2022-2023学年天河区新昌学校七年级（下）期中数学试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）北京2022年冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，图形上半部分展现滑冰运动员的造型，下半部分表现滑雪运动员的英姿．如图，下列选项中，可以由会徽平移得到的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）点M在第二象限，距离x轴5个单位长度，距离y轴3个单位长度，则M点的坐标为（ ）
A．（5，﹣3） B．（﹣5，3） C．（3，﹣5） D．（﹣3，5）
3．（3分）下列实数﹣2、0、，π中，无理数是（ ）
A．﹣2 B．0 C． D．π
4．（3分）如图，直线a∥b，直线AB⊥AC，若∠1＝50°，则∠2＝（ ）
A．30° B．40° C．45° D．50°
5．（3分）下列说法，其中错误的有（ ）
①81的平方根是9
②是2的算术平方根
③﹣8的立方根为±2
④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（3分）下列是二元一次方程组的解的是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），B（b，0），C（0，c），若∠BAC＝2∠ABC，用b表示c为（ ）
A． B． C．± D．±
8．（3分）如图，在一块长14m、宽6m的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿化区，道路的左边线向右平移3m就是它的右边线，则绿化区的面积是（ ）
A．56m2 B．66m2 C．72m2 D．96m2
9．（3分）麦当劳甜品店进行促销活动，同一种甜品第一件正价，第二件半价，现购买同一种甜品2件，相当于这两件甜品售价与原价相比共打了（ ）
A．5折 B．5.5折 C．7折 D．7.5折
10．（3分）如图，弹性小球从点P（0，1）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为 P1（2，0），第2次碰到正方形的边时的点为 P2，…，第n次碰到正方形的边时的点为Pn，则点 P2023的坐标是（ ）
A．（2，0） B．（4，3） C．（2，4） D．（4，1）
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）比较大小：3 （填写“＜”或“＞”）．
12．（3分）将点P（m，5）向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点Q（﹣2，n），则mn＝ ．
13．（3分）已知二元一次方程组，则x+y的值是 ．
14．（3分）如图，直线a∥b∥c，直角∠BAC的顶点A在直线b上，两边分别与直线a，c相交于点B，C，则∠1+∠2的度数是 ．
15．（3分）已知，，则式子3x+y的平方根为 ．
16．（3分）如图，一个机器人从点O出发，向正西方向走2m到达点A1；再向正北方向走4m到达点A2；再向正东方向走6m到达点A3；再向正南方向走8m到达点A4；再向正西方向走10m到达点A5…，按如此规律走下去，当机器人走到点A2023时，点A2023的坐标为 ．
三．解答题（共8小题，满分62分）
17．（6分）计算：．
18．（6分）已知3（x+1）2＝27，求x的值．
19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣4，3），B（﹣2，4），C（﹣1，1），若把△ABC向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△A′B′C′，点A，B，C的对应点分别为A′，B′，C′．
（1）写出A′，B′，C′的坐标：
A′（ ， ）B′（ ， ）C′（ ， ）；
（2）在图中画出平移后的△A′B′C′；
（3）求△A′B′C′的面积．
20．（8分）如图，已知AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4，试说明AD∥BE的理由．
解：因为AB∥CD（已知），所以∠1＝∠BAF（ ）．
因为∠1＝∠2（已知），所以∠2＝∠ （ ）．
因为∠3＝∠4（已知），所以∠3+∠CAF＝∠4+∠CAF（ ）
即∠BAF＝∠CAD．
所以∠2＝∠ ．所以AD∥BE（ ）．
21．（8分）一个正数x的两平方根分别是2a﹣3和1﹣6a，求x的值．
22．（8分）已知点A（3a+2，2a﹣4），试分别根据下列条件，求出点A的坐标．
（1）经过点A（3a+2，2a﹣4），B（3，4）的直线，与x轴平行；
（2）点A到两坐标轴的距离相等．
23．（10分）如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM交CD于点M，AB∥CD，且∠FEM＝∠FME．
（1）当∠AEF＝70°时，∠FME＝ °；
（2）判断EM是否平分∠AEF，并说明理由；
（3）如图2，点G是射线FD上一动点（不与点F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EGF＝α．探究当点G在运动过程中，∠MHN﹣∠FEH和α之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
24．（10分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，在CA的延长线上取一点E，过点E作EG⊥BC于点G，EG交于AB于点F，∠ABC、∠CEG的角平分线相交于点H．
（1）求证：∠C+∠BFE＝180°；
（2）延长EH交BC于点M，随着∠C的变化，∠BHE的大小会发生变化吗？如果有变化，求出∠BHE与∠C的数量关系；如果没有变化，求出∠BHE的度数．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：根据平移的性质可知：能由该图经过平移得到的是C，
故选：C．
2． 解：∵点P位于第二象限，
∴点的横坐标为负数，纵坐标为正数，
∵点距离x轴5个单位长度，距离y轴3个单位长度，
∴点的坐标为（﹣3，5）．
故选：D．
3． 解：﹣2、0、是有理数，π是无理数，
故选：D．
4． 解：∵直线a∥b，∠1＝50°，
∴∠1＝∠3＝50°，
∵直线AB⊥AC，
∴∠2+∠3＝90°．
∴∠2＝40°．
故选：B．
5． 解：①81的平方根是±9，故原说法错误；
②是2的算术平方根，故原说法正确；
③﹣8的立方根为﹣2，故原说法错误；
④，故原说法错误；
综上，说法错误的是①③④．
故选：C．
6． 解：，
②代入①得，x+4x＝5，
解得x＝1，
将x＝1代入②得，y＝2，
∴方程组的解为，
故选：D．
7． 解：如图，作∠BAC的平分线，交y轴于点D，作DE⊥AC于点E，
∵∠BAC＝2∠ABC，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠ABC，
∴△OAD∽△OBC，DO＝DE，
设DO为m，
则，即m＝，
∴，
又∵△CED∽△COA，
∴，即，
化简得：，
故选：A．
8． 解：由题意得：
（14﹣3）×6
＝11×6
＝66（平方米），
∴绿化区的面积是66平方米，
故选：B．
9． 解：设第一件商品x元，买两件商品共打了y折，根据题意可得：
x+0.5x＝2x×，
解得：y＝7.5．
故相当于这两件甜品售价与原价相比共打了7.5折．
故选：D．
10． 解：如图，
根据反射角等于入射角画图，可知光线从P2反射后到P3（0，3），再反射到P4（2，4），再反射到P5（4，3），再反射到P点（0，1）之后，再循环反射，每6次一循环，2023÷6＝337…1，即点P2023的坐标是（2，0）．
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11． 解：∵3＝，且9＞7，
∴3＞，
故答案为：＞．
12． 解：点P（m，5）先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到点Q（﹣2，n），
∴m+2＝﹣2，5﹣3＝n，
解得：m＝﹣4，n＝2，
∴mn＝（﹣4）2＝16．
故答案为：16．
13． 解：，
①+②，得5x+5y＝10，
x+y＝2，
故答案为：2．
14． 解：如图，
∵a∥b，
∴∠1+∠4＝180°，则∠4＝180°﹣∠1，
∵b∥c，
∴∠2+∠3＝180°，则∠3＝180°﹣∠2，
∵∠BAC＝90°，
∴∠3+∠4＝90°，
∴180°﹣∠2+180°﹣∠1＝90°，
∴∠1+∠2＝270°，
故答案为：270°．
15． 解：∵，，
∴x＝2，y＝3，
∴3x+y＝6+3＝9，9的平方根为±3，
故答案为：±3．
16． 解：由图可得，点A的位置有4种可能的位置，
除第1点外分别是在4个象限内，
∵2023÷4＝505…3，余数是3，
∴A2023在第一象限，
∵A3（4，4），A7（8，8）…
∴A2023（2024，2024）．
故答案为：（2024，2024）．
三．解答题（共8小题，满分62分）
17． 解：原式＝2+3+2﹣+
＝7．
18． 解：由等式的性质可得，（x+1）2＝9，
由平方根的定义可得，x+1＝±3，
即x＝2或x＝﹣4，
答：x＝2或x＝﹣4．
19． 解：（1）由平移可得，A'（1，0），B'（3，1），C'（4，﹣2），
故答案为：1，0；3，1；4，﹣2；
（2）平移后的△A'B'C'如图所示．
（3）S△A′B′C′＝3×3﹣×2×1﹣×3×1﹣×2×3＝3.5，
∴△A'B'C'的面积为3.5．
20． 解：因为AB∥CD（已知），所以∠1＝∠BAF（两直线平行，同位角相等）．
因为∠1＝∠2（已知），所以∠2＝∠BAF（等量代换）．
因为∠3＝∠4（已知），所以∠3+∠CAF＝∠4+∠CAF（等式性质）．
即∠BAF＝∠CAD，所以∠2＝∠CAD．
所以AD∥BE（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：两直线平行，同位角相等；BAF；等量代换；等式性质；CAD；内错角相等，两直线平行．
21． 解：由题意得，2a﹣3+1﹣6a＝0，
解得，x＝﹣，
所以2a﹣3＝﹣4，1﹣6a＝4，
所以x＝（±4）2＝16，
答：x＝16．
22． 解：（1）∵经过点A（3a+2，2a﹣4），B（3，4）的直线，与x轴平行，
∴点A和点B的纵坐标相同，
∴2a﹣4＝4，
∴a＝4，
∴3a+2＝3×4+2＝14，
∴点A的坐标为（14，4）；
（2）∵点A（3a+2，2a﹣4）到两坐标轴的距离相等，
∴|3a+2|＝|2a﹣4|，
∴3a+2＝2a﹣4或3a+2+2a﹣4＝0，
解得a＝﹣6或a＝0.4，
当a＝﹣6时，3a+2＝3×（﹣6）+2＝﹣16，2a﹣4＝2×（﹣6）﹣4＝﹣16
当a＝0.4时，3a+2＝3×0.4+2＝3.2，2a﹣4＝﹣3.2．
故点A的坐标为（﹣16，﹣16）或（3.2，﹣3.2）．
23． 解：（1）∵AB∥CD，
∴∠AEM＝∠FME，
又∵∠FEM＝∠FME，
∴∠AEM＝∠FEM，
∵∠AEF＝70°，
∴∠FME＝∠AEM＝∠AEF＝35°；
故答案为：35；
（2）由（1）得∠AEM＝∠FEM，
∴EM平分∠AEF；
（3）∠MHN﹣∠FEH＝α．
证明：∵AB∥CD，
∴∠BEG＝∠EGF＝α，
∵EH平分∠FEG，
∴∠FEH＝∠HEG＝∠FEG，
∴∠FEH+α＝∠BEG+∠GEH＝∠BEH，
∵EM平分∠AEF，EH平分∠FEG，
∴∠MEH＝∠AEG＝（180°﹣α）＝90°﹣α，
在Rt△EHN中，∠EHN＝90°﹣∠MEH＝90°﹣（90°﹣α）＝α，
∵AB∥CD，
∴∠BEH＝∠EHF，即α+∠GEH＝∠EHN+∠NHM，
∴α+∠FEH＝α+∠NHM，
∴∠MHN﹣∠FEH＝α．
24． 解：（1）∵∠C+∠BAC+∠EGC+∠AFG＝360°，∠BAC＝90°，∠CGE＝90°，
∴∠C+∠AFG＝180°．
∵∠BFE＝∠AFG，
∴∠C+∠BFE＝180°．
（2）随着∠C的变化，∠BHE的度数不会变化，始终为90°．
∵∠BHE＝∠HBM+∠BME，∠BME＝∠C+∠CEM，
∴∠BHE＝∠HBM+∠CEM+∠C．
∵BH平分∠ABC，EH平分∠CEG，
∴，
∴2∠BHE＝∠ABC+∠CEG+2∠C．
∵∠C+∠ABC＝90°，∠C+∠CEG＝90°，
∴2∠C+∠ABC+∠CEG＝90°+90°＝180°，
∴2∠BHE＝180°，
∴∠BHE＝90°．
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