专题20 图形的旋转（21道）
一、单选题
1．（2023·江苏泰州·统考中考真题）菱形的边长为2，，将该菱形绕顶点A在平面内旋转，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·宁夏·统考中考真题）如图，在中，，，．点在上，且．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．则的面积是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在x轴上，点A的坐标为；中，，连接，点M是中点，连接．将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（ ）
A．3 B． C． D．2
二、解答题
4．（2023·江苏南通·统考中考真题）正方形中，点在边，上运动（不与正方形顶点重合）．作射线，将射线绕点逆时针旋转45°，交射线于点．
(1)如图，点在边上，，则图中与线段相等的线段是___________；
(2)过点作，垂足为，连接，求的度数；
(3)在（2）的条件下，当点在边延长线上且时，求的值．
5．（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，在正方形中，线段绕点C逆时针旋转到处，旋转角为，点F在直线上，且，连接．
(1)如图1，当时，
①求的大小（用含的式子表示）．
②求证：．
(2)如图2，取线段的中点G，连接，已知，请直接写出在线段旋转过程中（）面积的最大值．
6．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）【问题情境】如图，在中，，．点D在边上将线段绕点D顺时针旋转得到线段（旋转角小于），连接，，以为底边在其上方作等腰三角形，使，连接．
【尝试探究】
（1）如图1，当时，易知；
如图2，当时，则与的数量关系为 ；
（2）如图3，写出与的数量关系（用含α的三角函数表示）．并说明理由；
【拓展应用】
（3）如图4，当，且点B，E，F三点共线时．若，，请直接写出的长．
7．（2023·辽宁·统考中考真题）是等边三角形，点是射线上的一点（不与点，重合），连接，在的左侧作等边三角形，将线段绕点逆时针旋转，得到线段,连接．交于点．
(1)如图1，当点为中点时，请直接写出线段与的数量关系；
(2)如图2．当点在线段的延长线上时，请判断（）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
(3)当，时，请直接写出的长．
8．（2023·四川德阳·统考中考真题）将一副直角三角板与叠放在一起，如图1，，，，．在两三角板所在平面内，将三角板绕点O顺时针方向旋转（）度到位置，使，如图2．
(1)求的值；
(2)如图3，继续将三角板绕点O顺时针方向旋转，使点E落在边上点处，点D落在点处．设交于点G，交于点H，若点G是的中点，试判断四边形的形状，并说明理由．
9．（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）中，，垂足为E，连接，将绕点E逆时针旋转，得到，连接．
(1)当点E在线段上，时，如图①，求证：；
(2)当点E在线段延长线上，时，如图②：当点E在线段延长线上，时，如图③，请猜想并直接写出线段AE，EC，BF的数量关系；
(3)在（1）、（2）的条件下，若，，则_______．
10．（2023·北京·统考中考真题）在中、，于点M，D是线段上的动点（不与点M，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．
(1)如图1，当点E在线段上时，求证：D是的中点；
(2)如图2，若在线段上存在点F（不与点B，M重合）满足，连接，，直接写出的大小，并证明．
三、填空题
11．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在正方形中，点M为边上一点，连接，将绕点顺时针旋轮得到，在、上分别截取、，使，连接，交对角线于点，连接并延长交于点H．若，，则的长为________．
12．（2023·湖南益阳·统考中考真题）如图，在正方形中，，E为的中点，连接，将绕点D按逆时针方向旋转得到，连接，则的长为 ．
13．（2023·四川绵阳·统考中考真题）将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置，点D在AB边上，△DEF绕点D旋转，腰DF和底边DE分别交△CAB的两腰CA，CB于M，N两点，若CA=5，AB=6，AB=1：3，则MD+的最小值为 ．
14．（2023·浙江·统考中考真题）一副三角板和中，．将它们叠合在一起，边与重合，与相交于点G（如图1），此时线段的长是 ，现将绕点按顺时针方向旋转（如图2），边与相交于点H，连结，在旋转到的过程中，线段扫过的面积是 ．
15．（2023·江苏泰州·统考中考真题）如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为 ．
16．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）如图，在中，将绕点A顺时针旋转至，将绕点A逆时针旋转至，得到，使，我们称是的“旋补三角形”，的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．下列结论正确的有 ．
①与面积相同；
②；
③若，连接和，则；
④若，，，则．
17．（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B在x轴上，，，，将菱形绕点A旋转后，得到菱形，则点的坐标是 ．
18．（2023·辽宁营口·统考中考真题）如图，在中，，，将绕着点C按顺时针旋转得到，连接BD交于在E，则 ．
19．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，线段，点是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，在的上方作，使，点为的中点，连接，当最小时，的面积为 ．
20．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图，将面积为7的正方形和面积为9的正方形分别绕原点O顺时针旋转，使，落在数轴上，点A，D在数轴上对应的数字分别为a，b，则 ．
21．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在中，，将绕点A逆时针方向旋转，得到．连接，交于点D，则的值为 ．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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专题20 图形的旋转（21道）
一、单选题
1．（2023·江苏泰州·统考中考真题）菱形的边长为2，，将该菱形绕顶点A在平面内旋转，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分两种情况：①如图，将该菱形绕顶点A在平面内顺时针旋转，连接，相交于点O，与交于点E，根据菱形的性质推出的长，再根据菱形的性质推出与的长，再根据重叠部分的面积求解即可．②将该菱形绕顶点A在平面内逆时针旋转，同①方法可得重叠部分的面积．
【详解】解：①如图，将该菱形绕顶点A在平面内顺时针旋转30°，
连接，相交于点O，与交于点E，
∵四边形是菱形，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵菱形绕点A顺时针旋转得到菱形，
∴，
∴A，，C三点共线，
∴，
又∵，
∴，，
∵重叠部分的面积，
∴重叠部分的面积；
②将该菱形绕顶点A在平面内逆时针旋转，同①方法可得重叠部分的面积，
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，正确作出图形是解题的关键．
2．（2023·宁夏·统考中考真题）如图，在中，，，．点在上，且．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】证明，得到，推出为直角三角形，利用的面积等于，进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴的面积等于；
故选B．
【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握旋转的性质，得到三角形全等是解题的关键．本题蕴含手拉手全等模型，平时要多归纳，多总结，便于快速解题．
3．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在x轴上，点A的坐标为；中，，连接，点M是中点，连接．将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（ ）
A．3 B． C． D．2
【答案】A
【分析】如图所示，延长到E，使得，连接，根据点A的坐标为得到，再证明是的中位线，得到；解得到，进一步求出点C在以O为圆心，半径为4的圆上运动，则当点M在线段上时，有最小值，即此时有最小值，据此求出的最小值，即可得到答案．
【详解】解：如图所示，延长到E，使得，连接，
∵的一条直角边在x轴上，点A的坐标为，
∴，
∴，
∴，
∵点M为中点，点A为中点，
∴是的中位线，
∴；
在中，，
∴，
∵将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，
∴点C在以O为圆心，半径为4的圆上运动，
∴当点M在线段上时，有最小值，即此时有最小值，
∵，
∴的最小值为，
∴的最小值为3，
故选A．
【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的最值问题，勾股定理，三角形中位线定理，坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键．
二、解答题
4．（2023·江苏南通·统考中考真题）正方形中，点在边，上运动（不与正方形顶点重合）．作射线，将射线绕点逆时针旋转45°，交射线于点．
(1)如图，点在边上，，则图中与线段相等的线段是___________；
(2)过点作，垂足为，连接，求的度数；
(3)在（2）的条件下，当点在边延长线上且时，求的值．
【答案】(1)
(2)的度数为或
(3)
【分析】（1）根据正方形的性质和已知条件得到，即可得到答案；
（2）当点在边上时，过点作，垂足为，延长交于点，证明，得到，推出为等腰直角三角形，得到答案；
当点在边上时，过点作，垂足为，延长交延长线于点，则四边形是矩形，同理得到，得到为等腰直角三角形得到答案；
（3）由平行的性质得到分线段成比例．
【详解】（1）．
正方形，
，
，
，
．
（2）解：①当点在边上时（如图），
过点作，垂足为，延长交于点．
，
四边形是矩形．
．
，，
，
为等腰直角三角形，．
．
．
．
，
．
为等腰直角三角形，．
．
②当点在边上时（如图），
过点作，垂足为，延长交延长线于点，则四边形是矩形，
同理，．
．
为等腰直角三角形，．
．
综上，的度数为45°或135°．
（3）解：当点在边延长线上时，点在边上（如图），
设，则．
．
．
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握平行线的分线段成比例以及全等三角形的判定和性质是解题的关键．
5．（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，在正方形中，线段绕点C逆时针旋转到处，旋转角为，点F在直线上，且，连接．
(1)如图1，当时，
①求的大小（用含的式子表示）．
②求证：．
(2)如图2，取线段的中点G，连接，已知，请直接写出在线段旋转过程中（）面积的最大值．
【答案】(1)①；②见解析
(2)面积的最大值为
【分析】（1）①利用等腰三角形的性质，三角形内角和定理计算得到，据此求解即可；②连接，计算得到，利用证明，推出是等腰直角三角形，据此即可证明；
（2）过点G作的垂直，交直线于点H，连接相交于点O，连接，利用直角三角形的性质推出点G在以点O为圆心，为半径的一段弧上，得到当点在同一直线上时，有最大值，则面积的最大值，据此求解即可．
【详解】（1）解：①∵四边形是正方形，
∴，，
由题意得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
（2）解：过点G作的垂线，交直线于点H，连接相交于点O，连接，
由（1）得是等腰直角三角形，又点G为斜边的中点，
∴，即，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴点G在以点O为圆心，为半径的一段弧上，
当点在同一直线上时，有最大值，则面积的最大值，
∴，
∴面积的最大值为．
【点睛】本题考查的是正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、直角三角形的性质、勾股定理，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．
6．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）【问题情境】如图，在中，，．点D在边上将线段绕点D顺时针旋转得到线段（旋转角小于），连接，，以为底边在其上方作等腰三角形，使，连接．
【尝试探究】
（1）如图1，当时，易知；
如图2，当时，则与的数量关系为 ；
（2）如图3，写出与的数量关系（用含α的三角函数表示）．并说明理由；
【拓展应用】
（3）如图4，当，且点B，E，F三点共线时．若，，请直接写出的长．
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）
【分析】（1）先证明，可得，再证得出，利用等腰三角形三线合一的性质得出，在中，利用余弦定义可求，即可得出，然后把代入计算即可；
（2）仿照（1）的思路即可解答；
（3）方法一：如图，过点D作于点M，过点C作，交延长线于点H，可求，得出，设，则，利用平行线分线段成比例得出，则可求，，，，，在中，利用勾股定理构建方程，求出．证明，利用相似三角形的性质即可求解；
方法二：如图，过点C作交延长线于点G，过点D作于点M，过点E作于点H，利用等腰三角形的性质与判断，平行线的性质可证明，，证明，可得出．设，则，设，则，利用平行线分线段成比例得出，求出，，，．然后在中，利用勾股定理构建方程，求出，证明，利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）如图，过点A作于点H，
∵，，
∴，
∴．
∵是以为底边的等腰三角形，，
∴，．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，H为的中点，
∴．
在中，，
∴．
∴．
∴．
又，
∴；
（2）解：；
如图，过点A作于点H，
∵，，
∴，
∴．
∵是以为底边的等腰三角形，，
∴，．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，H为的中点，
∴．
在中，，
∴．
∴．
∴．
（3）．
方法一：
如图，过点D作于点M，过点C作，交延长线于点H，
∴．
∴．
∵线段绕点D顺时针旋转得到线段，
∴．
∴．
∵是以为底边的等腰三角形，，
∴，．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
设，则，
∵，
∴，
∴．
∴．
∵，
∴，．
∴．
在中，，，
∴．
∴，解得．
∴．
∵，
∴．
方法二：
如图，过点C作交延长线于点G，过点D作于点M，过点E作于点H，
∴．
∴．
∵线段绕点D顺时针旋转得到线段，
∴．
∴．
∵，
∴，．
∴．
∵，
∴．
∵是以为底边的等腰三角形，，
∴．
∵，
∴，．
∴．
设，则，
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
在中，，
∴．
在中，，，
∴．
∴，解得．
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判断与性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
7．（2023·辽宁·统考中考真题）是等边三角形，点是射线上的一点（不与点，重合），连接，在的左侧作等边三角形，将线段绕点逆时针旋转，得到线段,连接．交于点．
(1)如图1，当点为中点时，请直接写出线段与的数量关系；
(2)如图2．当点在线段的延长线上时，请判断（）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
(3)当，时，请直接写出的长．
【答案】(1)；
(2)仍然成立，理由见解析；
(3)或．
【分析】（1）可证得，进一步利用等腰三角形的三线合一得出结果；
（2）连接、，可证明，从而，，进而得出，从而得出，从而，结合得出四边形是平行四边形，从而得出；
（3）分为两种情形∶当点在的延长线上时，作于，可得出，，从而，进而得出，进一步得出结果；当点在上时，作于，可得出，，进一步得出结果．
【详解】（1）解∶∵是等边三角形，点是的中点，
∴，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，仍然成立，理由如下∶连接、，
∵和是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（3）解：如图，当点在的延长线上时，作 于，
∵，
∴，，
∴，
∴．
由（）知∶，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图，当点在上时，作于，
由上知∶，
∴，
∴，
∴，
综上所述∶或．
【点睛】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质以及直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”等模型．
8．（2023·四川德阳·统考中考真题）将一副直角三角板与叠放在一起，如图1，，，，．在两三角板所在平面内，将三角板绕点O顺时针方向旋转（）度到位置，使，如图2．
(1)求的值；
(2)如图3，继续将三角板绕点O顺时针方向旋转，使点E落在边上点处，点D落在点处．设交于点G，交于点H，若点G是的中点，试判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】(1)
(2)正方形，见解析
【分析】（1）确定旋转角，结合，，计算即可．
（2）先证明四边形是矩形，再利用等腰直角三角形的性质，结合一组邻边相等的矩形是正方形证明即可．
【详解】（1）根据题意，得旋转角，
∵，，
∴，
故．
（2）根据题意，得旋转角，
∵，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形．
【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的判断，正方形的判断，等腰直角三角形的性质，熟练掌握矩形的判断，正方形的判断，等腰直角三角形的性质是解题的关键．
9．（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）中，，垂足为E，连接，将绕点E逆时针旋转，得到，连接．
(1)当点E在线段上，时，如图①，求证：；
(2)当点E在线段延长线上，时，如图②：当点E在线段延长线上，时，如图③，请猜想并直接写出线段AE，EC，BF的数量关系；
(3)在（1）、（2）的条件下，若，，则_______．
【答案】(1)见解析
(2)图②：，图③：
(3)1或7
【分析】（1）求证，，得，所以，进而，所以；
（2）如图②，当点E在线段延长线上，时，同（1），，得，结合平行四边形性质，得，所以；如图③，当点E在线段延长线上，时，求证，得，同（1）可证，，结合平行四边形性质，得，所以；
（3）如图①，中，勾股定理，得 ，求得；如图②，，则,中，，可得图②中，不存在，的情况；如图③，中，勾股定理，得 ，求得．
【详解】（1）证明：，
．
，
∴
∴
．
，
．
．
，
．
．
四边形是平行四边形，
．
；
（2）如图②，当点E在线段延长线上，时，
同（1），，
∴
四边形是平行四边形，
．
∴
即；
如图③，当点E在线段延长线上，时，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
同（1）可证，
∴
四边形是平行四边形，
．
∴
即
（3）如图①，∵四边形是平行四边形，
∴，
∴
∵
∴
中，,，
由，得；
如图②，，则,中，，
∴,与矛盾，故图②中，不存在，的情况；
如图③，
∵四边形是平行四边形
∴
∴
∵
∴
中，，
∴
由知，．
综上，或7．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，根据条件选用恰当的方法作全等的判定是解题的关键．
10．（2023·北京·统考中考真题）在中、，于点M，D是线段上的动点（不与点M，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．
(1)如图1，当点E在线段上时，求证：D是的中点；
(2)如图2，若在线段上存在点F（不与点B，M重合）满足，连接，，直接写出的大小，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)，证明见解析
【分析】（1）由旋转的性质得，，利用三角形外角的性质求出，可得，等量代换得到即可；
（2）延长到H使，连接，，可得是的中位线，然后求出，设，，求出，证明，得到，再根据等腰三角形三线合一证明即可．
【详解】（1）证明：由旋转的性质得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即D是的中点；
（2）；
证明：如图2，延长到H使，连接，，
∵，
∴是的中位线，
∴，，
由旋转的性质得：，，
∴，
∵，
∴，是等腰三角形，
∴，，
设，，则，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，即．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．
三、填空题
11．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在正方形中，点M为边上一点，连接，将绕点顺时针旋轮得到，在、上分别截取、，使，连接，交对角线于点，连接并延长交于点H．若，，则的长为________．
【答案】/
【分析】根据题干条件可得，所以≌，得到，又证明得≌，，所以≌，；设正方形的边长为，列双勾股方程解得正方形的边长，再根据∽，即可求出答案．
【详解】解：由题意可得，≌，
，
,
，
、是等腰直角三角形，
；
连接、,
≌，
，
连接，
，，
≌，
，
，
又，，
≌，，
连接、，
，，
≌，，
设，
，，
，
，
，
，
，
，
得，
，
解得（舍），，
，，，
又∽，
，
，
故答案是．
【点睛】本题考查三角形的全等，勾股定理的运用，三角形相似计算等知识点，利用条件推理证明、列出双勾股方程计算求解是解题的关键．
12．（2023·湖南益阳·统考中考真题）如图，在正方形中，，E为的中点，连接，将绕点D按逆时针方向旋转得到，连接，则的长为 ．
【答案】
【分析】由正方形，可得，，，证明，求解，再结合旋转的性质与勾股定理可得答案．
【详解】解：∵正方形，
∴，，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∴，
由旋转可得：，，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查的是正方形的性质，旋转的性质，勾股定理的应用，熟记旋转的性质是解本题的关键．
13．（2023·四川绵阳·统考中考真题）将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置，点D在AB边上，△DEF绕点D旋转，腰DF和底边DE分别交△CAB的两腰CA，CB于M，N两点，若CA=5，AB=6，AB=1：3，则MD+的最小值为 ．
【答案】
【分析】先求出AD=2，BD=4，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AMD+∠A=∠EDF+∠BDN，然后求出∠AMD=∠BDN，从而得到△AMD和△BDN相似，根据相似三角形对应边成比例可得，求出MA DN=4MD，再将所求代数式整理出完全平方的形式，然后根据非负数的性质求出最小值即可．
【详解】∵AB=6，AB=1：3，
∴AD=6×=2，BD=6﹣2=4，
∵△ABC和△FDE是形状、大小完全相同的两个等腰三角形，
∴∠A=∠B=∠FDE，由三角形的外角性质得，∠AMD+∠A=∠EDF+∠BDN，∴∠AMD=∠BDN，
∴△AMD∽△BDN，
∴，
∴MA DN=BD MD=4MD，
∴MD+
=MD+
=，
∴当，
即MD=时MD+有最小值为．
故答案为．
考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；旋转的性质；最值问题；综合题．
14．（2023·浙江·统考中考真题）一副三角板和中，．将它们叠合在一起，边与重合，与相交于点G（如图1），此时线段的长是 ，现将绕点按顺时针方向旋转（如图2），边与相交于点H，连结，在旋转到的过程中，线段扫过的面积是 ．
【答案】
【分析】如图1，过点G作于H，根据含直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质得出，，然后由可求出的长，进而可得线段的长；如图2，将绕点C顺时针旋转得到，与交于，连接，，是旋转到的过程中任意位置，作于N，过点B作交的延长线于M，首先证明是等边三角形，点在直线上，然后可得线段扫过的面积是弓形的面积加上的面积，求出和，然后根据线段扫过的面积列式计算即可．
【详解】解：如图1，过点G作于H，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴；
如图2，将绕点C顺时针旋转得到，与交于，连接，
由旋转的性质得：，，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即垂直平分，
∵是等腰直角三角形，
∴点在直线上，
连接，是旋转到的过程中任意位置，
则线段扫过的面积是弓形的面积加上的面积，
∵，
∴，
∴，
作于N，则，
∴，
过点B作交的延长线于M，则，
∵，，
∴，
∴，
∴线段扫过的面积，
，
，
，
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，含直角三角形的性质，二次根式的运算，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形的面积计算等知识，作出图形，证明点在直线上是本题的突破点，灵活运用各知识点是解题的关键．
15．（2023·江苏泰州·统考中考真题）如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为 ．
【答案】或或
【分析】分情况讨论，利用折叠的性质知，，再画出图形，利用三角形的外角性质列式计算即可求解．
【详解】解：由折叠的性质知，，
当时，，
由三角形的外角性质得，即，
此情况不存在；
当时，
，，
由三角形的外角性质得，
解得；
当时，，
∴，
由三角形的外角性质得，
解得；
当时，，
∴，
∴；
综上，的度数为或或．
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，画出图形，数形结合是解题的关键．
16．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）如图，在中，将绕点A顺时针旋转至，将绕点A逆时针旋转至，得到，使，我们称是的“旋补三角形”，的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．下列结论正确的有 ．
①与面积相同；
②；
③若，连接和，则；
④若，，，则．
【答案】①②③
【分析】延长，并截取，连接，证明，得出，，根据，，得出，证明，得出，即可判断①正确；根据三角形中位线性质得出，根据，得出，判断②正确；根据时，，
得出，，，，根据四边形内角和得出
，求出，判断③正确；根据②可知，，根据勾股定理得出，求出，判断④错误．
【详解】解：延长，并截取，连接，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
根据旋转可知，，，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即与面积相同，故①正确；
∵，，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，故②正确；
当时，，
∴，，，，
∵，
∴，
即，故③正确；
∵，
∴根据②可知，，
∵当时，，为中线，
∴，
∴，
∴，
∴，故④错误；
综上分析可知，正确的是①②③．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，中位线性质，勾股定理，四边形内角和，补角的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明．
17．（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B在x轴上，，，，将菱形绕点A旋转后，得到菱形，则点的坐标是 ．
【答案】或
【分析】分两种情况：当绕点A顺时针旋转后，当绕点A逆时针旋转后，利用菱形的性质及直角三角形30度角的性质求解即可．
【详解】解：当绕点A顺时针旋转后，如图，
∵，
∴，
∵菱形中，，
∴，
延长交x轴于点E，
∴，，
∴，
∴，
∴；
当绕点A逆时针旋转后，如图，延长交x轴于点F，
∵，，
∴，
∵菱形中，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：或．
【点睛】此题考查了菱形的性质，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半，旋转的性质，正确理解菱形的性质及旋转的性质是解题的关键．
18．（2023·辽宁营口·统考中考真题）如图，在中，，，将绕着点C按顺时针旋转得到，连接BD交于在E，则 ．
【答案】
【分析】连接，证明是等边三角形，则，，设，则，取的中点H，连接，求出，设，则，证明，得到，解得，即，再利用勾股定理求出，进一步即可得到答案．
【详解】解：连接，
∵将绕着点C按顺时针旋转得到，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
设，则，
取的中点H，连接，
∴，，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
即，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、旋转的性质、等边三角形的判定和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
19．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，线段，点是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，在的上方作，使，点为的中点，连接，当最小时，的面积为 ．
【答案】
【分析】连接，交于点P，由直角三角形的性质及等腰三角形的性质可得垂直平分，为定角，可得点F在射线上运动，当时，最小，由含30度角直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：连接，交于点P，如图，
∵，点为的中点，
∴，
∵，
∴,
∴是等边三角形，
∴；
∵线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，
∵，
∴垂直平分，，
∴点F在射线上运动，
∴当时，最小，
此时，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴由勾股定理得，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形性质，含30度直角三角形的性质，斜边中线性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定，勾股定理，旋转的性质，确定点F的运动路径是关键与难点．
20．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图，将面积为7的正方形和面积为9的正方形分别绕原点O顺时针旋转，使，落在数轴上，点A，D在数轴上对应的数字分别为a，b，则 ．
【答案】
【分析】分别求出两个正方形的边长，从而得到a，b的值，代入计算即可．
【详解】∵正方形的面积为7，正方形的面积为9
∴，
即，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查算术平方根的意义，在数轴上表示实数，正确求出算术平方根是解题的关键．
21．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在中，，将绕点A逆时针方向旋转，得到．连接，交于点D，则的值为 ．
【答案】5
【分析】过点D作于点F，利用勾股定理求得，根据旋转的性质可证、是等腰直角三角形，可得，再由，得，证明，可得，即，再由，求得，从而求得，，即可求解．
【详解】解：过点D作于点F，
∵，，，
∴，
∵将绕点A逆时针方向旋转得到，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，即，
∵ ，，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：5．
【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积，熟练掌握相关知识是解题的关键．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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