2023-2024学年四川省成都市郫都区高三（上）段考数学试卷（理科）（一）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x＞2}，则A∩B＝（ ）
A．{1，2} B．{3，4} C．{2，3，4} D．{1，2，3，4}
2．（5分）复数z＝1﹣i（i为虚数单位）的虚部为（ ）
A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i
3．（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，点A（2，3，6）在坐标平面Oxz内的射影为点B，则B的坐标为（ ）
A．（0，3，6） B．（2，0，6） C．（2，3，0） D．（2，0，3）
4．（5分）以模型y＝cekx（c＞0）去拟合一组数据，设z＝lny，将其变换后得到线性回归方程z＝2x﹣1，则原模型中k，c的值分别是（ ）
A．k＝﹣2，c＝e B．k＝2，c＝ C．k＝﹣2，c＝ D．k＝2，c＝e
5．（5分）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．（5分）已知函数是R上的增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1] B．[﹣2，﹣1] C．[﹣2，0] D．（﹣∞，0]
7．（5分）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
8．（5分）给出定义：设f′（x）是函数y＝f（x）的导函数，f″（x）是函数y＝f′（x）的导函数．若方程f″（x）＝0有实数解x＝x0，则称（x0，f（x0））为函数y＝f（x）的“拐点”．经研究发现所有的三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0）都有“拐点”，且该“拐点”也是函数y＝f（x）的图象的对称中心．若函数f（x）＝x3﹣3x2，则＝（ ）
A．﹣8088 B．﹣8090 C．﹣8092 D．﹣8096
9．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ）
A．乙可以知道四人的成绩
B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩
D．乙、丁可以知道自己的成绩
10．（5分）“数独九宫格”原创者是18世纪的瑞士数学家欧拉，它的游戏规则很简单，将1到9这九个自然数填到如下所示的小九宫格的9个空格里，每个空格填一个数，且9个空格的数字各不相同．若中间空格已填数字5，且只填第二行和第二列，并要求第二行从左到右及第二列从上至下所填的数字都是从小到大排列的，则不同的填法种数为（ ）
5
A．36 B．72 C．144 D．196
11．（5分）已知正数a，b满足ea+a＝b+lnb＝2（e为自然对数的底数），则下列关系式中不正确的是（ ）
A．beb＝e2 B．a+b＝2 C．eb+lna＝2 D．ea+lnb＝2
12．（5分）已知函数，若关于x的方程f（x）＝m有四个不同的根x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4），则的最大值是（ ）
A． B．5ln2+4 C．5ln3 D．13﹣2e
二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.
13．（5分）“ x∈R，x2﹣2x﹣a≥0”为真命题，则实数a的最大值为 ．
14．（5分）已知随机变量η～N（3，22），若ξ＝2η+3，则Dξ＝ ．
15．（5分）有一些网络新词，如“内卷”、“躺平”等，现定义方程f（x）＝f′（x）的实数根x叫做函数f（x）的“躺平点”，若函数g（x）＝ex﹣x，h（x）＝lnx，φ（x）＝1024x+1024的躺平点分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为 ．
16．（5分）干支纪年是中国古代的一种纪年法．分别排出十天干与十二地支如下：
天干：甲乙丙丁戊己庚辛壬癸
地支：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥
把天干与地支按以下方法依次配对：把第一个天干“甲”与第一个地支“子”配出“甲子”，把第二个天干“乙”与第二个地支“丑”配出“乙丑”， ，若天干用完，则再从第一个天干开始循环使用．已知2023年是癸卯年，则138+2年以后是 年．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．（12分）某高校A课程的教师为了解本学期选修该课程的学生的情况，随机调查了200名选该课程的学生的一些情况，具体数据如下表：
本专业 非本专业 合计
始生 70 80
男生 40
合计
（1）根据已知条件完成上面的2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为选修A课程的是否为本专业学生与学生性别有关；
（2）从样本中为“非本专业”的学生中，先按性别比例用分层抽样的方法抽出5人，再从这5人中随机抽取3人，求3人都是男生的概率．
参考公式：，其中n＝a+b+c+d．参考数据：
P（K2 k0） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
18．（12分）已知函数f（x）＝x3+ax2+b在x＝﹣2时取得极大值4．
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f（x）在区间[﹣3，1]上的最值．
19．（12分）某工艺品加工厂加工某工艺品需要经过a，b，c三道工序，且每道工序的加工都相互独立，三道工序加工合格率分别为，，，三道工序都合格的工艺品为特等品；恰有两道工序合格的工艺品为一等品；恰有一道工序合格的工艺品为二等品；其余为废品．
（1）求加工一件工艺品不是废品的概率；
（2）若每个工艺品为特等品可获利300元，一等品可获利100元，二等品将使工厂亏损20元，废品将使工厂亏损100元，记一件工艺品经过三道工序后最终获利X元，求X的分布列和数学期望．
20．（12分）如图，在圆锥DO中，D为圆锥顶点，AB为圆锥底面的直径，O为底面圆的圆心，C为底面圆周上一点，四边形OAED为矩形，且AC＝1，．
（1）若F为BC的中点，求证：DF∥平面ACE；
（2）若CE与平面OAED所成角为30°，求二面角A﹣DE﹣C的余弦值．
21．（12分）已知函数f（x）＝alnx﹣x+1，其中a∈R．
（1）讨论函数f（x）零点个数；
（2）求证：．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，极轴所在的直线为x轴建立极坐标系，曲线C1是经过极点且圆心在极轴上的直径为2的圆，曲线C2是著名的笛卡尔心形曲线，它的极坐标方程为ρ＝1﹣sinθ（θ∈[0，2π））．
（1）求曲线C1的极坐标方程，并求曲线C1和曲线C2的交点（异于极点）的极径；
（2）若曲线C3的参数方程为（t为参数），且曲线C3和曲线C2相交于除极点以外的M、N两点，求线段MN的长度．
2023-2024学年四川省成都市郫都区高三（上）段考数学试卷（理科）（一）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．【解答】解：由A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x＞2}，
则A∩B＝{1，2，3，4}∩{x|x＞2}＝{3，4}，
故选：B．
2．【解答】解：复数z＝1﹣i（i为虚数单位）的虚部是﹣1．
故选：B．
3．【解答】解：在空间直角坐标系Oxyz中，点A（2，3，6）在坐标平面Oxz内的射影为点B（2，0，6）．
故选：B．
4．【解答】解：因为y＝cekx（c＞0），
两边取对数，得lny＝ln（cekx）＝lnc+lnekx＝lnc+kx，
设z＝lny，则z＝lnc+kx，
又因为线性回归方程z＝2x﹣1，
所以lnc＝﹣1，k＝2，
所以原模型中k＝2，c＝．
故选：B．
5．【解答】解：根据题意，因为的定义域为{x|x≠0}，
则，所以f（x）为偶函数，
所以排除C、D；
当x∈（0，1）时，，
所以，排除A．
故选：B．
6．【解答】解：二次函数y＝﹣x2﹣2ax﹣5的对称轴为x＝﹣a，且开口向下，
因为f（x）是R上的增函数，
所以，解得﹣2≤a≤﹣1．
故选：B．
7．【解答】解：因为，，，
所以a＜c＜b．
故选：A．
8．【解答】解：由f′（x）＝3x2﹣6x，可得f″（x）＝6x﹣6，
令f″（x）＝0，可得x＝1，又f（1）＝1﹣3＝﹣2，
所以y＝f（x）的图像的对称中心为（1，﹣2），
即f（1﹣x）+f（1+x）＝﹣4，
所以
＝
＝．
故选：B．
9．【解答】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，
甲不知自己的成绩
→乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）
→乙看到了丙的成绩，知自己的成绩
→丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩，
给甲看乙丙成绩，甲不知道自己的成绩，说明乙丙一优一良，假定乙丙都是优，则甲是良，假定乙丙都是良，则甲是优，那么甲就知道自己的成绩了．给乙看丙成绩，乙没有说不知道自己的成绩，假定丙是优，则乙是良，乙就知道自己成绩．给丁看甲成绩，因为甲不知道自己成绩，乙丙是一优一良，则甲丁也是一优一良，丁看到甲成绩，假定甲是优，则丁是良，丁肯定知道自己的成绩了
故选：D．
10．【解答】解：根据题意，如图假设第二行的两个空格为B、D，第二列的两个空格为A、C，
分2步进行分析：
①，对于空格A、B，需要在1、2、3、4四个数字中任选2个，有A42＝12种选法，
②，对于空格C、D，需要在6、7、8、9四个数字中任选2个，有A42＝12种选法，
则有12×12＝144种不同的填法；
故选：C．
11．【解答】解：由题意得ea+lnea＝b+lnb＝2，
令f（x）＝x+lnx，x＞0，则恒成立，
所以f（x）＝x+lnx在（0，+∞）上单调递增，
故ea＝b，
所以ea+a＝b+a＝2，B正确；
beb＝ea eb＝ea+b＝e2，A正确；
ea+lnb＝b+lnb＝2，D正确；
对C选项，，
，
又f（x）＝x+lnx在（0，+∞）上单调递增，f（b）＝2，
故，所以，
故，
设，x∈（0，+∞），
则，
当0＜x＜1时，g′（x）＞0，当x＞1时，g′（x）＜0，
故g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
又g（1）＝0，故g（x）≤0，即，当且仅当x＝1时，等号成立，
故，
则，所以，
又，故，C错误．
故选：C．
12．【解答】解：函数的图象如图，
由图可知当且仅当0＜m≤1时，方程f（x）＝m有四个不同的根，
且，由题：，，
∴，
设h（m）＝﹣2m+5ln（m+2）+4（0＜m＜1），
则，令，，
故h（m）在递增，在递减，．
故选：A．
二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.
13．【解答】解：因为“ x∈R，x2﹣2x﹣a≥0”为真命题，
所以Δ＝（﹣2）2+4a≤0，即a≤﹣1．
所以实数a的最大值为﹣1．
故答案为：﹣1．
14．【解答】解：∵ξ＝2η+3，
∴Dξ＝4Dη，
又Dη＝4，∴Dξ＝16．
故答案为：16
15．【解答】解：对于g（x）＝ex﹣x来说，g′（x）＝ex﹣1，
由“躺平点”定义可知g（a）＝g′（a），即可得ea﹣a＝ea﹣1，解得a＝1；
对于h（x）＝lnx，易知，所以可得h（b）＝h′（b），即，
令，显然f（b）在（0，+∞）上单调递增，
易知f（1）＝ln1﹣1＝﹣1＜0，，所以可得b∈（1，e），
因此b＞a；
对于φ（x）＝1024x+1024，易得φ′（x）＝1024，
所以φ（c）＝1024c+1024＝φ′（c）＝1024，解得c＝0，
因此可得b＞a＞c．
故答案为：b＞a＞c．
16．【解答】解：因为，
所以138+2年以后地支为“午”，
因为，
又因为38+2＝6563，38+2除以10余数为3，所以138+2年以后天干为“丙”，
故138+2年以后是丙午年．
故答案为：丙午．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．【解答】解：（1）由题可知学生共200人，则男生人数为200﹣80＝120人，本专业男生人数为120﹣40＝80人，非本专业女生人数为80﹣70＝10人．
故2×2列联表如下：
本专业 非本专业 合计
女生 70 10 80
男生 80 40 120
合计 150 50 200
所以．
因为11.111＞10.828，
所以有99.9%的把握认为选修A课程的是否为本专业学生与学生性别有关，
（2）样本中为“非本专业”的学生有50人，男、女人数之比为4：1．
故用分层抽样方法从中抽出5人，男生有4人，记为A1，A2，A3，A4，女生有1人，记为B，
从这5人中再随机抽取3人，有（A1，A3，A4），（A1，A2，B），（A1，A3，B），（A1，A4，B），（A2，A3，B），（A2，A4，B），（A3，A4，B），（A1，A2，A3），（A1，A2，A4），（A2，A3，A4）共10个结果，
其中3人都是男生的结果有4个，
所以3人都是男生的概率为．
18．【解答】解：（1）f′（x）＝3x2+2ax，由题意得，解得a＝3，b＝0，
此时f（x）＝x3+3x2，f′（x）＝3x2+6x＝3x（x+2），
当x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＞0，所以f（x）在（﹣∞，﹣2）单调递增，
当x∈（﹣2，0）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（﹣2，0）单调递减，
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）单调递增，
所以f（x）在x＝﹣2时取得极大值．
所以a＝3，b＝0．
（2）由（1）可知，f（x）在[﹣3，﹣2）单调递增，在（﹣2，0）单调递减，在（0，1]单调递增．
又因为f（﹣3）＝0，f（﹣2）＝4，f（0）＝0，f（1）＝4，
所以函数f（x）在区间[﹣3，1]上的最大值为4，最小值为0．
19．【解答】解：（1）记“加工一件工艺品为废品”为事件A，
则P（A）＝（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）＝，
故所求的概率P（）＝1﹣P（A）＝．
（2）由题意可知随机变量X的所有可能取值为﹣100，﹣20，100，300，
P（X＝﹣100）＝，P（X＝﹣20）＝++＝，
P（X＝100）＝++＝，P（X＝300）＝＝，
则随机变量X的分布列为
X ﹣100 ﹣20 100 300
P
E（X）＝（﹣100）×+（﹣20）×+100×+300×＝．
20．【解答】解：（1）证明：连接DF、OF，
∵O、F分别为AB、BC的中点，∴OF∥AC，
∵AC 平面ACE，OF 平面ACE，∴OF∥平面ACE，
∵四边形OAED是矩形，∴OD∥AE，
又OD∥平面ACE，OF OD＝O，OF，OD 平面ODF，
则平面ODF∥平面ACE，
∵DF 平面ODF，∴DF∥平面ACE；
（2）过点C做CM⊥AB交AB于点M，连接ME，
∵OD⊥平面ABC，且OD//AE，∴AE⊥平面ABC
则AE⊥CM，又AB AE＝A，AB，AE 平面OAED，
故CM⊥平面OAED，
故CE在平面OAED内射影为ME，
则∠CEM即为CE与平面OAED所成的角，故∠CEM＝30°，
在△ABC中，由，可知，
故，，
以C为坐标原点，分别以AC、BC所在直线为x、y轴，
过点C作垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图示：
则C（0，0，0），A（﹣1，0，0），，，
，，，
设平面ADE的法向量为，
由，得，
令y1＝1，故，
设平面CDE的法向量为，
由，得，
令y2＝1，故＝（，1，），
故cos＜，＞＝＝，
∵二面角A﹣DE﹣C为锐二面角，
∴二面角A﹣DE﹣C的余弦值为．
21．【解答】解：（1）∵f（x）＝alnx﹣x+1，（x＞0），
∴f′（x）＝﹣1＝，
①a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）单调递减，
而f（1）＝0，故f（x）在（0，+∞）上有1个零点，
②a＞0时，令f′（x）＞0，解得x＜a，令f′（x）＜0，解得x＞a，
故f（x）在（0，a）递增，在（a，+∞）递减，
故f（x）max＝f（a）＝alna﹣a+1，
令g（a）＝alna﹣a+1，则g′（a）＝lna，
令g′（a）＞0，解得a＞1，令g′（a）＜0，解得0＜a＜1，
故g（a）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，
故g（a）min＝g（1）＝0，
故a∈（0，1）时，g（a）＞0，a＝1时，g（a）＝0，a∈（1，+∞）时，g（a）＞0，
而x→0时，f（x）→﹣∞，x→+∞时，f（x）→﹣∞，
故a∈（0，1）时，f（x）2个零点，a＝1时，f（x）1个零点，a∈（1，+∞）时，f（x）2个零点；
综上：a≤0或a＝1时，f（x）1个零点，
a∈（0，1）∪（1，+∞）时，f（x）2个零点．
（2）证明：令a＝1，则f（x）＝lnx﹣x+1，结合（1），lnx≤x﹣1，（当且仅当x＝1时“＝”成立）
令t＝x﹣1，则ln（t+1）≤t（t≥﹣1）（当且仅当t＝0时“＝”成立）
令t＝，则＞ln（），
则1＞ln2，＞ln， ，＞ln（），
累加得：1+++ +＞ln（2××××）＝ln（n+1）＞lnn，
故．
22．【解答】解：（1）在平面直角坐标系xOy中，由题意可知，曲线C1是以点（1，0）为圆心，半径为1的圆，
曲线C1的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝1，即x2+y2﹣2x＝0，
将x2+y2＝ρ2，x＝ρcosθ代入并化简得C1的极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈[0，2π），
由消去θ，并整理得ρ2+（2﹣2ρ）2＝（2cosθ）2+（2sinθ）2＝4，
即5ρ2﹣8ρ＝0，解得ρ1＝0（舍）或，
所以所求异于极点的交点的极径为．
（2）因为曲线C3的参数方程为（t为参数），
所以，曲线C3是过原点，且倾斜角为的直线，
所以，曲线C3的极坐标方程为和，
由得，由得，
则曲线C3与曲线C2两交点的极坐标为、，
所以（O为极点）
