新泰市名校2023-2024学年高三上学期第一次大单元考试
数学试题2023.09.25
一 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则
A. B. C. D.
2．已知符号函数则“”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
3. 设实数、满足，，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
4. 垃圾分类，一般是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、分类投放和分类搬运，从而变成公共资源的一系列活动的总称．已知某种垃圾的分解率ν与时间t（月）满足函数关系式（其中a，b为非零常数）．若经过6个月，这种垃圾的分解率为5%，经过12个月，这种垃圾的分解率为10%，那么这种垃圾完全分解（分解率为100%）至少需要经过（ ）（参考数据）
A 20个月 B. 40个月 C. 28个月 D. 32个月
5已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中可能是图象的是（ ）
A． B．
C． D．
6. 已知是R上的奇函数，，当，，且时，，当时，不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
7. 设是定义域为的奇函数，且，当时，，.将函数的正零点从小到大排序，则的第4个正零点为（ ）A. B. C. D.
8. 已知函数，则、、的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
二 多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9. 如果a
10. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，．则下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 函数有两个零点
C. 若方程有三个解，则实数的取值范围是
D.
11. 若图像上存在两点，关于原点对称，则点对称为函数的“友情点对”（点对与视为同一个“友情点对”）若恰有两个“友情点对”，则实数的值可以是（ ） A. 0 B. C. D.
12. 已知奇函数的定义域为，若对，有，且当时，，则下列四个结论中正确的是（ ）
A. 周期为 B. 函数在区间上为增函数
C. 函数在上的零点个数为
D. 对，
三 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 命题“，”为假命题，则实数的取值范围为___________；
14. 已知函数，若直线与函数的图象相切，则实数的值为___________.
15．已知，且函数恰有个不同的零点，则实数的取值范围是 ．
16. 如果两地的距离是600公里，驾车走完这600公里耗时6小时，那么在某一时刻，车速必定会达到平均速度100公里/小时.上述问题转换成数学语言：是距离关于时间的函数，那么一定存在：就是时刻的瞬时速度.前提条件是函数在上连续，在内可导，且.也就是在曲线的两点间作一条割线，割线的斜率就是是与割线平行的一条切线的斜率，切线与曲线相切于点.已知对任意实数，且，不等式恒成立，若函数，则实数的取值范围为__________.
四 解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17（1）计算的值；．
(2)；
(3)
18. 已知幂函数在上单调递增，函数.
（1）求的值；
（2）当时，记，的值域分别为集合，，设命题：，命题：，若命题是成立的必要条件，求实数的取值范围.
19已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)当时，，求的取值范围.
20. 已知函数.
（1）若为偶函数，求的值；
（2）若函数在上有2个不同的零点，求的取值范围.
21.已知函数存在两个极值点.
(1)求的取值范围；
(2)求的最小值.
22. 若．
（1）当，时，讨论函数的单调性；
（2）若，且有两个极值点，，证明．新泰市名校2023-2024学年高三上学期第一次大单元考试
参考答案
BABCADCA BD AC BD ACD 1
（1）；（2）2 (3) 4
18【小问1详解】依题意得：，或，
当时，在上单调递减，与题设矛盾，舍去，
当时，在上单调递增，.
【小问2详解】由（1）得，当时，，即，
当时，，即，
∵命题是成立的必要条件，∴，∴，∴，
∴的取值范围是．
19【详解】（1）时，，，
令，.
∴的单调递增区间为，，单调递减区间为.
（2）法一：常规求导讨论
.
①当时，令
且当时，，；当时，，.
注意到，时，符合题意.
②当时，，在上，
此时符合题意.
③当时，令，，
且当在上，上，上，
此时符合题意.
③当时，令，，
且当在上，上，上，
此时只需，显然成立.
④当时，令，，
且当在上，上，上.
此时只需.
综上：实数的取值范围.
法二：参变分离
①时，不等式显然成立.
②当时，，令，
.
令且当时，，；当时，，，
∴，∴.
20【详解】（1）由题意，函数为偶函数，则，即.
整理得，所以.
（2）因为函数，
令，可得，整理得，
即，
由函数在上有2个不同的零点，
所以，，且，，
解得或，
所以的取值范围为.
21【详解】（1）由题意知：定义域为，；
令，则有两个不等正根，
，解得：，实数的取值范围为.
（2）由（1）知：，是的两根，则；
；
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增；
，
即的最小值为.
22解：因为
当时，所以，
令，解得或2，
当时，则当或时，当时，即函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当时，，故函数在上单调递增；
当时，当或时，当时，即函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增；
【小问2详解】
证明：当时，．
函数有两个极值点方程有两个正根，
且，解得，
由题意得
，
令．
则在上单调递椷，
，
．
