19 长方体和正方体的体积应用题
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【知识储备】1. 本单元的主要内容是长方体和正方体的认识、长方体和正方体的表面积、长方体和正方体的体积。重点是长方体和正方体的基本特征及表面积、体积的计算，难点是通过这一系列学习，真正地建立起空间观念，能运用所学知识解决实际问题。
2. 长方体和正方体是最基本的立体几何图形，认识它们是进一步学习其他立体几何图形的基础，形成初步的空间观念是解决长方体和正方体表面积、体积等问题的关键。第一，要区分清楚什么时候是求物体的表面积，什么时候是求物体的体积；第二，在求物体表面积时要根据实际情况弄清求哪几个面的面积和，哪些面不需要求，哪些面需要求，怎么求。
3. 本单元应用题的练习从两个方面进行：第一，抓住基本知识的练习，使学生对长方体、正方体的特征有进一步的、全面的、深刻的认识；第二，进一步建立学生的空间观念，使应用题的内容、解法、结论更具有开放性，能根据实际情况选用合理的算法，寻找最优的解法。
【例1】第用铁皮制作一个长方体无盖水桶，长5分米，宽4分米，高3分米。做这 个桶至少需要铁皮多少平方分米 这个桶可盛水多少升
【解析】这道题有两个问题， 一个是求长方体的表面积，另一个是求长方体铁桶的容积。做这类题一定要认清表面积与体积或容积的区别。表面积是指长方体或正方体六个面的总面积，而体积是物体所占空间的大小，容积是容器所容纳物体的 体积。
【解答】
5×4+5×3×2+4×3×2
=20+30+24
=74(平方分米)
5×4×3=60(立方分米)
60立方分米=60升
答：做这个桶至少需要铁皮74平方分米，这个桶可盛水60升。
【例2】如果将一个棱长是1.2米的正方体钢锭，熔炼锻压成一个长方体钢锭，这个长方体的长是2米，宽是1.5米，求这个长方体钢锭的高。
【解析】由正方体钢锭熔炼成长方体钢锭，形状发生了变化但体积没变，因此，求出正方体的体积，也就是长方体的体积，题中又告知我们长方体钢锭的长和宽，根据长方体的体积=长×宽×高或长方体的体积=底面积×高，可求出高。
如果这道题用方程来解答，等量关系式为长方体的体积等于正方体的体积。
【解答一】
1.2×1.2×1.2÷2÷1.5=0.576(米)
或1.2×1.2×1.2÷(2×1.5)=0.576(米)
【解答二】
设长方体钢锭的高为米
2×1.5×=1.2×1.2×1.2 解得=0.576
答：这个长方体钢锭的高是0.576米。
【例3】一个长40厘米，横截面是正方形的长方体，如果长增加5厘米，表面积 增加80平方厘米，求原长方体的体积是多少立方厘米
【解析】长方体的长增加了5厘米，表面积增加了80平方厘米，表面积到底增加到什么地方 如图，通过观察我们发现，增加的表面积正好是长5厘米的长方体的 上、下、前、后四个面的面积，因为横截面是正方形，所以这四个面的面积相等；这样 就可求出一个面的面积80÷4=20(平方厘米),用这个面的面积除以长5厘米，则 得出横截面的边长了，底面积×高就可求出原长方体的体积。
【解答】
横截面的边长：80÷4÷5=4(厘米)
原长方体的体积：4×4×40=640(立方厘米)
答：原长方体的体积是640立方厘米。
【例4】一个长方体水箱，长75厘米，宽60厘米，箱内装满水，水中有一块长30 厘米、宽24厘米的铁块，当取出铁块后水面下降4厘米。铁块的高是多少厘米
【解析】水面为什么会下降，那是因为取出了铁块，铁块所占的空间让给了水，因此水下降的那段空间就是铁块的体积，这段空间的长是水箱的长，宽是水箱的宽，高是4厘米，这样知道了铁块的体积就可求出铁块的高了。
【解答】
铁块的体积；75×60×4=18000(立方厘米)
铁块的高：18000÷(30×24)=25(厘米)
答：铁块的高是25厘米。
【例5】一个长方体表面积是78平方厘米，底面积是15平方厘米，底面周长是 16厘米，求这个长方体的体积。
【解析】求长方体的体积，必须知道长方体的长、宽、高或底面积和高，这道题已 知底面积是15平方厘米，就缺少高这个条件了。长方体有6个面，相对的面面积 相等，底面积是15平方厘米，这样上下两个面的面积是15×2=30(平方厘米),用 表面积减去上下面的面积就是长方体的四个侧面面积：78-30=48(平方厘米),再 根据底面周长×高=侧面积，求出长方体的高，长方体的体积也可求出。
【解答】
78-15×2=48(平方厘米)
48÷16=3(厘米)
15×3=45(立方厘米)
答：长方体的体积是45立方厘来。
1.学校要砌一道长20米、宽24厘米、高2米的砖墙，如果每立方米用砖125块，砌这道墙一共需用砖多少块
2. 挖一个长40米、宽20米、深2.5米的游泳池共需挖土多少立方米 如果用水泥抹池的四壁和底面，抹水泥的面积是多少平方米
3.一根方木底面是边长8厘米的正方形，从方木上截下体积是1.28立方分米的一段，应该截多长
4. 一个长方形游泳池，长50米，宽25米，池内水深1.2米，如果用水泵向外排 水，每分钟能排2.5立方米，经过1.5小时后，池中水还有多深
5. 有一个正方体，它的底面周长是64分米，这个正方体的体积是多少立方米
6. 一节火车车厢，从里面量长13米，宽2.7米，高2米，装煤深度比车厢低0.4米，如果平均每立方米煤重1.3吨，这节车厢可装煤多少吨
7. 在一个长4分米、宽3分米的长方体玻璃水箱里，放入一块长方体的铁块，这样水面就比原来上升4厘米，已知铁块的长和宽都是10厘米，求铁块的高是多少厘米。
8. 把一根长方体木料锯掉5厘米后，剩下的部分正好是一个正方体，表面积比原来减少了40平方厘米，原来长方体的体积是多少立方厘米
9. 用大小相同的两个正方体木块，拼成一个长方体，如果拼成的长方体的木块棱长总和是96厘米，那么原来正方体的体积和表面积各是多少
10. 一块长50厘米，宽和高都是10厘米的长方体铁块，可以锻造成棱长为5厘米的正方体多少个
11.一个长方体长16分米，高6分米，沿着水平方向横切成两个小长方体，表面积增加160 平方分米，求原来长方体的体积。
12. 一个长方体木块，从下部和上部分别截去高为3厘米和2厘米的长方体 后，便成为一个正方体，表面积减少了120平方厘米，原长方体的体积是多少立方厘米
13. 两个完全相同的长方体，长6厘米，宽4厘米，高2厘米，拼成一个表面积 最大的长方体，拼成后的长方体表面积比原来两个长方体的表面积减少了多少平 方厘米
14. 一个长方体的表面积是208平方分米，底面积是48平方分米，长是8分米，求这个长方体的体积是多少立方分米
15. 有一个长方体容器，从里面量长5分米，宽4分米，高6分米，里面注有水， 水深4分米，如果把一块棱长是3分米的正方体铁块浸入水中，水面上升了多少 分米
参考答案
1. 24厘米=0.24米 125×(20×0.24×2)=125×9.6=1200(块)
2. 40×20×2.5=2000(立方米)
40×20+40×2.5×2+20×2.5×2=800+200+100=1100(平方米)
3. 8厘米=0.8分米，1.28÷(0.8×0.8)=2(分米)
4. 1.5小时=90分钟， 2.5×90÷(50×25)=0.18(米) 1.2-0.18=1.02(米)
5. 64÷4=16(分米),16分米=1.6米 1.6×1.6×1.6=4.096(立方米)
6. 13×2.7×(2-0.4)×1.3=56.16×1.3=73.008(吨)
7. 4分米=40厘米，3分米=30厘米 40×30×4÷(10×10)=48(厘米)
8. 40÷4=10(平方厘米) 10÷5=2(厘米) 2×2×(5+2)=28(立方厘米)
9. 现在长方体中正方体的楼长数：12×2-8=16(条)
原长方体的楼长：96÷16=6(厘米)
原正方体的体积：6×6×6=216(立方厘米)
原正方体的表面积：6×6×6=216(平方厘米)
10. (50×10×10)÷(5×5×5)=40(个)
11. 长方体的宽：160+2÷16=5(分米)
原长方体的体积：16×5×6=480(立方分米)
12.底面正方形的边长为：120÷(3+2)÷4=6(厘米)
原长方体的体积：6×6×(3+6+2)=396(立方厘米)
13.解法一：
(6×4×2+4×2×2+6×2×2)×2-(6×4×2+6×2×2+4×2)×2
=176-160
=16(平方厘米)
解法二：4×2×2=16(平方厘米)
14. 长方体的宽：48÷8=6(分米)
四个侧面面积：208-48×2=112(平方分米)
底面周长：(8+6)×2=28(分米)
长方体的高：112÷28=4(分米)
长方体的体积：48×4=192(立方分米)
15. 3×3×3÷(5×4)=1.35(分米)
