沁阳市名校2023-2024学年高二上学期第一次月考
数学试卷
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．经过，两点的直线的方向向量为，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
2．若直线经过第一、二、三象限，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
3．已知过和的直线与斜率为的直线平行，则m的值是（ ）
A． B．0 C．2 D．10
4．圆在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．两个圆：，：的公切线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
6．曲线与的一条渐近线的倾斜角为145°，则C的离心率为（ ）
A．有相等的焦距，相同的焦点 B．有相等的焦距，不同的焦点
C．有不等的焦距，不同的焦点 D．以上都不对
7．设e是椭圆的离心率，且，则实数k的取值范围是（ ）
A． B. C． D．
8．双曲线C：的一条渐近线的倾斜角为145°，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．下列命题中，不正确的是（ ）
A．如果两条直线平行，则它们的斜率相等
B．如果两条直线垂直，则它们的斜率互为负倒数
C．如果两条直线斜率之积为，则这两条直线互相垂直
D．如果直线的斜率不存在，则这条直线一定平行于y轴
10．已知圆：与圆：，则（ ）
A．两圆的圆心距为
B．两圆的公切线有3条
C．两圆相交，且公共弦所在的直线方程为
D．两圆相交，且公共弦的长度为
11．某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A（离地心最近的一点）距地面m km，远地点B（离地心最远的一点）距地面n km，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为R km，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a，2b，2c，则（ ）
A． B． C． D．
12．平面内到两定点、的距离之差的绝对值等于常数2a的点M的轨迹（ ）
A．椭圆 B．一条直线 C．两条射线 D．双曲线
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．不论a为何实数，直线l：恒过一定点，则此定点的坐标为 ．
14．已知圆的方程，圆与圆是同心圆且过点，则圆的标准方程为 ．
15．设椭圆C：的左、右焦点分别为，，P是椭圆C上的点，，，则椭圆C的离心率为 ．
16.已知F是双曲线的左焦点，点，点P是双曲线右支上的动点，则的最小值为 .
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（10分）
已知中，，，．
（1）求BC边上的高所在直线的方程；
（2）求的面积．
18．（12分）
已知圆过两点，，且它的圆心在直线上，求此圆的方程．
19．（12分）
已知圆：与圆：
（1）求经过圆与圆交点的直线方程
（2）求圆与圆的公共弦长
20．（12分）
已知，是椭圆C：的两个焦点，P为椭圆C上的点，O为坐标原点．
（1）若为等边三角形，求椭圆C的离心率；
（2）如果存在点P，使得，且的面积等于16，求b的值和a的取值范围．
21．（12分）
在中，已知，且三个内角A，B，C满足，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．（建系如图）
22．（12分）
已知中心为坐标原点O，焦点在y轴上的椭圆M的焦距为4，且椭圆M过点．
（1）求椭圆M的方程；
（2）若过点的直线l与椭圆M交于A，B两点，，求直线l的方程．
沁阳市名校2023-2024学年高二上学期第一次月考
答案
一、单项选择题
1-4 BDAC 5-8 BBCD
二、多项选择题
9.ABD 10.AC 11.ABD 12.BCD
三、填空题
13. 14. 15. 16.9
四、解答题
17.（满分10分）
解：
（1）由斜率公式，得，
所以BC边上的高所在直线方程为，即．
（2）由两点间的距离公式，得，BC边所在的直线方程为，即，
所以点A到直线BC的距离，故．
18.（满分12分）
解：法一：
直线AB的斜率为，可知AB垂直平分线m的斜率为2．AB中点的横坐标和纵坐标分别为，，
因此m的方程为，即．
又圆心在直线上，所以圆心在这两条直线的交点上，
联立方程，得，所以圆心坐标为．
又半径，则所求圆的方程是．
法二：
设所求圆的方程为，
依题意，，
即，
解得，
所以所求圆的方程是．
19.（满分12分）
解：（1）设两圆的交点坐标分别为A，B，则A，B的坐标是方程组的解，两式相减得．
因为A，B两点的坐标满足，所以AB所在直线方程为．
（2）对于圆：，该圆的圆心到直线的距离为由条件知，所以公共弦长为
20.（满分12分）
解：
（1）连接（图略），由为等边三角形可知中，，，，于是，故C的离心率为.
（2）由题意可知，满足条件的点存在当且仅当，，，即，①
，②
.③
由②③及得.
又由①知，故.
由②③及得，
所以，从而，
故.
当，时，存在满足条件的点P.
所以，a的取值范围为．
21.（满分12分）
解：以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，则，．
由正弦定理得，，（R为的外接圆半径）．
∵，
∴，
从而有．
由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支（除去与x轴的交点）．
∵，，
∴，即所求轨迹方程为.
22.（满分12分）
解：
（1）设椭圆M的方程为，
因为，所以，
所以，
又点在椭圆M上，
则，解得，，
故椭圆M的方程为.
（2）设直线l的方程为，
由，
得，
设，，
则，，
因为，
所以，
所以，
则，①
又，
所以，②
由①②得，，
所以.
故直线l的方程为.
