2023-2024学年湖南省湘潭市湘乡市名民实验学校高一（上）入学数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.下列方程中，是关于的一元二次方程的是( )
A. B.
C. D.
2.如图，在四个几何体中，三视图完全相同的几何体是( )
A. 正方体 B. 长方体
C. 圆锥 D. 圆柱
3.下列计算，正确的是( )
A. B. C. D.
4.如图，在中，，，，等于( )
A.
B.
C.
D.
5.若两个相似三角形的周长之比为：，则这两个三角形的面积之比为( )
A. ： B. ： C. ： D. ：
6.二次函数的图象的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
7.若是一个完全平方式，则的值为( )
A. 或 B. C. D. 或
8.若数轴上表示数的点在原点的左边，则化简的结果是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9.若的意义，则实数的取值范围______ ．
10.如图，四边形内接于圆，若，则的度数是______ ．
11.如图，在中，，如果，，那么的长为______ ．
12.已知一元二次方程的一个根为，则 ______ ．
13.书香相伴，香满校园，某校学生月份借阅图书本，月份借阅图书本，如果每月借阅图书数量的增长率相同，设这个增长率为，那么根据题意可列方程为______ ．
14.若点，都是反比例函数图象上的点，并且，则 ______ 填“”，“”或“”
15.某校为了解学生对篮球、足球、排球等三种球类运动的喜爱程度，随机调查了该校名学生，其中名同学喜欢篮球运动若该校共有名学生，根据所学的统计知识可以估计该校喜欢篮球运动的学生有______ 名
16.如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点和，若，则的取值范围是______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
解不等式组．
18.本小题分
嘉淇在用公式法解方程时出现了错误，解答过程如下所示：
解方程
解：，，第一步
第二步
原方程无实数根第三步
嘉淇的解答过程从第______ 步开始出错的，其错误的原因是______ ；
请你写出此题的正确的求解过程．
19.本小题分
某班四个数学小组，准备研读四部古代数学著作现制作背面完全相同的张卡片，正面分别写有九章算术周髀算经五经算术数術记遗，将张卡片混合后正面朝下放置在桌面上，每个小组选一代表从中依次抽取一张卡片．
第一学习小组抽到五经算术的概率是______ ．
若第一和第二小组依次从中抽取一张不放回，请利用列表或画树状图的方法，求这两组抽取的两张卡片正面写的是九章算术和周髀算经的概率．
20.本小题分
已知某蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流单位：与电阻单位：是反比例函数关系，它的图象如图所示．
求这个反比例函数的解析式；
如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过，那么用电器可变电阻应控制在什么范围？
21.本小题分
如图，、分别是、上的点，连接，且，若，，，求的长．
22.本小题分
年月日，搭载神舟十五号载人飞船的运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射运载火箭从发射点处发射，当火箭到达处时、在地面雷达站处测得点的仰角为，在地面雷达站处测得点的仰角为已知，、、三点在同一条直线上，求、两个雷达站之间的距离结果精确到，参考数据
23.本小题分
已知关于的方程：．
求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
若方程的两个实数根，，满足，求的值．
24.本小题分
某超市销售一批日用品，每个进价为元，经市场调研发现：该日用品每个售价为元时，每天的销售量为个，销售单价每提高元，销售量就会减少个，设销售单价为元，每天的销售量为个，每天的销售利润为元．
直接写出销售量与销售单价之间的函数关系式；
求当销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？
25.本小题分
请阅读材料，并完成相应的任务：学习了圆的切线以后，某课外小组的同学们发现，过圆外一点可以画圆的两条切线如图，为外一点，过点可以画的两条切线，切点分别为，．
发现结论智慧小组在操作中发现，沿直线将图形对折，可以得出结论：，．
证明结论启迪小组为了证明上述结论的正确性，做了如下证明：
如图，连接和．
，是的两条切线，
，依据
．
任务：
请写出括号中的依据：_____；
请将上面的证明过程补充完整；
如图，在中，，为的两条切线，，分别为它们的切点，的半径为，连接，请直接写出的周长．
26.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于，点在原点的左侧，点的坐标为，点是抛物线上一个动点，且在直线的上方．
求这个二次函数的表达式．
连接、，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
当点运动到什么位置时，使的面积最大，求出点的坐标和的面积最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：对于，当时，才是关于的一元二次方程，不满足题意；
对于，是关于的一个代数式，不是关于的一元二次方程，不满足题意；
对于，是分式方程，不是关于的一元二次方程，不满足题意；
对于，，即为，是关于的一元二次方程，满足题意．
故选：．
根据一元二次方程的定义逐一判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：正方体的三视图都是正方形，因此符合题意，
长方体的三视图虽然都是长方形，但大小不相同，因此不符合题意，
圆锥的主视图、左视图是三角形，而俯视图是圆形的，因此不符合题意，
圆柱的主视图、左视图是长方形，而俯视图是圆形的，因此不符合题意．
故选：．
根据正方体、长方体、圆锥体、圆柱体的三视图的形状进行判断即可．
本题考查简单几何体的三视图，掌握简单几何体三视图的形状是正确判断的前提，属基础题．
3.【答案】
【解析】解：，故A错误；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确．
故选：．
根据已知条件，结合指数幂的运算法则，即可求解．
本题主要考查指数幂的运算法则，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：在中，，，，
则，
故．
故选：．
根据已知条件，结合勾股定理，先求出，再结合正弦的定义，即可求解．
本题主要考查解三角形，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由相似三角形的性质可得：面积之比等于对应边之比的平方，也等于相似三角形的周长的平方之比，
因为两个相似三角形的周长之比为：，所以面积之比为：．
故选：．
由题意及相似三角形的性质可得面积之比．
本题考查相似三角形的性质的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由已知可得函数的顶点坐标为．
故选：．
利用二次函数的性质即可求解．
本题考查了二次函数的性质，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：若是一个完全平方式，
则，
所以，解得或．
故选：．
根据配方法即可求解．
本题考查了二次函数的性质，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：．
故选：．
根据已知条件，结合指数幂的运算法则，以及绝对值的解法，即可求解．
本题主要考查指数幂的运算法则，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：要使有意义，
则，解得，
故实数的取值范围为．
故答案为：．
根据已知条件，列出不等式，即可求解．
本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由圆内接四边形的性质对角互补可得：．
故答案为：．
由题意及圆内接四边形的性质对角互补可得的大小．
本题考查圆内接四边形的性质的应用，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：在中，，，，
，．
故答案为：．
直接根据直角三角函数定义计算即可．
本题考查直角三角函数的定义，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：由题意得，
解得，经检验符合题意．
故答案为：．
把代入已知方程即可求解．
本题主要考查了一元二次方程的根的求解，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：根据题意得．
故答案为：．
利用月份借阅图书数量月份借阅图书数量每月借阅图书数量的增长率，即可列出关于的一元二次方程，此题得解．
本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由反比例函数的性质可知，函数在上单调递增，
又，
则．
故答案为：．
由反比例函数的性质直接得解．
本题考查反比例函数的性质，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由题意，喜欢篮球运动的学生所占的比例为，
若该校共有名学生，根据所学的统计知识可以估计该校喜欢篮球运动的学生有名．
故答案为：．
由题意，先求出喜欢篮球运动的学生所占的比例，再用总体数量乘以此比例，即为所求．
本题主要考查用样本的数字特征估计总体的数字特征，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：由图象可知，若，则二次函数图象应该在一次函数图象下面，
所以的范围为．
故答案为：．
利用数形结合即可求解．
本题考查了二次函数的图像性质，属于基础题．
17.【答案】解：由不等式组，可得，故有．
故原不等式组的解集为．
【解析】先求出不等式组中每个不等式的解集，再取交集，即得所求．
本题主要考查不等式组的解法，求两个集合的交集，属于基础题．
18.【答案】一 没有移项到等号左边
【解析】解：嘉淇的解答过程从第一步开始出错的，其错误的原因是没有移项到等号左边；
正确的求解过程是：
解方程，
移项得，
因为，，，
所以，
所以原方程有两个不等的实数根，是或．
根据解一元二次方程的基本步骤判断即可；
写出正确的求解过程即可．
本题考查了一元二次方程的解法与应用问题，是基础题．
19.【答案】
【解析】解：共有张卡片混合后正面朝下放置在桌面上，
第一学习小组抽到五经算术的概率是；
由题意得，分别记九章算术周髀算经五经算术数衔记遗为、、、，画树状图得：
一共有种等可能性结果，
其中甲、乙两人抽取的两张卡片正面写的是九章算术和周髀算经的情况有两种，
所以所求概率．
由概率公式即可得到答案；
由题意得，分别记九章算术，周髀算经，五经算术，数衔记遗为、、、，画出树状图，根据概率公式即可得到答案．
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
20.【答案】解：电流Ⅰ是电阻的反比例函数，
设，
图象经过，
，解得：，
这个反比例函数的解析式为．
，．
，解得：，
即用电器可变电阻应控制在欧以上的范围．
【解析】根据待定系数法求出反比例函数的解析式即可；
解不等式，求出的范围即可．
本题考查了反比例解析式的求解及应用，是基础题．
21.【答案】解：，，
则∽，
故，
，，，
则，解得．
【解析】根据已知条件，结合相似三角形的性质，即可求解．
本题主要考查三角形的性质，属于基础题．
22.【答案】解：已知，
又，
则，，
又，
则，
则，
即、两个雷达站之间的距离为．
【解析】先阅读题意，然后结合三角函数的定义求解即可．
本题考查了三角函数的定义，重点考查了阅读理解能力，属基础题．
23.【答案】证明：，
故该方程都有两个不相等的实数根；
解：由题意得，，
则，
所以，
故或．
【解析】由已知结合二次方程根的存在条件即可判断；
由已知结合方程的根与系数关系即可求解．
本题主要考查了二次方程根的存在条件的应用，还考查了方程的根与系数关系的应用，属于基础题．
24.【答案】解：由题意得：，
销售量与销售单价之间的函数关系式；
由题意得：
，
，当时，有最大值，最大值为，
当销售单价定为元时，每天销售利润最大，最大利润是元．
【解析】根据该日用品每个售价为元时，每天的销售量为个，销售单价每提高元，销售量就会减少个，列出函数关系即可；
根据利润等于单个日用品的利润乘以销售量求出与的关系式，再根据函数的性质解答．
此题考查了列函数关系式，二次函数的实际应用，正确理解题意列出函数关系式是解题的关键．
25.【答案】解：如图，连接和．
，是的两条切线，，圆的切线垂直于过切点的半径，
．
故答案为：圆的切线垂直于过切点的半径；
，是的两条切线，，，
在和中，
，≌，，．
，平分，，
又，为等边三角形，，
在中，，，
的周长．
【解析】由切线的性质可得出结论；
证明≌，由全等三角形的性质可得出，；
由等边三角形的性质及直角三角形的性质可得出答案．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了全等三角形的判定与性质，切线长定理和等边三角形的判定与性质，属中档题．
26.【答案】解：根据题意，将、两点代入二次函数表达式，可得，
解得，，故二次函数的表达式为；
存在点，使四边形为菱形，
设，作出直线，与相交于点，则，．
所以的纵坐标满足，解得舍负，故点的坐标为；
过点作轴的平行线，分别交、于、，
设，求得直线：，则点坐标为，
，
当时，，的面积的最大值为，此时的点坐标为．
【解析】将、两点代入二次函数表达式，解关于、的方程组，解之可得答案；
先假设存在点，再根据菱形的性质建立方程，解出点的坐标；
过点作轴的平行线，分别交、于、，从而利用三角形的面积公式与二次函数的性质，求出的面积最大值与相应点的坐标．
本题主要考查二次函数的图象与性质、菱形的定义与性质、三角形的面积公式、直线与抛物线的位置关系等知识，属于基础题．
第1页，共1页
