第一章 特殊平行四边形 单元检测 2023-2024学年北师大版九年级数学上册
一、选择题（每题3分，共30分）
1、下列命题中，为真命题的是（ ）
（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（2）对角线互相垂直的四边形是菱形；
（3）对角线相等的平行四边形是菱形；（4）有一个角是直角的平行四边形是矩形；
A．（1）（2） B．（1）（4） C．（2）（4） D．（3）（4）
2、如图，在矩形ABCD中，AC交 BD于点O，∠AOD =60°，OE⊥AC.若AD=，则AE的长为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
3、如图，在△ABC中，AB > AC，D、E分别是边AB，AC上的点，将△ADE沿线段DE翻折，使点A落在边BC上，记为点A'.若四边形AD A'E是菱形，则下列说法正确的是（ ）
A.DE是AABC的中位线 B.AA'是BC边上的中线
C.AA'是BC边上的高 D.AA'是△ABC的角平分线
4、如图，正方形ABCD中，点F为AB上一点，CF与BD交于点E，连接AE，若∠BCF＝20°，则∠AEF的度数（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
5、如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为8，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
6、如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重合，折痕为MN，若AB=2，BC=4，那么线段MN的长为（ ）
A． B． C． D．
7、如图，O为正方形对角线的中点，为等边三角形．若，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
8、已知：线段AB，BC，∠ABC＝90°.求作：矩形ABCD.
以下是甲、乙两同学的作业：
甲：(1)以点C为圆心，AB长为半径画弧；(2)以点A为圆心，BC长为半径画弧；(3)两弧在BC上方交于点D，连接AD，CD，四边形ABCD即为所求．(如图①)
乙：(1)连接AC，作线段AC的垂直平分线，交AC于点M；(2)连接BM并延长，在延长线上取一点D，使MD＝MB，连接AD，CD，四边形ABCD即为所求．(如图②)对于两人的作业，下列说法正确的是( )
A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
9、如图，菱形，点、、、均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（ ）
A．3 B．5 C． D．
10、如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=10cm，BC=8cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（ ）
A．当时，四边形ABMP为矩形 B．当时，四边形CDPM为平行四边形
C．当时， D．当时，或6s
二、填空题（每题3分，共18分）
11、如图，将沿着方向平移得到，只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是____________．（写出一个即可）
12、如果边长分别为4cm和5cm的矩形与一个正方形的面积相等，那么这个正方形的边长 cm.
13、如图，菱形中，对角线与相交于点，若，，则的长为_________cm．
14、如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝9，M是BC上的点，且CM＝3，将矩形纸片ABCD沿过点M的直线折叠，使点D落在AB上的点P处，点C落在点C′处，折痕为MN，则线段AN的长是 ．
15、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为______．
16、如图，在正方形ABCD中，点O是对角线BD的中点，点P在线段OD上，连接AP并延长交CD于点E，过点P作PF⊥AP交BC于点F，连接AF、EF，AF交BD于G，以下三个结论：①AP＝PF；②DE+BF＝EF；③S△AEF为定值．其中正确的结论有 ．（填入正确的序号即可）．
三、解答题（共72分）
17、已知：如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EOF＝90°．
求证：CE＝DF．
18、如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于0，AE//BD，DE//AC.求证：0E⊥AD.
19、如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE.
(1)求证：BD＝EC；
(2)若∠E＝50°，求∠BAO的大小．
20、如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD.
(1)求证：四边形OCED是菱形；
(2)若AB＝3，BC＝4，求四边形OCED的面积．
21、将正方形和菱形按照如图所示摆放，顶点与顶点重合，菱形的对角线经过点，点，分别在，上．
(1) 求证：；
(2) 若，求的长．
22、如图，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A落在点P处，折痕为．
(1) 求证：；
(2) 若，求的长．
23、如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的点，连接CE，过点D作DF⊥CE，分别交BC，CE于点F、G．
（1）求证：CE＝DF；
（2）若AB＝3，图中阴影部分的面积和与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△DCG的面积为 ，CG+DG的长为 ．
24、两个长为2cm，宽为1cm的矩形摆放在直线l上（如图①），CE=2cm，将矩形ABCD绕着点C顺时针旋转ɑ角，将矩形EFGH绕着点E逆时针旋转相同的角度。
（1）当旋转到顶点D，H重合时（如图②），连接AE，CG，求证：△AED≌△GCD；
（2）当a=45°时（如图③），求证：四边形MHND为正方形.
25、如图1，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），点Q在CD边上，且BP＝CQ，连接AP、BQ交于点E．
（1）求证：AP⊥BQ；
（2）当P运动到BC中点处时（如图2），连接DE，请你判断线段DE与AD之间的关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，过A点作AM⊥DE于点H，交BQ、CD于点N、M，若AB＝2，求QM的长度．
