人教A版（2019）选修第二册5.1导数的概念及其意义
（共22题）
一、选择题（共13题）
函数 在 处的导数 的几何意义是
A．在点 处与 的图象只有一个交点的直线的斜率
B．过点 的切线的斜率
C．点 与点 的连线的斜率
D．函数 的图象在点 处的切线的斜率
若 ，则
A． B． C． D．
若函数 在区间 上的平均变化率为 ，则实数 的值为
A． B． C． D．
在 附近，取 ，在四个函数① ；② ；③ ；④ 中，平均变化率最大的是
A．① B．② C．③ D．④
在 处的导数为
A． B． C． D．
曲线 在点 处的切线的斜率 是
A． B． C． D．
在函数 的图象上有一点 ，此函数图象与 轴，直线 及 围成图形（如图阴影部分）的面积为 ，则 与 的函数关系用图象可表示为
A． B．
C． D．
函数 在区间 上的平均变化率为 ，在 上的平均变化率为 ，则 与 的大小关系是
A． B． C． D．无法确定
函数 在区间 上的平均变化率 等于
A． B． C． D．
设函数 在 处存在导数，则 等于
A． B． C． D．
在气象学中，通常把某时段内降雨量的平均变化率称为该时段内的降雨强度，它是反映降雨大小的一个重要指标．下表为一次降雨过程中记录的降雨量数据．则下列四个时段降雨强度中最小的是
A． 到 B． 到
C． 到 D． 到
函数 的图象如图所示，则下列数值排序正确的是
A．
B．
C．
D．
某司机看见前方 处有行人横穿马路，这时司机开始紧急刹车，在刹车的过程中，汽车的速度 是关于刹车时间 的函数，其图象可能是
A． B．
C． D．
二、填空题（共5题）
若函数 在区间 上的平均变化率为 ，则 等于 ．
甲、乙两人走过的路程 ， 与时间 的关系如图所示，两人的平均速度 ．（用“”“”或“”填空）
已知曲线 上两点 ，，当 时，割线 的斜率是 ；当 时，割线 的斜率是 ．
已知 的导数存在，且 ，则函数 在 处的导数是 ．
已知曲线 ，则它在与 轴交点处的切线方程为 ．
三、解答题（共4题）
已知函数 图象上两点 ，（）．
(1) 若割线 的斜率不大于 ，求 的范围；
(2) 求函数 的图象在点 处切线的方程．
试求过点 且与曲线 相切的直线方程．
已知曲线 ．
(1) 求曲线 在横坐标为 的点处的切线方程，并判断该切线与曲线 是否还有其他的公共点，若有，求出公共点；
(2) 求曲线 过点 的切线方程．
已知直线 为曲线 在点 处的切线， 为该曲线的另一条切线，且 ．
(1) 求直线 的方程；
(2) 求由直线 ， 和 轴围成的三角形的面积．
答案
一、选择题（共13题）
1. 【答案】D
【解析】 的几何意义是函数 的图象在点 处的切线的斜率．
2. 【答案】C
【解析】由导数意义可知C成立．
3. 【答案】B
【解析】由已知得 ，
所以 ，
所以 ．
4. 【答案】C
5. 【答案】B
【解析】因为 ，，
所以 ，
所以 ，
当 时，，
所以 ．
6. 【答案】D
【解析】曲线 在点 处的切线的斜率
7. 【答案】B
【解析】当 时， 增速越来越平缓，当 时，增速越来越快．
8. 【答案】A
【解析】由题意结合函数的解析式可得，
，
，
则 ，容易判断 大于零，所以 ．
9. 【答案】B
【解析】因为 ，
所以 ．
10. 【答案】A
11. 【答案】D
【解析】 到 的降雨强度为 ；
到 的降雨强度为 ；
到 的降雨强度为 ；
到 的降雨强度为 ．
因为 ，
所以四个时段中 到 的降雨强度最小．
故选：D．
12. 【答案】B
【解析】如图所示，
是函数 的图象在 （即点 ）处切线的斜率 ， 是函数 的图象在 （即点 ）处切线的斜率 ， 是割线 的斜率．
由图象知 ，即 ．
故选B．
13. 【答案】A
【解析】在刹车过程中，汽车速度呈下降趋势，排除选项C，D；
由于是紧急刹车，所以汽车开始时速度下降非常快，图象较陡，排除选项B．
二、填空题（共5题）
14. 【答案】
【解析】因为 ，所以 ，故答案为：．
15. 【答案】
【解析】由题图可知 ，，
所以 ，
所以在从 到 这段时间内，乙的平均速度大．
16. 【答案】 ；
17. 【答案】
【解析】因为 ，
所以 ，
，
所以 ，故答案为 ．
18. 【答案】 或
【解析】曲线 与 轴交点的坐标为 ，，
易知函数 在 处的导数
所以 ，，
所以所求切线方程为 或 ，即 或 ．
三、解答题（共4题）
19. 【答案】
(1) 由题意得，割线 的斜率为
由 ，得 ，
又因为 ，所以 的取值范围是 ．
(2) 由（）知函数 的图象在点 处切线的斜率为 ，
又 ，
所以切线的方程为 ，
即 ．
20. 【答案】
则 ，因此 ．
设过点 的直线与曲线 相切于点 ，
根据导数的几何意义知曲线在点 处的切线的斜率为
过点 和点 的切线的斜率
由① ②得 ，解得 或 ，
所以 或 ，因此过点 且与曲线 相切的直线有两条，方程分别为 和 ，即 和 ．
21. 【答案】
(1) 将 代入曲线 的方程得 ，
所以切点为 ．
所以 ．
所以曲线在点 处的切线方程为 ，即 ．
由 解得 或
因此切线与曲线 的公共点除了切点外，还有另一公共点 ．
(2) 设切点为 ，由（）可知 ，则切线方程为 ，
因为点 在该切线上，将 代入，整理得 ，解得 或 ．
①当 时，切点坐标为 ，相应的切线方程为 ．
②当 时，切点坐标为 ，相应的切线方程为 ，即 ．
22. 【答案】
(1) 因为 ，
所以直线 的方程为 ，即 ．
设直线 过曲线 上的点 ，则 ，
所以直线 的方程为 ，即 ．
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以直线 的方程为 ．
(2) 由 得 即直线 与 的交点坐标为 ．
又 ， 与 轴的交点坐标分别为 ，，
所以所求三角形的面积 ．
