三角形，故舍去．
∴它的周长是29．
故选：B．
35．用一条长41cm的细绳围成一个三角形，已知此三角形的第一条边为xcm，第二条边是第一条边的3倍少4cm．
（1）请用含x的式子表示第三条边的长度．
（2）若此三角形恰好是一个等腰三角形，求这个等腰三角形的三边长．
【解答】解：（1）∵三角形的第一条边为xcm，第二条边是第一条边的3倍少4cm．
∴第二条边是（3x﹣4）cm，
∴第三条边的长度为41﹣x﹣（3x﹣4）＝45﹣4x（cm）；
（2）若x＝3x﹣4，则x＝2，不能组成三角形；
若x＝45﹣4x，则x＝9，不能组成三角形；
若3x﹣4＝45﹣4x，则x＝7，
∴3x﹣4＝45﹣4x＝17，符合题意，
∴该等腰三角形的三边长分别为：17cm、17cm和7cm．
36．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，P、Q分别为AC、AB上的点，且AP＝PQ＝QB＝BC，则∠PCQ的度数为（ ）
A．30 B．36 C．45 D．37.5
【解答】解：在AC上取点D，使QD＝PQ，连接QD、BD，
设∠A＝x，则∠QDP＝∠QPD＝2x，∠BQD＝3x，
∵DQ＝QB，
∴∠QBD＝90°﹣1.5x，∠BDC＝90°﹣0.5x，
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝90°﹣0.5x，
∴BD＝BC，
∴BD＝BQ＝QD，
∴△BDQ为等边三角形，
∴∠QBD＝90°﹣1.5x＝60°，
故x＝20°，
∴∠ABC＝80°，
∴∠QCB＝50°，
∴∠PCQ＝80°﹣50°＝30°．
故选：A．
37．如图，△ABC中，AC＝8，点D，E分别在BC，AC上，F是BD的中点．若AB＝AD，EF＝EC，则EF的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：连接AF，
∵AB＝AD，F是BD的中点，
∴AF⊥BD，
∴∠AFD＝90°，
∴∠EAF+∠C＝90°，∠AFE+∠EFC＝90°，
∵EF＝EC，
∴∠EFC＝∠C，
∴∠EAF＝∠AFE，
∴EA＝EF，
∴EF＝EA＝EC＝AC＝4，
故选：B．
38．如图，在△ABC中，D为边AC上一点，且BD平分∠ABC，过A作AE⊥BD于点E．若∠ABC＝64°，∠C＝29°，AB＝4，BC＝10，则AE＝ 3 ．
【解答】解：如图，延长AE交BC于点F．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠FBE．
在△ABE和△FBE中，
，
∴△ABE≌△FBE（ASA），
∴AE＝EF，AB＝BF＝4，
∴．
∵∠C＝29°，
∴∠CAF＝∠AFB﹣∠C＝29°，
∴∠CAF＝∠C，
∴AF＝CF．
∵BC＝10，
∴CF＝BC﹣BF＝6，
∴AF＝6，
∴AE＝3．
故答案为：3．
39．如图，已知O是等边三角形ABC内一点，D是线段BO延长线上一点，且OD＝OA，∠AOB＝120°，那么∠BDC＝ 60 度．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°．
∵∠AOB＝120°，∠AOD+∠AOB＝180°，
∴∠AOD＝60°．
又∵OD＝OA，
∴△AOD为等边三角形，
∴AO＝AD，∠OAD＝60°，∠ADO＝60°．
∵∠BAO+∠OAC＝∠OAC+∠CAD＝60°，
∴∠BAO＝∠CAD．
在△BAO和△CAD中，，
∴△BAO≌△CAD（SAS），
∴∠ADC＝∠AOB＝120°，
∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADO＝60°．
故答案为：60．
40．如图，在△ABC中，AB＝AC＝24厘米，BC＝16厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为 4或6 厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．
【解答】解：设经过x秒后，使△BPD与△CQP全等，
∵AB＝AC＝24厘米，点D为AB的中点，
∴BD＝12厘米，
∵∠ABC＝∠ACB，
∴要使△BPD与△CQP全等，必须BD＝CP或BP＝CP，
即12＝16﹣4x或4x＝16﹣4x，
解得：x＝1或x＝2，
x＝1时，BP＝CQ＝4，4÷1＝4；
x＝2时，BD＝CQ＝12，12÷2＝6；
即点Q的运动速度是4或6，
故答案为：4或6
41．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF，求证：
（1）EF⊥AB；
（2）△ACF为等腰三角形．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝72°，
又∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝36°，
∴∠BAD＝∠ABD，
∴AD＝BD，
又∵E是AB的中点，
∴DE⊥AB，即FE⊥AB；
（2）∵FE⊥AB，AE＝BE，
∴FE垂直平分AB，
∴AF＝BF，
∴∠BAF＝∠ABF，
又∵∠ABD＝∠BAD，
∴∠FAD＝∠FBD＝36°，
又∵∠ACB＝72°，
∴∠AFC＝∠ACB﹣∠CAF＝36°，
∴∠CAF＝∠AFC＝36°，
∴AC＝CF，即△ACF为等腰三角形．
42．已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F．
（1）求证：AN＝BM；
（2）求证：△CEF为等边三角形．
【解答】证明：（1）∵△ACM，△CBN是等边三角形，
∴AC＝MC，BC＝NC，∠ACM＝∠NCB＝60°，
∴∠ACM+∠MCN＝∠NCB+∠MCN，即∠ACN＝∠MCB，
在△ACN和△MCB中，
∵，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN＝BM．
（2）∵△CAN≌△CMB，
∴∠CAN＝∠CMB，
又∵∠MCF＝180°﹣∠ACM﹣∠NCB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠MCF＝∠ACE，
在△CAE和△CMF中，
∵，
∴△CAE≌△CMF（ASA），
∴CE＝CF，
∴△CEF为等腰三角形，
又∵∠ECF＝60°，
∴△CEF为等边三角形．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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