北师版九年级第一学期 数学（上册 ）10月份 阶段性 测试 及答案
（ 范围：第一章《特殊平行四边形》～第四章《图形的相似》 ）
选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）
1．连续投掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币恰好是一正一反的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
如图，为测量学校旗杆的高度，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具，
移动竹竿使竹竿和旗杆两者顶端的影子恰好落在地面的同一点A，此时，竹竿与点A相距8m，
与旗杆相距22m，则旗杆的高为（ ）
A．6m B．8.8m C．12m D．15m
【答案】C
14．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝5，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（ ）
A．16 B．20 C．12 D．24
【答案】B
如图，在菱形中，点在x轴上，点的坐标为（4，4），点的坐标为（0，2），
则点的坐标是（ ）
A．（8，2） B．（2，8） C．（4，2） D．（2，4）
【答案】A
小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，
并测得∠B=60°，接着活动学具成为图2所示正方形，并测得对角线AC=40cm，
则图1中对角线AC的长为 ( )
A．20 cm B．30 cm C．0 cm D．cm
【答案】D
7.如图，在中，．将沿图示中的虚线剪开，
剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
8 .某校举行安全系列教育活动主题手抄报的评比活动，
学校共设置了“交通安全”“消防安全”“饮食安全”“校园安全”四个主题内容．
一班推荐李明与张颖参加手抄报评比，他们两人选取同一个主题的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
9 .如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，
动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，
点Q的速度为2cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，
若使△PBQ的面积为15cm2，则点P运动的时间是（ ）
A．2s B．3s C．4s D．5s
【答案】B
10 . 如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．
将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：
①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG//CF；④S△FGC=3．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
填空题（本大题共有8个小题，每小题3分，共24分）
11．已知线段、满足，则 ．
【答案】
12 .在一个不透明的盒子里装有5个黑色棋子和若干白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，
任意摸出一个棋子，摸到白色棋子的概率是，则白色棋子的个数为 ．
【答案】10.
13.如图，，交于点O，且，，，
当_______时，．
【答案】
14．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ．
【答案】且
15.如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，
点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为 ．
【答案】（﹣1，5）
16.小王、小李和小张3名党员都报名参加所在社区的志愿者工作，
但社区根据实际情况只需要他们中的2人．有人建议他们采用随机抽签的方式确定参加人，
则小王和小李同时参加的概率为_______
【答案】
如图，在菱形中，点在x轴上，点（4，4），点（0，2），则点的坐标是_______
【答案】（8，2）
18.如图，在中，，，
点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，
点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．
若点P、Q分别从点A、B同时出发，问经过 秒钟，与相似．
【答案】2或5
三、解答题（本大题共有6个小题，共46分）
19．解方程：
（1）；
（2）．
解：（1），
，
或，
∴ ，．
（2），
，
或，
∴ ，
20．如图，在Rt△ABC中，∠A=90 ，AB=6，BC=10，D是AC上一点，CD=5，DE⊥BC于E，
求线段DE的长.
解：∵∠C=∠C，∠A=∠DEC，
∴△DEC∽△BAC，
则
解得：DE=3.
21.邮票素有“国家名片”之称，方寸之间，包罗万象．为宣传北京2022年冬奥会，
中国邮政发行了若干套冬奥会纪念邮票，其中有一套展现雪上运动的邮票，如图所示：
某班级举行冬奥会有奖问答活动，答对的同学可以随机抽取邮票作为奖品．
在抢答环节中，若答对一题，可从4枚邮票中任意抽取1枚作为奖品，
则恰好抽到“冬季两项”的概率是_______ ．
在抢答环节中，若答对两题，可从4枚邮票中任意抽取2枚作为奖品，
请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的概率．
解：（1）从4种邮票任取一张共有4种情况，其中“冬季两项”只有1种情况，
恰好抽到“冬季两项”的概率是．
故答案为：．
（2）直接使用图中的序号代表四枚邮票，由题意画出树状图，如图所示：
由树状图可知，所有可能出现的结果共有12种，并且它们出现的可能性相等．
其中，恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的结果有2种，
∴恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的概率为：
如图，已知为矩形对角线的交点，过点作，
过点作，且、相交于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的面积．
（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：在中，
∵，，，
∴，
∴矩形的面积，
∵，
∴四边形的面积．
23．2022年北京冬奥会吉祥物为“冰墩墩”．
（1）据市场调研发现，某工厂今年二月份共生产500个“冰墩墩”，
该工厂连续两个月增加生产量后四月份生产720个“冰墩墩”，
求平均每月的增长率是多少？
已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售20个，每个盈利20元，
在每个降价幅度不超过8元的情况下，每下降2元，则每天可多售10件．
如果每天要盈利700元，则每个“冰墩墩”应降价多少元？
解：（1）设平均每月的增长率是，
（个），
解得，（舍）
答：平均每月的增长率是．
设每个“冰墩墩”降价元，则每个盈利元，
平均每天可售出个，
依题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去）
答：每个“冰墩墩”应降价6元．
24.已知：如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，
点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；
点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．
若设运动的时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ∥BC；
（2）设△AQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？
若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；
如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，
使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．
解：（1）在Rt△ABC中，AB＝ ＝＝10（cm），
∵点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；
点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；
∴BP＝t，AQ＝2t，则AP＝10﹣t，
∵PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴=
∴=
∴t＝
∴当t＝s时，PQ∥BC．
（2）如图，过点P作PE⊥AC于点E，
∵PE⊥AC，BC⊥AC，
∴PE∥BC，
∴△APE∽△ABC，
∴=，
∴=，
∴PE＝6﹣t，
∴y＝×2t×（6﹣t）＝﹣t2+6t．
（3）∵∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，AC＝10cm，
∴△ABC的周长为24cm，△ABC的面积为24cm2，
∵线段PQ恰好把Rt△ACB的周长平分，
∴AP+AQ＝×24＝12，
∴10﹣t+2t＝12，
∴t＝2，
当t＝2时，y＝﹣×4+12≠×24，
∴不存在t的值使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分．
（4）如图，连接P'P交AC于点O，
∵四边形PQP′C为菱形
∴PO⊥AC，OQ＝OC，
∴PO∥BC，
∴△APO∽△ABC，
∴=，，
∴=，，
∴AO＝ ，
∵OQ＝OC，
∴AO﹣AQ＝AC﹣AO，
∴2×﹣2t＝8，
∴t＝，
∴当t＝s时，四边形PQP′C为菱形．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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北师版九年级第一学期 数学（上册 ）10月份 阶段性 测试
（ 范围：第一章《特殊平行四边形》～第四章《图形的相似》 ）
选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）
1．连续投掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币恰好是一正一反的概率是（ ）
A． B． C． D．
如图，为测量学校旗杆的高度，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具，
移动竹竿使竹竿和旗杆两者顶端的影子恰好落在地面的同一点A，此时，竹竿与点A相距8m，
与旗杆相距22m，则旗杆的高为（ ）
A．6m B．8.8m C．12m D．15m
14．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝5，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（ ）
A．16 B．20 C．12 D．24
如图，在菱形中，点在x轴上，点的坐标为（4，4），点的坐标为（0，2），
则点的坐标是（ ）
A．（8，2） B．（2，8） C．（4，2） D．（2，4）
小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，
并测得∠B=60°，接着活动学具成为图2所示正方形，并测得对角线AC=40cm，
则图1中对角线AC的长为 ( )
A．20 cm B．30 cm C．0 cm D．cm
7.如图，在中，．将沿图示中的虚线剪开，
剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A．B．C．D．
8 .某校举行安全系列教育活动主题手抄报的评比活动，
学校共设置了“交通安全”“消防安全”“饮食安全”“校园安全”四个主题内容．
一班推荐李明与张颖参加手抄报评比，他们两人选取同一个主题的概率是（ ）
A． B． C． D．
9 .如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，
动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，
点Q的速度为2cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，
若使△PBQ的面积为15cm2，则点P运动的时间是（ ）
A．2s B．3s C．4s D．5s
10 . 如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．
将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：
①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG//CF；④S△FGC=3．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
填空题（本大题共有8个小题，每小题3分，共24分）
11．已知线段、满足，则 ．
12 .在一个不透明的盒子里装有5个黑色棋子和若干白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，
任意摸出一个棋子，摸到白色棋子的概率是，则白色棋子的个数为 ．
13.如图，，交于点O，且，，，
当_______时，．
14．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ．
15.如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，
点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为 ．
16.小王、小李和小张3名党员都报名参加所在社区的志愿者工作，
但社区根据实际情况只需要他们中的2人．有人建议他们采用随机抽签的方式确定参加人，
则小王和小李同时参加的概率为_______
如图，在菱形中，点在x轴上，点（4，4），点（0，2），则点的坐标是_______
18.如图，在中，，，
点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，
点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．
若点P、Q分别从点A、B同时出发，问经过 秒钟，与相似．
三、解答题（本大题共有6个小题，共46分）
19．解方程：
（1）；
（2）．
20．如图，在Rt△ABC中，∠A=90 ，AB=6，BC=10，D是AC上一点，CD=5，DE⊥BC于E，
求线段DE的长.
21.邮票素有“国家名片”之称，方寸之间，包罗万象．为宣传北京2022年冬奥会，
中国邮政发行了若干套冬奥会纪念邮票，其中有一套展现雪上运动的邮票，如图所示：
某班级举行冬奥会有奖问答活动，答对的同学可以随机抽取邮票作为奖品．
在抢答环节中，若答对一题，可从4枚邮票中任意抽取1枚作为奖品，
则恰好抽到“冬季两项”的概率是_______ ．
在抢答环节中，若答对两题，可从4枚邮票中任意抽取2枚作为奖品，
请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的概率．
如图，已知为矩形对角线的交点，过点作，
过点作，且、相交于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的面积．
23．2022年北京冬奥会吉祥物为“冰墩墩”．
（1）据市场调研发现，某工厂今年二月份共生产500个“冰墩墩”，
该工厂连续两个月增加生产量后四月份生产720个“冰墩墩”，
求平均每月的增长率是多少？
已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售20个，每个盈利20元，
在每个降价幅度不超过8元的情况下，每下降2元，则每天可多售10件．
如果每天要盈利700元，则每个“冰墩墩”应降价多少元？
24.已知：如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，
点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；
点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．
若设运动的时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ∥BC；
（2）设△AQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？
若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；
如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，
使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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