2023-2024学年辽宁省沈阳120中学高三（上）第二次质检数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.复数满足，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知集合，，且，则( )
A. B. C. D.
3.已知，，则“，”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知向量，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
5.直线与两条曲线和均相切，则的斜率为( )
A. B. C. D.
6.已知函数在上有且仅有个零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知，则( )
A. B. C. D.
8.对于函数，若存在非零实数，使得，则称点与点是函数的一对“隐对称点”若时，函数的图象上恰有对“隐对称点”，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中，均与水平面垂直在已测得可直接到达的两点间距离，的情况下，四名同学用测角仪各自测得下列四组角中的一组角的度数，其中一定能唯一确定，之间的距离的有( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
10.下列说法错误的是( )
A. 若函数的最小正周期为，则的值为
B. 函数是偶函数
C. 点是函数图象的一个对称中心
D. 函数在上的单调递增区间是
11.若正实数，满足，则下列结论正确的是( )
A. 的最小值为 B. 的最大值为
C. 的最小值为 D. 的最大值为
12.已知定义在上的可导函数，记为的导函数，若且，又，则下列说法正确的是( )
A. 的图象关于对称 B. 为偶函数
C. D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知为虚数单位，复数满足，则的虚部为______ ．
14.已知，则 ______ ．
15.已知正方形的边长为，对角线相交于点，是线段上一点，则的最小值为______ ．
16.已知，函数在上存在两个极值点，则的取值范围为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
在，，，分别是角，，所对的边，已知，且．
若的面积为，求的值；
求的取值范围．
18.本小题分
已知函数从下面的两个条件中任选其中一个：将函数图象上的点横坐标不变，纵坐标变为原来的一半，再向左平移个单位，可以得到函数的图象；若，，且的最小值为求解下列问题：
求的表达式并求的单调递增区间；
已知，求的值．
19.本小题分
已知奇函数和偶函数的定义域均为，且．
求函数和的解析式；
函数的导函数为，记，求不等式的解集．
20.本小题分
某公司为了提升销售利润，准备制定一个激励销售人员的奖励方案公司规定奖励方案中的总奖金额单位：万元是销售利润单位：万元的函数，并且满足如下条件：图象接近图示；销售利润为万元时，总奖金为万元；销售利润为万元时，总奖金为万元现有以下三个函数模型供公司选择：；；；
请你帮助该公司从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由；
根据你在中选择的函数模型，解决如下问题：
如果总奖金不少于万元，则至少应完成销售利润多少万元？
总奖金能否超过销售利润的五分之一？
21.本小题分
如图，设中角，，所对的边分别为，，，为边上的中线，已知且，．
求的面积；
设点，分别为边，上的动点，线段交于，且的面积为面积的，求的取值范围．
22.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性；
若，函数在上恒成立，求整数的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
，
，
在复平面内对应的点位于第三象限．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，再结合共轭复数的定义，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，复数的几何意义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：集合，，且，
方程的根可能是或或不存在，
若是方程的根，则，；
若是方程的根，则，；
若方程没有实数根，则．
综上所述，实数可能的值是，，．
故选：．
根据题意，集合是集合的子集，由此推断方程的根，可得答案．
本题主要考查集合的基本概念、子集的定义与性质等知识，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由，，，，得，，于是，
由，，取，，满足，显然“，”不成立，
所以“，”是“”的充分不必要条件．
故选：．
根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义进行作答，即可得到本题的答案．
本题主要考查不等式的基本性质、充要条件的判断及其应用等知识，属于基础题．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．
根据题意，设与的夹角为，由向量数量积的计算公式可得，求出的值，分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，设与的夹角为，
向量，则，
又由，则，解可得，
又由，则．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：由，可得；由，可得，
设两个切点分别为和，直线的斜率，
故，由，所以，即直线的斜率为．
故选：．
设两个曲线的切点坐标，由切线斜率相等，利用导数列出方程，再利用两点斜率公式化简即可．
本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，是中档题．
6.【答案】
【解析】解：，
因为在上仅有个零点，
当时，，
所以，解得．
故选：．
先化简，利用整体换元法和零点个数，建立不等式组，求解不等式组可得答案．
本题主要考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：由对数函数的性质，可得，又由，所以，，
令，其中，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
则，即，所以，
又由函数在为单调递增函数，则，所以，即，
综上可得：．
故选：．
先根据指数与对数函数的性质，得到，，令，确定其单调区间，得到，得出，再根据在上为单调递增函数，得到，即可判断．
本题考查利用函数单调性比较大小，考查导数的应用，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：由题意可得：函数关于原点对称的图象与函数的图象有两个交点，
即方程有两个根，即，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
的图象恒过点，的图象也过点，
因为，所以在处的切线方程为，
由图可知当或时，与的图象有 个交点，
即有两个根，
所以实数的取值范围为．
故选：．
由题意可得，函数关于原点对称的图象与函数的图象有两个交点，再次转化为与的图象有 个交点，然后画出图象，根据图象可求得答案．
本题考查函数与方程的综合应用，考查导数的几何意义，考查函数的新定义，解题的关键是对新定义的正确理解，从而将问题转化为方程有个根，然后构造函数，利用函数图象求解，考查数学转化思想和数形结合的思想，属于较难题．
9.【答案】
【解析】解：记，，，，，
，，，，，，
，．
先从选项入手：已知，，，，，在中，
由，可确定；同理，在中，可确定；
在中，由，，及余弦定理，可确定，故C正确．
再考察选项：已知，，，，，在中，由，，及余弦定理，
可确定；在中，由，可确定；
同理，在中，可确定；
由，可确定，故D正确．
选项：已知，，，，，同选项，可确定，；
在中，已知，，，解三角形知可能有两解．
例如：若，，，解得或，
代入使也有两个值，故A错误．
选项：已知，，，，，同，选项，可确定，，；
在中，由勾股定理，得，
在中，由余弦定理，得，
联立，得，
解此关于，的二元方程组，可得，
但此二元二次方程组可能有两解，
例如若，，，，
得，解得或，故B错误．
故选：．
先设长度，角度，利用两个直角三角形，中的边角关系，并且利用三角形中的正余弦定理，可判断各个选项，是否满足唯一确定，之间的距离．
本题考查正余弦定理，考查解直角三角形，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：对，由题意，，故，故A错误；
对，为偶函数，故B正确；
对，当时，，
故点是函数图象的一个对称中心，故C正确；
对，函数的单调递增区间为，
故，故在上的单调递增区间是和，故D错误．
综上有AD错误．
故选：．
对，根据正切函数的周期性性质求解即可；对，根据诱导公式结合三角函数的奇偶性判断即可；对，代入判断即可；对，根据正弦函数的单调增区间公式求解即可．
本题主要考查三角函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：由题意，正实数，满足，
对于中，由，
可得，解得，
当且仅当时，等号成立，所以A正确；
对于中，由，可得，当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为，所以 B正确；
对于中，由，可得，
则，
当且仅当时，等号成立，所以C正确；
对于中，由，
因为，所以，当且仅当时，的最小值为，
所以D错误．
故选：．
根据题意，结合基本不等式及其变形，逐项判定，即可求解．
本题考查基本不等式的应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：因为，令，则，解得，
所以，则函数的图象关于直线对称，故A正确；
因为，则，
所以为奇函数，函数图象关于原点对称，
则，即，所以为偶函数，故B正确；
因为，即，所以的图象关于对称，且，
又因为为偶函数，所以，所以，
则，所以是以为周期的周期函数，
所以，故C正确；
因为，所以，所以是以为周期的周期函数，
所以，故D错误．
故选：．
首先求出，即可得到，从而判断，再判断可得，即可得到为奇函数，根据导数的运算法则，即可得到，从而判断，再计算、的周期，即可判断、．
本题主要考查导数的运算，考查转化能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：设，，
则，即，解得．
故，则的虚部为．
故答案为：．
设，，再代入化简求解即可．
本题主要考查复数模公式，以及复数的概念，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为，
所以，，
则，
，
可得：，即，
所以，又由已知可得，且，，都为锐角，所以，
则．
故答案为：．
由已知可得，，然后对两个等式分别平方相加，求出的值，再根据角的范围以及余弦函数的性质即可求解．
本题考查了两角和与差的三角函数公式的应用，涉及到求解角的问题，考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：以点为原点，边，所在的直线分别为，轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则：，，设，，
，
，
时，取最小值．
故答案为：．
可以点为原点，边，所在的直线分别为，轴建立平面直角坐标系，可设，，然后可求出，然后配方即可求出最小值．
本题考查了通过建立坐标系，利用向量的坐标解决向量问题的方法，向量坐标的数量积运算，配方求二次函数最值的方法，考查了计算能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：函数在上存在两个极值点，
等价于在上有个不同的实根变号，
即的图象与直线在上有个不同的交点变号，
求出，
当时，，
当时，
所以在上单调递增，
在上单调递减．
可画出的草图如图：
要保证直线在上有个不同的交点变号，
只需，
可得．
故答案为：．
函数在上存在两个极值点，等价于在上有个不同的实根变号，即的图象与直线在上有个不同的交点变号，数形结合即可得答案．
本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：由可得，
故，显然，所以，
又因为，所以，
由三角形面积公式可得，所以，
由余弦定理可得：，
即，所以；
由知，所以由正弦定理有：，
所以，，
所以
，
因为，所以，
所以，．
故的取值范围为．
【解析】根据两垂直向量的数量积为求解可得，再根据三角形面积公式与余弦定理求解即可；
由正弦定理结合三角恒等变换可得，再根据三角函数取值范围求解即可．
本题考查正、余弦定理和三角恒等变换，平面向量等，属于中档题．
18.【答案】解：若选条件，，
又函数图象上的点横坐标不变，纵坐标变为原来的一半，再向左平移个单位可得，
因为，
故，
因为，
又，
故，可得，
则；
若选条件，，，即是的最大值点，是的零点，且的最小值为，
设的周期为，由此可得，
即，．
故，
又，
则，
又，
故，
则．
故选均有，
由，得，
即，
所以的单调递增区间为；
由，
可得，
因为，
故，
从而得到，
即．
因为，
所以，
由，
可得，
故．
【解析】若选条件，根据降幂公式结合三角函数图象变换性质求解即可；
若选条件，根据题意可得的最值与零点，进而可得的周期，结合求解，得出后再根据正弦函数的单调增区间求解；
根据结合角度范围可得，根据与角度范围可得，再根据求解即可．
本题考查了函数的图象变换，三角函数恒等变换以及正弦函数的性质，考查了计算能力和函数思想，属于中档题．
19.【答案】解：由奇函数和偶函数，可得，，
因为，
可得，
两式相加，可得，则．
由，可得，
即，
因为，所以为上的偶函数，
又因为，
令，可得，
所以函数在上为单调递增函数，
又因为，所以当时，，即，单调递增；
当时，，即，单调递减，
因为，即，整理得，
解得或，即不等式的解集为．
【解析】根据题意，得到，联立方程组，即可求解；
由得，根据，得到为上的偶函数，
又由，令，求得，得到单调递增，结合，得出函数单调性，把不等式转化为，即可求解．
本题考查了函数的奇偶性，利用导数研究函数的单调性和不等式的解法，考查了转化思想，属中档题．
20.【答案】解：函数是最合适的函数模型，理由如下：
由图可知，函数图象是非直线型，且增长速率比较缓慢，
所以函数是最合适的函数模型．
因为函数图象经过点，，
所以，解得，，
所以，
令，则，即，解得，
所以如果总奖金不少于万元，则至少应完成销售利润万元．
令，则，
设，则，且，
令，则，即在上单调递减，
所以，
故在上不可能成立，
所以总奖金不可能超过销售利润的五分之一．
【解析】函数图象是非直线型，且增长速率比较缓慢，再结合三种函数模型的图象与性质，即可得解；
将点，代入模型中，求得与的值，即可知函数的解析式，解不等式，即可；令，采用换元法，构造新函数，并利用导数证明函数的单调性，求出其最大值，即可得解．
本题考查函数的实际应用，熟练掌握基本初等函数的图象与性质，利用导数研究函数的单调性与最值的方法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：因为，
结合正弦定理与余弦定理得：，
化简得，
又，所以，
又，所以，
所以
设，因为为中点，所以，
因为的面积为面积的，所以，即，
设，则，又，，共线，
设，则，
所以，解得，所以，
又，所以，
又，化简得，
又，所以，
所以，当时等号成立
，当时等号成立，
综上，即
【解析】本题考查平面向量的数量积及解三角形，考查学生的运算能力，属于较难题．
由题意，利用正弦定理与余弦定理进行化简，求得的值，再求三角形的面积即可；
结合题意，利用平面向量的基本定理求得，再求取值范围即可．
22.【答案】解：根据题意可得，
若，在上恒成立，此时函数在上单调递增；
若，此时，
当时，满足，
此时函数在，上单调递增；
当时，满足，此时函数在单调递减；
若，此时，
当时，满足，
此时函数在，上单调递增，
当时，满足，此时函数在单调递减；
综上可知，时，在上单调递增；
时，在和上单调递增，在单调递减；
时，在和上单调递增，在单调递减；
由可得，解得；
所以，则，
易知时，，
若函数在上恒成立，
等价成在上恒成立；
令，则；
令，则在上恒成立，
即函数在上单调递增，
易知，由于，所以，
而，且，所以；
因此在有且仅有一个零点，满足，且；
所以当时，，当时，；
因此函数在上单调递减，在上单调递增；
所以的最小值为，显然，
因此，又是整数，
所以的最大值为．
【解析】对函数求导后分解因式，对参数的取值范围进行分类讨论即可得到函数的单调性；
由可得，转化为在上恒成立，构造函数并利用导数求出的最小值即可求得结果．
本题考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性，恒成立问题的求解，分类讨论思想，化归转化思想，属难题．
第1页，共1页
