专题02全等三角形常见七大必考模型专训
【模型目录】
模型一 平移模型
模型二 轴对称模型
模型三 旋转模型
模型四 一线三等角模型
模型五 垂直模型
模型六 手拉手模型
模型七 半角模型
【经典模型一 平移模型】
【模型解读】把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形，图①，图②是常见的平移型全等三角线．
【常见模型】
【例1】（2023春·全国·八年级期中）如图所示的是重叠的两个直角三角形，将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到△DEF．若cm，cm，cm，则图中阴影部分面积为（ ）
A．47cm2 B．48 cm2 C．49 cm2 D．50 cm2
【变式训练】
1．（2021春·陕西咸阳·八年级统考期末）如图，将沿方向平移得到，使点的对应点恰好落在边的中点上，点的对应点在的延长线上，连接，、交于点．下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．、互相平分
2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，点，，，在一条直线上，若将的边沿方向平移，平移过程中始终满足下列条件：，于点，于点，且．则当点，不重合时，与的关系是______．
3．（2023秋·山东聊城·八年级校考期末）如图（1），，，点C是上一点，且，．
(1)试判断与的位置关系，并说明理由．
(2)如图（2），若把沿直线向左平移，使的顶点C与B重合，此时第（1）问中与的位置关系还成立吗？说明理由．（注意字母的变化）．
【经典模型二 轴对称模型】
【模型解读】将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等．
【常见模型】
【例2】（2023秋·八年级单元测试）如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式训练】
1．（2022秋·安徽滁州·八年级校考阶段练习）如图，已知，与交于点，，分别与，交于点，，连接，则下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023秋·八年级课时练习）在①，②，③这三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．
问题：如图，在中，，点在边上，点在边上，连接，，与相交于点．若________________，求证：．
3．（2023春·广东佛山·七年级校联考阶段练习）如图所示，、分别为，的角平分线，两线交于点．
(1)若，，则______；
(2)若，则______；
(3)若，用表示的，写出详细的步骤（不用写理论依据）；
(4)，，，三条线段之间有怎样的数量关系？写出结果，并说明理由（不用写理论依据）．
【经典模型三 旋转模型】
【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件．
【常见模型】
【例3】（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（ ）
A．36 B．21 C．30 D．22
【变式训练】
1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转90°后，得到，连接．以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．②④ B．①④ C．②③ D．①③
2．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，五边形中，，则这个五边形的面积等于__________．
3．（2023·全国·九年级专题练习）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如：如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．易证得．大致证明思路：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得、、三点共线，，进而可证明，故．
任务：
如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
【经典模型四 一线三等角模型】
【模型解读】基本图形如下：此类图形通常告诉BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B＝∠CAE．
【常见模型】
【例4】（2023·江苏·八年级假期作业）如图，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，则BD等于（ ）
A．6cm B．8cm C．10cm D．4cm
【变式训练】
1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（ ）
A．3 B．2 C． D．
2．（2023·江苏·八年级假期作业）如图所示，中，．直线l经过点A，过点B作于点E，过点C作于点F．若，则__________．
3．（2023·江苏·八年级假期作业）如图1，，垂足分别为D，E．
(1)若，求的长．
(2)在其它条件不变的前提下，将所在直线变换到的外部（如图2），请你猜想三者之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)如图3，将（1）中的条件改为：在中，，D，C，E三点在同一条直线上，并且有，其中α为任意钝角，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【经典模型五 垂直模型】
【模型解读】模型主体为两个直角三角形，且两条斜边互相垂直．
【常见模型】
【例5】（2023春·全国·七年级专题练习）在中，，，直线MN经过点C，且于D点，于E点．
（1）当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：；
（2）当直线MN绕点C旋转到图②、图③的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．
【变式训练】
1．（2021秋·四川广安·八年级统考期末）在中，，过点C作直线，过点A作于点M，过点B作于点N．
（1）如图1，当直线在外时，证明：．
（2）如图2，当直线经过内部时，其他条件不变，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由．
2．（2020秋·天津河东·八年级校考期中）如图，已知：中，，，分别过B，C向经过点A的直线EF作垂线，垂足为E，F．
（1）当EF与斜边BC不相交时，请证明如图；
（2）如图2，当EF与斜边BC这样相交时，其他条件不变，证明：；
3．（2022秋·内蒙古·八年级校考阶段练习）已知：如图，，，，，点是线段上一动点，点是直线上一动点，且始终保持．
（1）证明：；
（2）若点在线段上满足时，求的长？
（3）在线段的延长线上，是否存在点，使得，若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由．
【经典模型六 手拉手模型】
【模型分析】
将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等．
【模型图示】
公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”．对应操作：左手拉左手（即连结BD），右手拉右手（即连结CE），得．
【常见模型】
（等腰）
（等边）
（等腰直角）
【例6】（2023·江苏·八年级假期作业）已知在中，，过点B引一条射线，D是上一点
【问题解决】
(1)如图1，若，射线在内部，，求证：，小明同学展示的做法是：在上取一点E使得，通过已知的条件，从而求得的度数，请你帮助小明写出证明过程；
【类比探究】
(2)如图2，已知．
①当射线在内，求的度数
②当射线在下方，如图3所示，请问的度数会变化吗 若不变，请说明理由，若改变，请求出的度数；
【变式训练】
1．（2023春·广东汕头·九年级汕头市龙湖实验中学校考开学考试）如图，D为内一点，，，将绕着点A顺时针旋转能与线段重合．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
2．（2022秋·河北保定·八年级校考期中）在中，，点D是直线上一点，连接，以为边向右作，使得，，连接CE．
(1)①如图1，求证：；
②当点D在边上时，请直接写出，，的面积（，，）所满足的关系；
(2)当点D在的延长线上时，试探究，，的面积（，，）所满足的关系，并说明理由．
3．（2022秋·浙江杭州·八年级杭州市公益中学校考阶段练习）在中，且．
(1)如图（1），若分别平分，交于点C、B，连接．请你判断是否相等，并说明理由；
(2)的位置保持不变，将（1）中的绕点A逆时针旋转至图（2）的位置，相交于O，请你判断线段与的位置关系及数量关系，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，若，试求四边形的面积．
【经典模型七 半角模型】
【模型分析】过等腰三角形顶点 两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型．
【常见模型】
常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系．半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论．
【例7】（2023秋·江苏扬州·八年级校考期末）综合与实践
（1）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝45°，则MN，AM，CN的数量关系为 ．
（2）如图2，在四边形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，试探索线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN＝∠ABC，试探究线段MN、AM、CN的数量关系为 ．
【变式训练】
1．（2023春·上海·七年级专题练习）（1）如图1，在四边形ABCD中，，，E、F分别是边BC、CD上的点，且．求证：；
（2）如图2，在四边形ABCD中，，，E、F分别是边BC、CD上的点，且，请直接写出EF、BE、FD之间的数量关系；
（3）如图3，在四边形ABCD中，，，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
2．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）已知：边长为4的正方形ABCD，∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAF＝45°，连接EF．求证：EF＝BE+DF．
思路分析：
(1)如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE'，则F、D、E'在一条直线上，
∠E'AF＝ 度，……
根据定理，可证：△AEF≌△AE'F．
∴EF＝BE+DF．
类比探究：
(2)如图2，当点E在线段CB的延长线上，探究EF、BE、DF之间存在的数量关系，并写出证明过程；
拓展应用：
(3)如图3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求线段BD、DE、EC围成的三角形的面积．
3．（2023春·重庆南岸·八年级重庆市南坪中学校校考阶段练习）（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程）
（2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由．
【重难点训练】
1．（2023春·山东临沂·八年级统考期中）如图，在中，，
(1)求边的长的取值范围？
(2)若是的中线，求取值范围？
2．（2023春·陕西西安·七年级西安市曲江第一中学校考期中）【发现问题】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小华在组内经过合作交流，得到了如下解决方法：延长到点E，使，得到，他用到的判定定理是______（用字母表示）．
【解决问题】
小明发现，解题时，条件中若出现“中点”，“中线”字样，可以考虑构造全等三角形，“问题是数学的心脏”，要学好数学一定要多思考，做到举一反三，于是他又提出了一个新的问题：如图2，在中，点D是的中点，点M在边上，点N在边上，若，求证：．
【拓展应用】
如图3，在中，分别以，为边向外作和，使，，，点M是的中点，连接，，当时，求的长．
3．（2022秋·湖北武汉·八年级校联考期中）规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，，回答下列问题：
(1)求证：和是兄弟三角形．
(2)取的中点P，连接，请证明．
4．（2022秋·湖南邵阳·八年级校考期中）佳佳同学遇到这样一个问题：如图，中，，，是中线，求的取值范围．她的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：
(1)为什么？写出推理过程；
(2)求出的取值范围；
(3)如图，是的中线，在上取一点，连结并延长交于点，若，求证：．
5．（2023·江苏·八年级假期作业）（1）已知如图1，在中，，求边上的中线的取值范围．
（2）思考：已知如图2，是的中线，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明．
6．（2023·江苏·八年级假期作业）在中，，．将一个含45°角的直角三角尺按图所示放置，使直角三角尺的直角顶点D恰好落在边的中点处．将直角三角尺绕点D旋转，设交于点N，交于点M，示意图如图所示．
(1)【证明推断】求证：；小明给出的思路：若要证明，只需证明即可．请你根据小明的思路完成证明过程；
(2)【延伸发现】连接，，如图所示，求证：；
(3)【迁移应用】延长交于点P，交于点Q．在图中完成如上作图过程，猜想并证明和的位置关系．
7．（2022秋·湖北咸宁·八年级校考阶段练习）如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°．MN是经过点A的直线，BD⊥MN于D，CE⊥MN于E．
（1）求证：BD=AE．
（2）若将MN绕点A旋转，使MN与BC相交于点G（如图2），其他条件不变，求证：BD=AE．
（3）在（2）的情况下，若CE的延长线过AB的中点F（如图3），连接GF，求证：∠1=∠2．
8．（2021春·四川达州·七年级统考期末）【问题】在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图1中线段BE、EF、FD之间的数量关系．
(1)【探索】有同学认为：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，则可得到BE、EF、FD之间的数量关系是 ．
(2)【延伸】在四边形ABCD中如图2，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立？说明理由．
(3)【构造运用】如图3，在某次搜救行动中，甲艇在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，乙艇在O点的南偏东70°的B处，且AO＝BO，接到行动指令后，甲艇向正东方向以60海里/小时的速度前进，乙艇沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，甲、乙两艇分别到达E，F处，∠EOF＝70°，试求此时甲、乙两艇之间的距离．
9．（2021秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考开学考试）如图，已知中，，，分别过、向过的直线作垂线，垂足分别为．
（1）如图1，过的直线与斜边不相交时，直接写出线段、、的数量关系是______；
（2）如图2，过的直线与斜边相交时，探究线段、、的数量关系并加以证明；
（3）在（2）的条件下，如图3，直线交于点，延长交于点，连接、、，若，，，四边形的面积是90，求的面积．
10．（2022秋·江苏·八年级专题练习）已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E、F．
（1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），试猜想AE，CF，EF之间存在怎样的数量关系？请将三条线段分别填入后面横线中： ＋ ＝ ．（不需证明）
（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF（如图2）时，上述（1）中结论是否成立？请说明理由．
（3）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF（如图3）时，上述（1）中结论是否成立？若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．
11．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，为等腰直角三角形，，．
(1)求证：；
(2)求证：
12．（2022秋·山东德州·八年级校考期中）（1）【问题发现】如图1，△ABC与△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三点在同一直线上，AB＝3，ED＝4，则BE＝_____．
（2）【问题提出】如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面积．
（3）【问题解决】如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD面积为12且CD的长为6，求△BCD的面积．
13．（2022秋·黑龙江牡丹江·九年级统考期末）平面内有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直线MN．过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．当点E与点A重合时（如图1），易证：AF+BF＝2CE．
(1)当三角板绕点A顺时针旋转至图2的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．
(2)当三角板绕点A顺时针旋转至图3的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．
14．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，已知：在中，，，直线经过点，，．
（1）当直线绕点旋转到图（1）的位置时，求证：；
（2）当直线绕点旋转到图（2）的位置时，求证：；
（3）当直线绕点旋转到图（3）的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系：____________．
15．（2021秋·湖南株洲·八年级校联考期末）在△ABC中，，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E
（1）当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE
（2）当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，试问：DE、AD、BE有怎样的等量关系？
（3）当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问：DE、AD、BE有怎样的等量关系？
16．（2023春·全国·七年级专题练习）问题1：在数学课本中我们研究过这样一道题目：如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥MN，AD⊥MN，垂足分别为E、D．图中哪条线段与AD相等？并说明理由．
问题2：试问在这种情况下线段DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出来，不需要说明理由．
问题3：当直线CE绕点C旋转到图2中直线MN的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并说明理由．
17．（2023秋·湖北武汉·八年级校考期末）问题提出，如图（1），在和中，，，，点E在内部，直线与交于点F，线段之间存在怎样的数量关系？
问题探究
(1)先将问题特殊化.如图（2），当点D，F重合时，直接写出一个等式，表示之间的数量关系；
(2)再探究一般情形.如图（1），当点D，F不重合时，证明（1）中的结论仍然成立.
问题拓展
(3)如图（3），在和中，，，，点E在内部，直线与交于点F，直线与交于点G，点H为线段上一点，，与交于点I，若，，则___________（用含m，n的式子表示）
18．（2022秋·河南南阳·八年级校联考阶段练习）问题情境：
(1)如图，，平分，把三角尺的直角顶点落在的任意一点上，并使三角尺的两条直角边分别与、相交于点、，过点作于点，作于点，请写出与的数量关系___________；
变式拓展：
(2)如图2，已知平分，是上一点，过点作于，于，边与边相交于点，边与射线的反向延长线相交于点，．试解决下列问题：
①与之间的数量关系还成立吗？为什么？
②若，试判断、、三条线段之间的数量关系，并说明理由．
专题02全等三角形常见七大必考模型专训
【模型目录】
模型一 平移模型
模型二 轴对称模型
模型三 旋转模型
模型四 一线三等角模型
模型五 垂直模型
模型六 手拉手模型
模型七 半角模型
【经典模型一 平移模型】
【模型解读】把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形，图①，图②是常见的平移型全等三角线．
【常见模型】
【例1】（2023春·全国·八年级期中）如图所示的是重叠的两个直角三角形，将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到△DEF．若cm，cm，cm，则图中阴影部分面积为（ ）
A．47cm2 B．48 cm2 C．49 cm2 D．50 cm2
【答案】B
【分析】先根据平移的性质得到cm，≌，则，cm，求出，然后根据梯形的面积公式计算即可．
【详解】解：沿方向平移得到，
cm，≌，
，（cm），
∴，
（cm2），故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行或共线且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
【变式训练】
1．（2021春·陕西咸阳·八年级统考期末）如图，将沿方向平移得到，使点的对应点恰好落在边的中点上，点的对应点在的延长线上，连接，、交于点．下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．、互相平分
【答案】D
【分析】根据平移的性质得到∠B=∠DEF，BE=CF=CE=AD，AD∥BC，DF=AC，由于只有当∠BAC=90°时，AC⊥DE；只有当BC=2AC时，DF=AC=BE，则可对A、B、C选项的进行判断；AC交DE于O点，如图，证明△AOD≌△COE得到OD=OE，OA=OC，则可对D选项进行判断．
【详解】解：∵△ABC沿BC方向平移得到△DEF，使点B的对应点E恰好落在边BC的中点上，
∴∠B=∠DEF，BE=CF=CE=AD，AD∥BC，DF=AC，
只有当∠BAC=90°时，AC⊥DE；
只有当BC=2AC时，DF=AC=BE，所以A、B、C选项的结论不一定正确；
∵AD∥BC，
∴∠OAD=∠OCE，∠ODA=∠OEC，
而AD=CE，
∴△AOD≌△COE（ASA），
∴OD=OE，OA=OC
即AC、 DE互相平分，所以D选项的结论正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．
2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，点，，，在一条直线上，若将的边沿方向平移，平移过程中始终满足下列条件：，于点，于点，且．则当点，不重合时，与的关系是______．
【答案】BD与EF互相平分
【分析】先根据DE⊥AC，B F⊥AC，AE=CF，求证△ABF≌△CDE，再求证△DEG≌△BFG，即可．
【详解】∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AFB=∠CED=90°
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
即AF=CE，
在Rt△ABF和Rt△CDE中， ，
∴Rt△ABF≌Rt△CED（HL），
∴ED=BF．
设EF与BD交于点G，
由∠AFB=∠CED=90°得DE∥BF，
∴∠EDG=∠GBF，
∵∠EGD=∠FGB，ED=BF，
∴△DEG≌△BFG，
∴EG=FG，DG=BG，
∴BD与EF互相平分．
【点睛】此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质的理解和掌握，此题难度并不大，但是需要证明多次全等，步骤繁琐，是一道综合性较强的中档题．
3．（2023秋·山东聊城·八年级校考期末）如图（1），，，点C是上一点，且，．
(1)试判断与的位置关系，并说明理由．
(2)如图（2），若把沿直线向左平移，使的顶点C与B重合，此时第（1）问中与的位置关系还成立吗？说明理由．（注意字母的变化）．
【答案】(1)，理由见解析
(2)成立，理由见解析
【分析】（1）根据条件证明就得出，就可以得出；
（2）根据可以得出，从而得出结论．
【详解】（1）解：，理由如下，
理由：∵，，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，平移的性质的运用，垂直的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
【经典模型二 轴对称模型】
【模型解读】将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等．
【常见模型】
【例2】（2023秋·八年级单元测试）如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【详解】根据全等三角形的判定方法，逐一判断即可解答．
【分析】解：①，，，
和不一定全等，
故①不符合题意；
②，，，
，
故②符合题意；
③，
，
，
，，
，
故③符合题意；
④，，，
，
故④符合题意；
所以，增加上列条件，其中能使的条件有3个，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·安徽滁州·八年级校考阶段练习）如图，已知，与交于点，，分别与，交于点，，连接，则下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先证明，推出，则，可判断选项A、C；再证明，推出，则，利用证明，即可判断选项D，没有理由证明．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，则，故选项A、C正确；
∵，
∴，
∴，则，
∴，
∴，故选项D正确；
∴与不一定相等，故选项B不正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活利用全等三角形的判定是解题的关键．
2．（2023秋·八年级课时练习）在①，②，③这三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．
问题：如图，在中，，点在边上，点在边上，连接，，与相交于点．若________________，求证：．
【答案】见解析
【分析】根据全等三角形的判定条件进行证明即可．
【详解】解：选择条件①的证明：
在和中，
，
，
；
选择条件②的证明：
在和中，
，
，
；
选择条件③的证明：连接，
，
在和，
，
，
，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
3．（2023春·广东佛山·七年级校联考阶段练习）如图所示，、分别为，的角平分线，两线交于点．
(1)若，，则______；
(2)若，则______；
(3)若，用表示的，写出详细的步骤（不用写理论依据）；
(4)，，，三条线段之间有怎样的数量关系？写出结果，并说明理由（不用写理论依据）．
【答案】(1)130
(2)125
(3)，步骤见解析
(4)，理由见解析
【分析】（1）先根据角平分线的定义得出与的度数，再根据三角形内角和定理即可得出结论；
（2）先根据求出的度数，再由角平分线的定义得出的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论；
（3）根据求出的度数，再由角平分线的定义得出的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论；
（4）在边上截取，连接，只要证明，可得即可证明．
【详解】（1）∵分别为角平分线，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∵分别为角平分线，
∴，
∴；
故答案为：；
（3）∵、分别为，的角平分线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（4）.理由如下：
在边上截取，连接，
由（3）的结论得，
∴，
在与中，
，
∴；
∴，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，
∴；
∴，
∴．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，第（1）至（2）有具体的数，不要求学生书写步骤，可以多角度下手解决问题，第（3）问思维的迁移，从（1）（2）特殊到第（3）的一般化，字母具有代表性；第（4）问梯度增加上升难度，在寻找全等三角形全等的条件，需要添加辅助线，属于中考常考题型．
【经典模型三 旋转模型】
【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件．
【常见模型】
【例3】（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（ ）
A．36 B．21 C．30 D．22
【答案】B
【分析】将关于对称得到，从而可得的面积为15，再根据对称的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，从而可得，最后根据与的面积之和等于与的面积之和即可得．
【详解】解：如图，将关于AE对称得到，
则，，
，
，
，
在和中，，
，
，
，即是直角三角形，
，
，
即与的面积之和为21，
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键．
【变式训练】
1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转90°后，得到，连接．以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．②④ B．①④ C．②③ D．①③
【答案】D
【分析】根据旋转变换的性质判断①；根据全等三角形的判定定理判断②；根据SAS定理判断③；根据全等三角形的性质、三角形的三边关系判断④．
【详解】解：∵△ADC绕点A顺时针旋转90°得△AFB，
∴△ADC≌△AFB，①正确；
∵EA与DA不一定相等，
∴△ABE与△ACD不一定全等，②错误；
∵∠FAD＝90°，∠DAE＝45°，
∴∠FAE＝∠DAE＝45°，
在△AED和△AEF中，
∴△AED≌△AEF，③正确；
∵△ADC≌△AFB，
∴BF＝CD，
∵BE＋BF＞DE
∴BE＋DC＞DE，④错误；
故选：D．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质、旋转变换，掌握全等三角形的判定定理与性质定理、图形旋转的性质等知识是解题的关键．
2．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，五边形中，，则这个五边形的面积等于__________．
【答案】1
【分析】将三角形ABC绕点C顺时针旋转至AB与AE重合，连AC，AD，可得Rt△ABC≌Rt△AEF，△ACD≌△AFD可将五边形ABCDE的面积转化为两个△ADF的面积，进而求出结论．
【详解】解：延长DE至F，使EF=BC，连AC，AD，AF，
由旋转的性质可得Rt△ABC≌Rt△AEF（SAS），
∴AC=AF，，∠B=∠AEF=90°，
∴∠DEF=∠AED+∠AFE=180°，
∴D、E、F三点共线，
又∵AD=AD，
∴△ACD≌△AFD（SSS），
∴，
∵AB=CD=AE=BC+DE，，
∴DF=CD=1，
∵，
∴．
故答案为：1．
【点睛】本题考查全了等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
3．（2023·全国·九年级专题练习）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如：如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．易证得．大致证明思路：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得、、三点共线，，进而可证明，故．
任务：
如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
【答案】成立，见解析
【分析】根据旋转的性质得到，，，，，推出、、三点共线，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：成立．
证明：将绕点顺时针旋转得到，
，，，，，
，
、、三点共线，
，
，
，，
，
，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
【经典模型四 一线三等角模型】
【模型解读】基本图形如下：此类图形通常告诉BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B＝∠CAE．
【常见模型】
【例4】（2023·江苏·八年级假期作业）如图，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，则BD等于（ ）
A．6cm B．8cm C．10cm D．4cm
【答案】B
【分析】根据题意证明即可得出结论．
【详解】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴，
∵∠ACE＝90°，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理以及性质定理是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，推出∠BAD＝∠CDE，根据线段垂直平分线的性质得到AD＝ED，根据全等三角形的性质得到CD＝AB＝9，BD＝CE，即可得到结论．
【详解】解：∵AB＝AC＝9，
∴∠B＝∠C，
∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB，
∴∠BAD＝∠CDE，
∵AE的中垂线交BC于点D，
∴AD＝ED，
在△ABD与△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（AAS），
∴CD＝AB＝9，BD＝CE，
∵CD＝3BD，
∴CE＝BD＝3
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质，属于基础题．
2．（2023·江苏·八年级假期作业）如图所示，中，．直线l经过点A，过点B作于点E，过点C作于点F．若，则__________．
【答案】7
【分析】根据全等三角形来实现相等线段之间的关系，从而进行计算，即可得到答案；
【详解】解：∵BE⊥l，CF⊥l，
∴∠AEB=∠CFA=90°．
∴∠EAB+∠EBA=90°．
又∵∠BAC=90°，
∴∠EAB+∠CAF=90°．
∴∠EBA=∠CAF．
在△AEB和△CFA中
∵∠AEB=∠CFA，∠EBA=∠CAF，AB=AC，
∴△AEB≌△CFA．
∴AE=CF，BE=AF．
∴AE+AF=BE+CF．
∴EF=BE+CF．
∵，
∴；
故答案为：7．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的证明三角形全等．
3．（2023·江苏·八年级假期作业）如图1，，垂足分别为D，E．
(1)若，求的长．
(2)在其它条件不变的前提下，将所在直线变换到的外部（如图2），请你猜想三者之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)如图3，将（1）中的条件改为：在中，，D，C，E三点在同一条直线上，并且有，其中α为任意钝角，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【答案】(1)0.8cm
(2)，证明见解析
(3)结论成立，证明见解析
【分析】（1）（2）（3）方法相同，利用定理证明，根据全等三角形的性质、结合图形解答．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）．
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（3）结论成立，
证明：，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
即结论成立；
【点睛】本题属于三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
【经典模型五 垂直模型】
【模型解读】模型主体为两个直角三角形，且两条斜边互相垂直．
【常见模型】
【例5】（2023春·全国·七年级专题练习）在中，，，直线MN经过点C，且于D点，于E点．
（1）当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：；
（2）当直线MN绕点C旋转到图②、图③的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．
【答案】（1）证明见解析，（2）图②中DE、AD、BE的等量关系是DE＝AD﹣BE，图③中DE、AD、BE的等量关系是DE＝BE﹣AD．
【分析】（1）由已知推出推出∠DAC＝∠BCE，根据AAS证明△ADC≌△CEB即可得到答案；
（2）与（1）证法类似可证出∠ACD＝∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD＝CE，CD＝BE，即可得到线段的关系．
【详解】解：（1）①证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE，
在△ADC和△CEB中
∴△ADC≌△CEB（AAS）．
∴AD＝CE，CD＝BE，
∵DC+CE＝DE，
∴DE＝AD+BE．
（2）图②中DE、AD、BE的等量关系是DE＝AD﹣BE，图③中DE、AD、BE的等量关系是DE＝BE﹣AD．
如图②
∵BE⊥EC，AD⊥CE，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠EBC+∠ECB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ECB+∠ACE＝90°，
∴∠ACD＝∠EBC，
在△ADC和△CEB中，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD＝CE，CD＝BE，
∴DE＝EC﹣CD＝AD﹣BE．
DE＝AD﹣BE，
如图③
∵BE⊥EC，AD⊥CE，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠EBC+∠ECB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ECB+∠ACE＝90°，
∴∠ACD＝∠EBC，
在△ADC和△CEB中，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD＝CE，CD＝BE，
∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质等知识点，能根据已知证出全等三角形是解此题的关键．
【变式训练】
1．（2021秋·四川广安·八年级统考期末）在中，，过点C作直线，过点A作于点M，过点B作于点N．
（1）如图1，当直线在外时，证明：．
（2）如图2，当直线经过内部时，其他条件不变，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2），理由见解析
【分析】（1）根据题目条件可以证明，然后根据全等的性质就可以证得结论；
（2）依然是证明，再根据全等对应边相等即可得出结论；
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
∴，
∴．
∵，
∴．
（2）解：．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
∴，
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，能熟练运用直角三角形的性质，全等三角形的判定是解决本题的关键，本题图形虽然变了，但解题思路不变．
2．（2020秋·天津河东·八年级校考期中）如图，已知：中，，，分别过B，C向经过点A的直线EF作垂线，垂足为E，F．
（1）当EF与斜边BC不相交时，请证明如图；
（2）如图2，当EF与斜边BC这样相交时，其他条件不变，证明：；
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）根据已知条件容易证明△BEA≌△AFC，然后利用对应边相等就可以证明题目的结论；
（2）根据（1）知道△BEA≌△AFC仍然成立，则BE=AF，AE=CF，就可以求出EF=BE-CF．
【详解】解：（1），，
，
，，
，
在和中，
≌，
，，
．
（2），，
，
，，
，
在和中，
≌，
，，
∵，
∴
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用它们解决问题，经常用全等来证线段和的问题．
3．（2022秋·内蒙古·八年级校考阶段练习）已知：如图，，，，，点是线段上一动点，点是直线上一动点，且始终保持．
（1）证明：；
（2）若点在线段上满足时，求的长？
（3）在线段的延长线上，是否存在点，使得，若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）5cm；（3）存在，11cm
【分析】（1）由题意易得，进而可证，，然后问题得证；
（2）由题意可证，则有，然后根据线段的和差关系可求解；
（3）由题意易得，进而可证，当时，，则有，最后根据线段的关系可求解．
【详解】解：（1）∵，，∴，
∵，∴，
∴，，
∴
（2）∵在和中
∴，∴，
∴
（3）存在，理由如下：
∵，，∴，
∵，∴，
∴，，∴；
∵在和中
∴，
∴，
∵，BD=8cm
∴．
【点睛】本题主要考查直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键．
【经典模型六 手拉手模型】
【模型分析】
将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等．
【模型图示】
公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”．对应操作：左手拉左手（即连结BD），右手拉右手（即连结CE），得．
【常见模型】
（等腰）
（等边）
（等腰直角）
【例6】（2023·江苏·八年级假期作业）已知在中，，过点B引一条射线，D是上一点
【问题解决】
(1)如图1，若，射线在内部，，求证：，小明同学展示的做法是：在上取一点E使得，通过已知的条件，从而求得的度数，请你帮助小明写出证明过程；
【类比探究】
(2)如图2，已知．
①当射线在内，求的度数
②当射线在下方，如图3所示，请问的度数会变化吗 若不变，请说明理由，若改变，请求出的度数；
【答案】(1)见解析
(2)①②；的度数会变化，理由见解析
【分析】（1）根据等边三角形的判定定理得到、是等边三角形，进而得到，根据证明，根据全等三角形的性质得到，得到答案；
（2）①在上取一点E，，证明，得到，可求出答案；
②在延长线上取一点E，使得，同理证明，求出，进而求出．
【详解】（1）证明：如图1，在上取一点E，使，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，即，
∵在和中，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：①在上取一点E，，如图所示：
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵在和中，
∴，
∴，
∴；
②的度数会变化，理由如下：
在延长线上取一点E，使得，如图所示：
同理①的方法可证：，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，正确作出辅助线，构造全等三角形进行计算和证明是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·广东汕头·九年级汕头市龙湖实验中学校考开学考试）如图，D为内一点，，，将绕着点A顺时针旋转能与线段重合．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据将绕着点A顺时针旋转能与线段重合，得，，通过证明，即可证出；
（2）由得：，再根据，，得，即可求出答案．
【详解】（1）证明：∵将绕着点A顺时针旋转能与线段重合，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：由得：，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形是性质、三角形全等的判定与性质等知识，证明出是解题的关键．
2．（2022秋·河北保定·八年级校考期中）在中，，点D是直线上一点，连接，以为边向右作，使得，，连接CE．
(1)①如图1，求证：；
②当点D在边上时，请直接写出，，的面积（，，）所满足的关系；
(2)当点D在的延长线上时，试探究，，的面积（，，）所满足的关系，并说明理由．
【答案】(1)①证明见解析；②，理由见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）①先证明，再利用证即可；②利用全等三角形的性质得到，再由即可得到结论；
（2）由已知条件可得证出，，推出，再由，即可得到．
【详解】（1）证明：①∵，
∴，即．
在和中，
。
∴．
②，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，即．
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的判定定理以及性质是解题的关键．
3．（2022秋·浙江杭州·八年级杭州市公益中学校考阶段练习）在中，且．
(1)如图（1），若分别平分，交于点C、B，连接．请你判断是否相等，并说明理由；
(2)的位置保持不变，将（1）中的绕点A逆时针旋转至图（2）的位置，相交于O，请你判断线段与的位置关系及数量关系，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，若，试求四边形的面积．
【答案】(1)，理由见解析
(2)，，理由见解析
(3)32
【分析】（1）根据角平分线的定义求出，然后利用“角边角”证明与全等，根据全等三角形对应边相等即可证明；
（2）先根据证明，然后利用“边角边”证明和全等，再根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，然后证明，再根据三角形内角和定理可得，从而证明；
（3）把四边形的面积分成与两个三角形，然后根据三角形的面积公式列式整理为四边形的面积等于，再代入数据进行计算即可得解．
【详解】（1）解：．
理由如下：∵分别平分，
∴，，
∵，
∴ ，
在和中，
∵，
∴，
∴；
（2）解：，．理由如下：
∵，
∴，
即，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：
∵，
∴四边形的面积．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，以及旋转变换的性质，准确识图，找出三角形全等的条件是解题的关键．
【经典模型七 半角模型】
【模型分析】过等腰三角形顶点 两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型．
【常见模型】
常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系．半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论．
【例7】（2023秋·江苏扬州·八年级校考期末）综合与实践
（1）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝45°，则MN，AM，CN的数量关系为 ．
（2）如图2，在四边形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，试探索线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN＝∠ABC，试探究线段MN、AM、CN的数量关系为 ．
【答案】（1）MN=AM+CN；（2）MN=AM+CN，理由见解析；（3）MN=CN-AM，理由见解析
【分析】（1）把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，可得到点M'、C、N三点共线，再由∠MBN=45°，可得∠M'BN=∠MBN，从而证得△NBM≌△NBM'，即可求解；
（2）把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，由∠A+∠C＝180°，可得点M'、C、N三点共线，再由∠MBN＝∠ABC，可得到∠M'BN=∠MBN，从而证得△NBM≌△NBM'，即可求解；
（3）在NC上截取C M'=AM，连接B M'，由∠ABC+∠ADC＝180°，可得∠BAM=∠C，再由AB＝BC，可证得△ABM≌△CB M'，从而得到AM=C M'，BM=B M'，∠ABM=∠CB M'，进而得到∠MA M'=∠ABC，再由∠MBN＝∠ABC，可得∠MBN＝∠M'BN，从而得到△NBM≌△NBM'，即可求解．
【详解】解：（1）如图，把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，
在正方形ABCD中，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，AB=BC ，
∴∠BCM'+∠BCD=180°，
∴点M'、C、N三点共线，
∵∠MBN=45°，
∴∠ABM+∠CBN=45°，
∴∠M'BN=∠M'BC+∠CBN=∠ABM+∠CBN=45°，
即∠M'BN=∠MBN，
∵BN=BN，
∴△NBM≌△NBM'，
∴MN= M'N，
∵M'N= M'C+CN，
∴MN= M'C+CN=AM+CN；
（2）MN=AM+CN；理由如下：
如图，把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，
∵∠A+∠C＝180°，
∴∠BCM'+∠BCD=180°，
∴点M'、C、N三点共线，
∵∠MBN＝∠ABC，
∴∠ABM+∠CBN=∠ABC＝∠MBN，
∴∠CBN+∠M'BC =∠MBN，即∠M'BN=∠MBN，
∵BN=BN，
∴△NBM≌△NBM'，
∴MN= M'N，
∵M'N= M'C+CN，
∴MN= M'C+CN=AM+CN；
（3）MN=CN-AM，理由如下：
如图，在NC上截取C M'=AM，连接B M'，
∵在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠C+∠BAD=180°，
∵∠BAM+∠BAD=180°，
∴∠BAM=∠C，
∵AB＝BC，
∴△ABM≌△CB M'，
∴AM=C M'，BM=B M'，∠ABM=∠CB M'，
∴∠MA M'=∠ABC，
∵∠MBN＝∠ABC，
∴∠MBN＝∠MA M'=∠M'BN，
∵BN=BN，
∴△NBM≌△NBM'，
∴MN= M'N，
∵M'N=CN-C M'，
∴MN=CN-AM．
故答案是：MN=CN-AM．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，图形的旋转，根据题意做适当辅助线，得到全等三角形是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·上海·七年级专题练习）（1）如图1，在四边形ABCD中，，，E、F分别是边BC、CD上的点，且．求证：；
（2）如图2，在四边形ABCD中，，，E、F分别是边BC、CD上的点，且，请直接写出EF、BE、FD之间的数量关系；
（3）如图3，在四边形ABCD中，，，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析；（2）EF=BE+FD；（3）不成立，理由见解析．
【分析】（1）可通过构建全等三角形实现线段间的转换，延长EB到G，使BG=DF，连接AG，目的就是要证明三角形AGE和三角形AEF全等，将EF转换为GE，证得EF=BE+DF，
（2）思路和辅助线方法与（1）一样，证明三角形ABG和三角形ADF全等，
（3）在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG，用（1）中方法，可证得DF=BG，GE=EF，则EF=GE=BE-BG=BE-DF
【详解】解：（1）如图，延长EB到G，使BG=DF，连接AG，
在与中，
；
（2）（1）中结论EF=BE+FD仍成立，理由如下，
证明：如图，延长CB到M，使BM=DF，
在与中
即
在与中
即
；
（3）结论EF=BE+FD不成立，理由如下，
证明：在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG，
在与中
．
【点睛】本题考查四边形综合题，三角形全等的判定与性质，本题中通过全等三角形来实现线段的转换是解题关键，没有明确全等三角形时，要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联全等三角形．
2．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）已知：边长为4的正方形ABCD，∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAF＝45°，连接EF．求证：EF＝BE+DF．
思路分析：
(1)如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE'，则F、D、E'在一条直线上，
∠E'AF＝ 度，……
根据定理，可证：△AEF≌△AE'F．
∴EF＝BE+DF．
类比探究：
(2)如图2，当点E在线段CB的延长线上，探究EF、BE、DF之间存在的数量关系，并写出证明过程；
拓展应用：
(3)如图3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求线段BD、DE、EC围成的三角形的面积．
【答案】(1)45
(2)DF＝BE+EF，证明见解析
(3)2
【分析】（1）把绕点逆时针旋转至，则、、在一条直线上，，再证△，得，进而得出结论；
（2）将绕点逆时针旋转得到，由旋转的性质得，再证△，得，进而得出结论；
（3）将绕点逆时针旋转得到，连接，则，得，因此，同（2）得△，则，，得、、围成的三角形面积，即可求解．
【详解】（1）解：如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至，
则F、D、在一条直线上，≌△ABE，
∴＝BE，∠＝∠BAE，＝AE，
∴∠＝∠EAD+∠＝∠EAD+∠BAE＝∠BAD＝90°，
则∠＝∠﹣∠EAF＝45°，
∴∠EAF＝∠，
∴△AEF≌△（SAS），
∴，
∵，
∴EF＝BE+DF．
故答案为：45；
（2）解：DF＝BE+EF 理由如下：
将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△，
∴△≌△ABE，
∴AE＝，BE＝，∠＝∠BAE，
∴∠＝∠BAE+∠＝∠+∠＝∠BAD＝90°，
则∠＝∠﹣∠EAF＝45°，
∴∠＝∠EAF＝45°，
在△AEF和△中，
，
∴△AEF≌△（SAS），
∴，
∵，
∴DF＝BE+EF；
（3）解：将△ABD绕点A逆时针旋转得到△，连接，
则△≌△ABD，
∴CD'＝BD，
∴，
同（2）得：△ADE≌△（SAS），
∴，，
∴BD、DE、EC围成的三角形面积为、、EC围成的三角形面积．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、正方形的性质以及四边形和三角形面积等知识，本题综合性强，解此题的关键是根据旋转的启发正确作出辅助线得出全等三角形，属于中考常考题型．
3．（2023春·重庆南岸·八年级重庆市南坪中学校校考阶段练习）（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程）
（2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由．
【答案】（1）；（2）．理由见解析．
【分析】（1）线段、、之间的数量关系是．如图，延长至，使，连接，利用全等三角形的性质解决问题即可．
（2）结论：．如图中，在上截取，连接，证明，推出，，再证明，可得结论．
【详解】（1）解：线段、、之间的数量关系是．
如图，延长至，使，连接，
∵，，即：，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：．
（2）结论：．
理由：在上截取，连接，
∵，，
∴，
在与中，，
∴，
∴，，则，
∴
∵，，
∴，
在与中，，
∴，
∴，
即，
即，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
【重难点训练】
1．（2023春·山东临沂·八年级统考期中）如图，在中，，
(1)求边的长的取值范围？
(2)若是的中线，求取值范围？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角形三边的关系求解即可；
（2）延长至E，使，连接，证明，得到，由三角形三边关系得到，则．
【详解】（1）解：由三角形的三边关系可知：，
∵，
∴；
（2）解：延长至E，使，连接，
在中，∵，
∴，
∴，
由三角形的三边关系：，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形三边的关系，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
2．（2023春·陕西西安·七年级西安市曲江第一中学校考期中）【发现问题】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小华在组内经过合作交流，得到了如下解决方法：延长到点E，使，得到，他用到的判定定理是______（用字母表示）．
【解决问题】
小明发现，解题时，条件中若出现“中点”，“中线”字样，可以考虑构造全等三角形，“问题是数学的心脏”，要学好数学一定要多思考，做到举一反三，于是他又提出了一个新的问题：如图2，在中，点D是的中点，点M在边上，点N在边上，若，求证：．
【拓展应用】
如图3，在中，分别以，为边向外作和，使，，，点M是的中点，连接，，当时，求的长．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【分析】[发现问题]
延长到，使得，连接，先判断出，由可证，据此即可解答；
[解决问题]
延长到，使，连接，，首先根据全等三角形的判定和性质，可得，再根据线段垂直平分线的性质，可得，最后根据三角形三边的关系，即可证得；
[拓展应用]
延长到，使得，连接，同上的方法得出，则，进而判断出，进而判断出，得出，即可求解．
【详解】解：[发现问题]如图1，延长到E，使得，连接，
是的中线，
，
在和中，
，
，
故答案为：；
[解决问题]
延长到，使，连接，，如图，
∵AD是BC中点，
∴BD=DC，
∵在和中
∴，
∵，
∴
在中，
∴
[拓展应用]
如图2，延长到，使得，连接，
由(1)知，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线法，构造全等三角形是解本题的关键．
3．（2022秋·湖北武汉·八年级校联考期中）规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，，回答下列问题：
(1)求证：和是兄弟三角形．
(2)取的中点P，连接，请证明．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据，，即可证明；
（2）延长至E，使，先证，推出，，进而推出，再证，即可推出，由此可证．
【详解】（1）证明：，
，
又，，
和是兄弟三角形．
（2）证明：延长至E，使，
P为的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
又，
，
，，
，
在和中，
，
，
又，
．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形．
4．（2022秋·湖南邵阳·八年级校考期中）佳佳同学遇到这样一个问题：如图，中，，，是中线，求的取值范围．她的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：
(1)为什么？写出推理过程；
(2)求出的取值范围；
(3)如图，是的中线，在上取一点，连结并延长交于点，若，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）由“”可证；
（2）由全等三角形的性质可得，由三角形的三边关系可求解；
（3）延长至，使，连接，由“”可证，可得，，由等腰三角形的性质可得，可得．
【详解】（1）解：∵是中线，
∴，
延长到，使，且，
∴．
（2）解：由（1）可知，，，
在中，，，
∴，即，
∴．
（3）证明：如图，延长至，使，连接，
∵是的中线，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，中线的性质，等腰三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
5．（2023·江苏·八年级假期作业）（1）已知如图1，在中，，求边上的中线的取值范围．
（2）思考：已知如图2，是的中线，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明．
【答案】（1）；（2）且
【分析】（1）用倍长中线模型，构造全等三角形，即可求出中线的取值范围；
（2）用倍长中线模型，通过证明三角形的全等，可求出线段与的数量和位置关系．
【详解】解：（1）如下图，延长，使得，则，
∵D是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，可得：，
即，
∵，
∴，
∴，
∴边上的中线的取值范围为：；
（2）且，证明如下：
如下图，延长，使得，延长与交于点H，
由（1）可易证，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
综上所述，且．
【点睛】本题考查三角形中线的定义、三角形全等的判定和性质，用倍长中线模型添加辅助线是解本题的关键，综合性较强，难度较大．
6．（2023·江苏·八年级假期作业）在中，，．将一个含45°角的直角三角尺按图所示放置，使直角三角尺的直角顶点D恰好落在边的中点处．将直角三角尺绕点D旋转，设交于点N，交于点M，示意图如图所示．
(1)【证明推断】求证：；小明给出的思路：若要证明，只需证明即可．请你根据小明的思路完成证明过程；
(2)【延伸发现】连接，，如图所示，求证：；
(3)【迁移应用】延长交于点P，交于点Q．在图中完成如上作图过程，猜想并证明和的位置关系．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)，见解析
【分析】（1）在中，根据点D是的中点，得出，由，是直角三角尺，得出，从而得到，在和中，立即证明全等，由性质即可解答；
（2）根据，得出，，，从而得到，由于是含45°直角三角尺，推出，利用即可证明和全等，从而求解；
（3）猜想：，理由：根据和，得出，又根据，等量代换得到从而证明．
【详解】（1）证明：在中，∵，，
∴，
又∵点D是的中点，
∴，且，
∴，
又∵是直角三角尺，
∴，即，
∴
在和中
∴，
∴；
（2）证明：∵
∴，，
∴，且由于是含45°直角三角尺，
∴，
∴
即
在和中
∴，
∴；
（3）解：作图正确（如图所示）
猜想：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴
又∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质、直角三角尺的特征、全等三角形的判定及性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定及性质．
7．（2022秋·湖北咸宁·八年级校考阶段练习）如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°．MN是经过点A的直线，BD⊥MN于D，CE⊥MN于E．
（1）求证：BD=AE．
（2）若将MN绕点A旋转，使MN与BC相交于点G（如图2），其他条件不变，求证：BD=AE．
（3）在（2）的情况下，若CE的延长线过AB的中点F（如图3），连接GF，求证：∠1=∠2．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）根据同角的余角相等，可得，再由，可证得，即可求证；
（2）根据同角的余角相等，可得，再由，可证得，即可求证；
（3）过作交于，可得，再证明，可得，，再证得，得到，即可求证．
【详解】证明：（1）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）过作交于，
∵，
∴，
∵，
∴，
由（2）得：，
∴
∵，
∴，
∴，，
∵的中点，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，根据题意得到全等三角形是解题的关键．
8．（2021春·四川达州·七年级统考期末）【问题】在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图1中线段BE、EF、FD之间的数量关系．
(1)【探索】有同学认为：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，则可得到BE、EF、FD之间的数量关系是 ．
(2)【延伸】在四边形ABCD中如图2，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立？说明理由．
(3)【构造运用】如图3，在某次搜救行动中，甲艇在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，乙艇在O点的南偏东70°的B处，且AO＝BO，接到行动指令后，甲艇向正东方向以60海里/小时的速度前进，乙艇沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，甲、乙两艇分别到达E，F处，∠EOF＝70°，试求此时甲、乙两艇之间的距离．
【答案】(1)【探索】EF＝BE+FD；(2)【延伸】结论仍然成立，证明见解析；(3)【构造运用】210海里
【分析】(1)【探索】根据全等三角形的性质解答即可；
(2)【延伸】延长FD到G，使DG=BE，连接AG，证明△ABE≌△ADG和△AEF≌△AGF，得到答案；
(3)【构造运用】连接EF，延长AE、BF交于点C，得到EF=AE+BF，根据距离、速度和时间的关系计算即可．
【详解】解：(1)【探索】EF=BE+FD，
证明：如图，延长FD到G，使DG=BE，连接AG，
∵∠B=∠ADC=90°，∠ADG=∠ADC=90°，
∴∠B=∠ADG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=60°，∠BAD=120°，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF=60°，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=FG，
∴FG=DG+FD=BE+DF；
故答案为：EF=BE+FD，
(2)【延伸】结论仍然成立，
证明：如图2，延长FD到G，使DG=BE，连接AG，
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADG+∠ADC=180°，
∴∠B=∠ADG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=∠BAD，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=FG，
∴FG=DG+FD=BE+DF；
(3)【构造运用】解：如图3，连接EF，延长AE、BF交于点C，
∵∠AOB=30°+90°+（90°﹣70°）=140°，
∠EOF=70°，
∴∠EOF=∠AOB，
∵OA=OB，
∠OAC+∠OBC=（90°﹣30°）+（70°+50°）=180°，
∴符合探索延伸中的条件
∴结论EF=AE+BF成立，
即EF=1.5×（60+80）=210海里，
答：此时两舰艇之间的距离是210海里．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，注意要正确作出辅助线．
9．（2021秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考开学考试）如图，已知中，，，分别过、向过的直线作垂线，垂足分别为．
（1）如图1，过的直线与斜边不相交时，直接写出线段、、的数量关系是______；
（2）如图2，过的直线与斜边相交时，探究线段、、的数量关系并加以证明；
（3）在（2）的条件下，如图3，直线交于点，延长交于点，连接、、，若，，，四边形的面积是90，求的面积．
【答案】（1）数量关系为：EF=BE+CF；（2）数量关系为：EF=BE-CF．证明见详解；（3）S△GHC=15．
【分析】（1）数量关系为：EF=BE+CF．利用一线三直角得到∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠FAC，再证△EBA≌△FEC（AAS）可得BE=AF，AE=CF即可；
（2）数量关系为：EF=BE-CF．先证∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA+∠EAB=90°，∠EAB+∠FAC= =90°，可得∠EBA=∠FAC，再证△EBA≌△FEC（AAS），可得BE=AF，AE=CF即可；
（3）先由（2）结论EF=BE-CF；，求出BE=AF=12，由，可求FH=2，EH=4，利用对角线垂直的四边形面积可求BG=，再求EG=3，AH= 10，分别求出S△ACF=，S△HCF=，S△AGH=，利用面积差即可求出．
【详解】解：（1）数量关系为：EF=BE+CF．
∵BE⊥EF，CF⊥EF，∠BAC=90°，
∴∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA+∠EAB=90°，∠EAB+∠FAC=180°-∠BAC=90°，
∴∠EBA=∠FAC，
在△EBA和△FEC中，
∵，
∴△EBA≌△FAC（AAS），
∴BE=AF，AE=CF，
∴EF=AF+AE=BE+CF；
（2）数量关系为：EF=BE-CF．
∵BE⊥AF，CF⊥AF，∠BAC=90°，
∴∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA+∠EAB=90°，∠EAB+∠FAC= =90°，
∴∠EBA=∠FAC，
在△EBA和△FEC中，
∵，
∴△EBA≌△FAC（AAS），
∴BE=AF，AE=CF，
∴EF=AF-AE=BE-CF；
（3）∵EF=BE-CF；，
∴BE=AF=EF+CF=6+6=12，
∵，EH+FH=EF=6，
∴2FH+FH= 6，
解得FH=2，
∴EH=2FH=4，
S四边形ABFG==90，
∴BG=，
∴EG=BG-BE=15-12=3，AH=AE+EH=6+4=10，
∵S△ACF=，S△HCF=，S△AGH=，
∴S△GHC=S△ACF-S△HCF-S△AGH=36-6-15=15．
【点睛】本题考查图形变换探究线段和差问题，感知，探究以及应用，三角形全等判定与性质，三角形面积，四边形面积，与三角形高有关的计算，掌握图形变换探究线段和差问题，感知，探究以及应用，三角形全等判定与性质，三角形面积，四边形面积，与三角形高有关的计算是解题关键．
10．（2022秋·江苏·八年级专题练习）已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E、F．
（1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），试猜想AE，CF，EF之间存在怎样的数量关系？请将三条线段分别填入后面横线中： ＋ ＝ ．（不需证明）
（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF（如图2）时，上述（1）中结论是否成立？请说明理由．
（3）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF（如图3）时，上述（1）中结论是否成立？若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．
【答案】（1）AE；CF；EF；（2）成立，见解析；（3）不成立，新的关系为AE＝EF＋CF．
【分析】（1）根据题意易得△ABE≌△CBF，然后根据全等三角形的性质可得∠ABE=∠CBF=30°，进而根据30°角的直角三角形及等边三角形的性质可求解；
（2）如图2，延长FC到H，使CH=AE，连接BH，根据题意可得△BCH≌△BAE，则有BH=BE，∠CBH=∠ABE，进而可证△HBF≌△EBF，推出HF=EF，最后根据线段的等量关系可求解；
（3）如图3，在AE上截取AQ=CF，连接BQ，根据题意易得△BCF≌△BAQ，推出BF=BQ，∠CBF=∠ABQ，进而可证△FBE≌△QBE，推出EF=QE即可．
【详解】解：（1）如图1，AE+CF=EF，理由如下：
∵AB⊥AD，BC⊥CD，
∴∠A=∠C=90°，
∵AB=BC，AE=CF，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴∠ABE=∠CBF，BE=BF，
∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，
∴∠ABE=∠CBF=30°，
∴，
∵∠MBN=60°，BE=BF，
∴△BEF是等边三角形，
∴，
故答案为：AE+CF=EF；
（2）如图2，（1）中结论成立；理由如下：
延长FC到H，使CH=AE，连接BH，
∵AB⊥AD，BC⊥CD，
∴∠A=∠BCH=90°，
∴△BCH≌△BAE（SAS），
∴BH=BE，∠CBH=∠ABE，
∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，
∴∠ABE+∠CBF=120°-60°=60°，
∴∠HBC+∠CBF=60°，
∴∠HBF=∠MBN=60°，
∴∠HBF=∠EBF，
∴△HBF≌△EBF（SAS），
∴HF=EF，
∵HF=HC+CF=AE+CF，
∴EF=AE+CF；
（3）如图3，（1）中的结论不成立，关系为AE=EF+CF，理由如下：
在AE上截取AQ=CF，连接BQ，
∵AB⊥AD，BC⊥CD，
∴∠A=∠BCF=90°，
∵AB=BC，
∴△BCF≌△BAQ（SAS），
∴BF=BQ，∠CBF=∠ABQ，
∵∠MBN=60°=∠CBF+∠CBE，
∴∠CBE+∠ABQ=60°，
∵∠ABC=120°，
∴∠QBE=120°-60°=60°=∠MBN，
∴∠FBE=∠QBE，
∴△FBE≌△QBE（SAS），
∴EF=QE，
∵AE=QE+AQ=EF+CF，
∴AE=EF+CF．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、含30°角的直角三角形的性质及等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、含30°角的直角三角形的性质及等边三角形的性质是解题的关键．
11．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，为等腰直角三角形，，．
(1)求证：；
(2)求证：
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】（1）利用边角边证明三角形全等即可．
（2）利用（1）中的全等及互余关系证明直角即可．
【详解】（1）证明：是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定及性质的运用，能够熟练运用判定定理及性质是解题关键．
12．（2022秋·山东德州·八年级校考期中）（1）【问题发现】如图1，△ABC与△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三点在同一直线上，AB＝3，ED＝4，则BE＝_____．
（2）【问题提出】如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面积．
（3）【问题解决】如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD面积为12且CD的长为6，求△BCD的面积．
【答案】（1）7；（2）S△BCD＝8；（3）S△BCD＝6．
【分析】(1) ∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，根据同角的余角相等，可得∠ACB＝∠D，由已知条件可证△ABC≌△CED，可得答案；
（2）过D作DE⊥BC交BC延长线于E，同（1）中的方法，可证△ABC≌△CED，可得答案；
（3）过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD交DC延长线于F，由△ACD面积为12且CD的长为6，可得AE＝4，进而可得CE=2，同（1）中证法，可得△ACE≌△CBF，由全等三角形的性质可求得答案．
【详解】解：（1）∵∠ACD＝∠E＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣∠DCE＝∠D，
在△ABC和△CED中，
，
∴△ABC≌△CED（AAS），
∴AB＝CE＝3，BC＝ED＝4，
∴BE＝BC+CE＝7；
故答案为：7；
（2）过D作DE⊥BC交BC延长线于E，如图：
∵DE⊥BC，CD⊥AC，
∴∠E＝∠ACD＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣∠DCE＝∠CDE，
在△ABC和△CED中，
，
∴△ABC≌△CED（AAS），
∴BC＝ED＝4，
∴S△BCD＝BC DE＝8；
（3）过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD交DC延长线于F，如图：
∵△ACD面积为12且CD的长为6，
∴×6 AE＝12，
∴AE＝4，
∵∠ADC＝45°，AE⊥CD，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE＝AE＝4，
∴CE＝CD﹣DE＝2，
∵∠ABC＝∠CAB＝45°，
∴∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠ACE＝90°﹣∠BCF＝∠CBF，
在△ACE和△CBF中，
，
∴△ACE≌△CBF（AAS），
∴BF＝CE＝2，
∴S△BCD＝CD BF＝6．
【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，属于类比探究类的题目，掌握模型思想，准确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
13．（2022秋·黑龙江牡丹江·九年级统考期末）平面内有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直线MN．过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．当点E与点A重合时（如图1），易证：AF+BF＝2CE．
(1)当三角板绕点A顺时针旋转至图2的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．
(2)当三角板绕点A顺时针旋转至图3的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．
【答案】(1)AF+BF=2CE仍成立
(2)AF-BF=2CE
【分析】（1）过B作BH⊥CE于点H，可证△ACE≌△CBH，通过线段的等量代换可得结论；
（2）过点B作BG⊥CE，交CE的延长线于点G，△ACE≌△CBG，通过线段的等量代换可得答案．
【详解】（1）解：图2，AF+BF=2CE仍成立，
证明：如图，过B作BH⊥CE于点H，
∵∠BCH+∠ACE=90°，
又∵在直角△ACE中，∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠CAE=∠BCH，
又∵AC=BC，∠AEC=∠BHC=90°
∴△ACE≌△CBH．
∴CH=AE，BF=HE，CE=BH，
∴AF+BF=AE+EF+BF=CH+EF+HE=CE+EF=2EC．
（2）解：不成立，线段AF、BF、CE之间的数量关系为：AF-BF=2CE
证明：如图，过点B作BG⊥CE，交CE的延长线于点G，
∵∠BCG+∠ACE=90°，
又∵在直角△ACE中，∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠CAE=∠BCG，
又∵AC=BC，∠AEC=∠BGC=90°
∴△ACE≌△CBG．
∴CG=AE，BF=GE，CE=BG，
∴AF-BF=AE+EF-BF=CG+EF-GE=CE+EF=2EC．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，根据题意正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
14．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，已知：在中，，，直线经过点，，．
（1）当直线绕点旋转到图（1）的位置时，求证：；
（2）当直线绕点旋转到图（2）的位置时，求证：；
（3）当直线绕点旋转到图（3）的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系：____________．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）DE=BE-AD
【分析】（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根据AAS即可得到答案；
（2）结论：DE=AD-BE．与（1）证法类似可证出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，即可得到答案．
（3）结论：DE=BE-AD．证明方法类似．
【详解】解：（1）证明：如图1，
∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
（2）如图2，∵BE⊥EC，AD⊥CE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB+∠ACE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=EC-CD=AD-BE．
（3）DE=BE-AD；
如图3，∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°
∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=CD-CE=BE-AD．
【点睛】本题主要考查了余角的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证明△ACD≌△CBE是解此题的关键，题型较好，综合性比较强．
15．（2021秋·湖南株洲·八年级校联考期末）在△ABC中，，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E
（1）当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE
（2）当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，试问：DE、AD、BE有怎样的等量关系？
（3）当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问：DE、AD、BE有怎样的等量关系？
【答案】（1）见解析；（2）DE= AD-BE，理由见解析；（3）DE= BE -AD，理由见解析．
【分析】（1）由∠ACB=90°，得∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，则∠ADC=∠CEB=90°，根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，易得Rt△ADC≌Rt△CEB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE=DC+CE=BE+AD．
（2）根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，易得△ADC≌△CEB，得到AD=CE，DC=BE，所以DE=CE-CD=AD-BE．
（3）DE、AD、BE具有的等量关系为：DE=BE-AD．证明的方法与（2）相同．
【详解】解：（1）∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
∴△ADC≌△CEB（AAS）．
∴AD=CE，CD=BE，
∵DC+CE=DE，
∴DE= AD+BE．
（2）DE、AD、BE等量关系是DE= AD-BE．理由如下：
∵BE⊥EC，AD⊥CE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB+∠ACE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
在△ADC和△CEB中，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=EC-CD=AD-BE．
故答案是：DE= AD-BE．
（3）DE、AD、BE等量关系是DE= BE-AD，理由如下：
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°
∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠CED=90°，
∴∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在△ACD和△CBE中，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=CD-CE=BE-AD．
故答案是：DE= BE -AD．
【点睛】本题是三角形的综合问题，主要考查了全等三角形的判定与性质、余角的性质等知识点，解题的关键是利用全等三角形对应线段相等，将有关线段进行转化．
16．（2023春·全国·七年级专题练习）问题1：在数学课本中我们研究过这样一道题目：如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥MN，AD⊥MN，垂足分别为E、D．图中哪条线段与AD相等？并说明理由．
问题2：试问在这种情况下线段DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出来，不需要说明理由．
问题3：当直线CE绕点C旋转到图2中直线MN的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并说明理由．
【答案】问题1，AD＝EC，证明见解析；问题2：DE+BE＝AD；问题3：DE＝AD+BE，证明见解析．
【分析】（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根据AAS即可得到△ADC≌△CEB，即可得出AD=EC；
（2）由（1）得到AD=CE，CD=BE，即可求出答案；
（3）与（1）证法类似可证出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，即可得到DE、AD、BE之间的等量关系．
【详解】解：（1）AD＝EC；
证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE，
∵∠ADC＝∠BEC，AC＝BC，
∴△ADC≌△CEB，
∴AD＝EC；
（2）DE+BE＝AD；
由（1）已证△ADC≌△CEB，
∴AD＝EC，CD=EB，CE=AD
∴CE=CD+DE=BE+DE=AD
即DE+BE＝AD；
（3）DE＝AD+BE．
证明：∵BE⊥BC，AD⊥CE，
∴∠ADC＝90°，∠BEC＝90°，
∴∠EBC+∠ECB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ECB+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE，
∵∠ADC＝∠BEC，AC＝BC，
∴△ADC≌△CEB，
∴AD＝CE，CD＝BE，
∵CD+CE＝DC，
∴DE＝AD+BE．
【点睛】此题主要考查了邻补角的意义，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键，题型较好，综合性比较强．
17．（2023秋·湖北武汉·八年级校考期末）问题提出，如图（1），在和中，，，，点E在内部，直线与交于点F，线段之间存在怎样的数量关系？
问题探究
(1)先将问题特殊化.如图（2），当点D，F重合时，直接写出一个等式，表示之间的数量关系；
(2)再探究一般情形.如图（1），当点D，F不重合时，证明（1）中的结论仍然成立.
问题拓展
(3)如图（3），在和中，，，，点E在内部，直线与交于点F，直线与交于点G，点H为线段上一点，，与交于点I，若，，则___________（用含m，n的式子表示）
【答案】(1)；
(2)见解析；
(3)．
【分析】（1）如图2，由，得易证，利用全等三角形的性质等量代换即可求解；
（2）成立，如图，将绕点C旋转交于点M，得求得，结合（1）易证，利用全等三角形的性质等量代换即可求解；
（3）如图，将绕点C旋转交的延长线于点N，连接可知，得，，结合（1）易证得、，结合易证得，利用等量代换即可求解．
【详解】（1）解：如图2，
在和中，
，，，
和是等边三角形，
，
即，
，
，
，
又，，
，
，
即，
，
即；
（2）成立，
如图，将绕点C旋转交于点M，
，
，
，
由（1）可知，
，
，
又，
，
，，
又，
是等边三角形，
，
，
即；
（3）如图，将绕点C旋转交的延长线于点N，连接，
，
，
，
，
，
由（1）可知，
，
，
又，
，，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的证明和性质；解题的关键是做辅助线构造全等．
18．（2022秋·河南南阳·八年级校联考阶段练习）问题情境：
(1)如图，，平分，把三角尺的直角顶点落在的任意一点上，并使三角尺的两条直角边分别与、相交于点、，过点作于点，作于点，请写出与的数量关系___________；
变式拓展：
(2)如图2，已知平分，是上一点，过点作于，于，边与边相交于点，边与射线的反向延长线相交于点，．试解决下列问题：
①与之间的数量关系还成立吗？为什么？
②若，试判断、、三条线段之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)①成立，见解析，②，见解析
【分析】（1）过点作于，于．证明，可得结论；
（2）①过点作于，于．证明，可得结论；
②结论：．证明，推出，再由，推出，可得结论．
【详解】（1）证明：过点作于，于．
平分，，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
（ASA），
；
（2）解：①结论：．
理由：过点作于，于，
平分，，，
，
．
，
在和中，
，
（ASA），
；
②结论：．
理由：在和中，
，
（AAS），
，
（ASA），
，
，
在中，，，
，
，
．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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