人教A版（2019）选择性必修第三册 7.2 离散型随机变量及其分布列
一、单选题
1．小明通过某次考试的概率是未通过的5倍，令随机变量，则（ ）
A． B． C． D．
2．袋中有大小相同的6个黑球，5个白球，从袋中每次任意取出1个球且不放回，直到取出的球是白球，记所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
3．甲、乙两班进行足球对抗赛，每场比赛赢了的队伍得3分，输了的队伍得0分，平局的话，两队各得1分，共进行三场．用表示甲的得分，则表示（ ）．
A．甲赢三场 B．甲赢一场、输两场
C．甲、乙平局三次 D．甲赢一场、输两场或甲、乙平局三次
4．随机变量的分布列如下表，其中，且，
2 4 6
则（ ）A． B． C． D．
5．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球且不放回，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为（ ）
A．1，2，3，…，6 B．1，2，3，…，7 C．0，1，2，…，5 D．1，2，…，5
6．如图是某市10月份1日至14日的空气污染指数折线图，空气污染指数为0~50，空气质量级别为一级；空气污染指数为51~100，空气质量级别为二级；空气污染指数为101~150，空气质量级别为三级．某人随机选择10月份的1日至13日中的某一天到达该市，并停留2天．设X是此人停留期间空气质量级别不超过二级的天数，则（ ）
A． B． C． D．
7．把一枚骰子连续抛掷两次，记事件为“两次所得点数均为奇数”，为“至少有一次点数是5”，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（ ）
A．甲赢三局
B．甲赢一局输两局
C．甲、乙平局三次
D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
9．已知随机变量的分布列如下：
ξ 0 1 2
P a b c
其中成等差数列，则函数有且只有一个零点的概率为（ ）A． B． C． D．
10．已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则（ ）
A． B． C． D．
11．2021年世界园艺博览会于2021年4月到10月在江苏省扬州市举行，“花艺园”的某个部位摆放了10盆牡丹花，编号分别为0，1，2，3，……，9，若从任取1盆，则编号“大于5”的概率是（ ）
A． B． C． D．
12．从含甲、乙在内的5名全国第七次人口普查员中随机选取3人到某小区进行人口普查，则在甲被选中的条件下，乙也被选中的概率是（ ）
A． B． C． D．
13．已知甲口袋中有个红球和个白球，乙口袋中有个红球和个白球，现从甲，乙口袋中各随机取出一个球并相互交换，记交换后甲口袋中红球的个数为，则
A． B． C． D．
14．已知抛物线的对称轴在y轴的左侧，其中a，b，，在这些抛物线中，记随机变量，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
15．若随机变量服从两点分布，且．令，则______．
16．若，，其中，则______．
17．已知随机变量的概率分布如下表，且，则______．
0 1 2 3
P 0.1 m n 0.1
18．设验血诊断某种疾病的误诊率为5%，即若用表示验血为阳性，表示受验者患病，则,若受检人群中有0.5%患此病，即，则一个验血为阳性的人确患此病的概率为______．
19．若随机变量X的分布列如下表所示：
X 0 1 2 3
P a b
则a2＋b2的最小值为________．
20．设随机变量X的分布列为，若，则实数a的取值范围为______．
三、解答题
21．某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
22．随着国家对体育、美育的高度重视，不少省份已经宣布将体育、美育纳入中考范畴．某学校为了提升学生的体育水平，决定本学期开设足球课，某次体育课上，体育器材室的袋子里有大小、形状相同的2个黄色足球和3个白色足球，现从袋子里依次随机取球．
（1）若连续抽取3次，每次取1个球，求取出1个黄色足球、2个白色足球的概率；
（2）若无放回地取3次，每次取1个球，取出黄色足球得1分，取出白色足球不得分，求总得分X的分布列．
23．甲、乙是两名射击运动员，根据历史统计数据，甲一次射击命中、、环的概率分别为、、，乙一次射击命中、环的概率分别为、．一轮射击中，甲、乙各射击一次．甲、乙射击相互独立，每次射击也互不影响．
（1）在一轮射击中，求甲命中的环数不高于乙命中的环数的概率；
（2）记一轮射击中，甲、乙命中的环数之和为，求的分布列；
（3）进行三轮射击，求甲、乙命中的环数之和不低于环的概率．
24．某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
日销售量(件) 0 1 2 3
频数 1 5 9 5
试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率.
（1）求当天商店不进货的概率；
（2）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
根据通过某次考试的概率是未通过的5倍，由求解.
【详解】
因为通过某次考试的概率是未通过的5倍，
所以，
解得.
故选：C
本题主要考查离散型随机变量的概率，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
2．B
利用随机变量的定义求解.
【详解】
因为取到白球时停止，
所以最少取球次数为1，即第一次就取到了白球；
最多次数是7次，即把所有的黑球取完之后才取到白球．
所以取球次数可以是1，2，3， ，7．
故选：B．
3．D
表示甲队得分为3分这个事件，可以直接列举情况即可.
【详解】
由于赢了的队伍得3分，输了的队伍得0分，平局的话，两队各得1分，
所以可以分成两种情况，即或，
即甲赢一场、输两场或甲、乙平局三次．
故选：D．
4．A
由概率的性质可得，结合已知条件求出的值，即可求解.
【详解】
由概率的性质可得，
由得
则，
故选：A
5．B
根据实际情况得到的最小值和最大值即得解.
【详解】
由于取到白球时停止，
所以最少取球次数为1，即第一次就取到了白球；
最多次数是7次，即把所有的黑球取完之后再取到白球.
所以取球次数可以是1，2，3，…，7.
故选：B
6．C
由题知X的取值范围为，再计算即得.
【详解】
由题意知，X的取值范围为，空气质量级别不超过二级的为10月份的1日、2日、3日、7日、12日、13日、14日，，
即要连续两天的空气质量级别不超过二级，所以此人应在10月份的1日、2日、12日、13日中的某一天到达该市，所以．
故选：C．
7．B
根据条件概率公式转化为，分别求解事件和实际包含的基本事件的个数，代入求解.
【详解】
事件为“两次所得点数均为奇数”，则事件为，，，，，，，，，故；为“至少有一次点数是5”，则事件为，，，，，，所以.
故选：B.
8．D
列举出ξ=3的所有可能的情况，由此可得出合适的选项.
【详解】
解：甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，
所以有两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．
故选：D．
9．B
根据题意求得，得到函数有且只有一个零点，结合，求得，即可求解.
【详解】
由题意知，且，解得，
又由函数有且只有一个零点，
即对于方程只有一个根，可得，解答，
所以.
故选：B
10．C
根据两点分布得，与条件联立解得结果.
【详解】
因为的分布列服从两点分布，所以，
因为，所以
故选：C
本题考查两点分布，考查基本分析求解能力，属基础题.
11．B
设编号为随机变量，结合题设可得其各可能值的对应概率，再应用互斥事件概率的加法公式求即可.
【详解】
设任取1盆的编号为随机变量，
∴的可能取值为0，1，2，……，9，且，
∴．
故选：B.
12．B
记事件A为“甲被选中”，事件B为“乙被选中”，则所求概率为，分别求出，，即可得答案
【详解】
解：记事件A为“甲被选中”，事件B为“乙被选中”，则由题意可得
，，
所以,
故选：B
13．A
先求出的可能取值及取各个可能取值时的概率，再利用可求得数学期望.
【详解】
的可能取值为.
表示从甲口袋中取出一个红球，从乙口袋中取出一个白球，故.
表示从甲、乙口袋中各取出一个红球，或从甲、乙口袋中各取出一个白球，故.
表示从甲口袋中取出一个白球，从乙口袋中取出一个红球，故.
所以.故选A.
求离散型随机变量期望的一般方法是先求分布列，再求期望.如果离散型随机变量服从二项分布，也可以直接利用公式求期望.
14．A
由题知a，b同号且均不为零，c可取中的任意值，进而得共有种不同的情况．再根据随机变量求解即可得答案.
【详解】
由于抛物线的对称轴在y轴左侧，
所以，即a，b同号且均不为零，c可取中的任意值，
所以共有种不同的情况．
因为，
所以的取值范围是，
其中的可能情况为且，所以，
的可能情况为且，所以，
的可能情况为且，所以，
所以．
故选：A．
15．0.2
利用离散性随机变量的性质求解.
【详解】
因为，且．
所以X=1．
所以．
故答案为：0.2
16．##
根据概率的基本性质求解即可。
【详解】
解：由概率的基本性质得：
．
故答案为：
17．0.2##
根据离散型随机变量及其分布列的概率和为1，得到，然后与联立求得，的值求解.
【详解】
由离散型随机变量分布列的性质以及已知条件得，解得，因此．
故答案为：0.2.
18．
结合条件概率的计算公式，得到，即可求解.
【详解】
由题意，结合条件概率的计算公式，可得：
.
故答案为：.
19．
首先根据分布列的性质得到，再利用基本不等式的性质求解即可.
【详解】
由分布列的性质，知，即.
因为，当且仅当时取等号.
所以的最小值为.
故答案为：
20．
求出，即得解.
【详解】
解：因为，
所以，，，．
又，
又，所以．
故答案为：.
21．（1）见解析；（2）类．
（1）通过题意分析出小明累计得分的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）与（1）类似，找出先回答类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可．
【详解】
（1）由题可知，的所有可能取值为，，．
；
；
．
所以的分布列为
（2）由（1）知，．
若小明先回答问题，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为，，．
；
；
．
所以．
因为，所以小明应选择先回答类问题．
22．（1）；（2）分布列见解析.
（1）利用古典概型概率公式即求；
（2）由题知X的取值范围为，分别求概率，即得.
【详解】
（1）从袋子里连续抽取3次，每次取1个球，设事件A为“取出1个黄色足球、2个白色足球”，则．
（连续抽取3次，每次取1个球，求取出1个黄色足球、2个白色足球的概率问题可转化为从5个足球中选出3个足球，其中有1个黄色足球、2个白色足球的概率问题）
（2）X的取值范围为，
则，，．
所以总得分X的分布列为：
X 0 1 2
P
23．（1）；（2）分布列见解析；（3）.
（1）设一次射击后，甲命中的环数为，乙命中的环数为，由题意可得，结合独立事件的概率乘法公式与互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率；
（2）由题意可知随机变量的可能取值有、、、，利用独立事件的概率乘法公式可计算得出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列；
（3）求出每轮射击后，甲、乙命中的环数之和为的概率，再利用独立事件的概率乘法公式以及对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】
（1）设一次射击后，甲命中的环数为，乙命中的环数为，
则甲命中的环数不高于乙命中的环数为；
（2）题意可知随机变量的可能取值有、、、，
，，
，，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
（3）每轮射击后，甲、乙命中的环数之和为的概率为，
三轮射击后，甲、乙命中的环数之和最小为，
因此，进行三轮射击，求甲、乙命中的环数之和不低于环的概率为.
本题考查随机变量分布列的求解，同时也考查了利用独立事件的概率乘法公式以及对立事件的概率公式求解事件的概率，考查计算能力，属于中等题.
24．（1）；（2）答案见解析.
（1）由古典概型概率公式与互斥事件的概率公式求解即可；
（2）求出X的可能取值，再用古典概型概率公式与互斥事件的概率公式求出概率，即可求解
【详解】
（1）记“当天商品销售量为0件”为事件A，“当天商品销售量为1件”为事件B，“当天商店不进货”为事件C，
则；
（2）由题意知，X的可能取值为2，3.
P(X＝2) ＝P(当天商品销售量为1件)＝；
P(X＝3)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为2件)＋P(当天商品销售量为3件)
＝，
故X的分布列为：
X 2 3
P
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
