人教A版（2019）选择性必修第一册 2.3 直线的交点坐标与距离公式
一、单选题
1．若直线与直线平行，则它们之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线恒经过定点，则点到直线的距离是（ ）
A．6 B．3 C．4 D．7
3．已知直线过定点，则点关于对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．在平面直角坐标系中，点A，B分别是x轴、y轴上的两个动点，有一定点，则的最小值是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
5．在直角坐标平面内，与点距离为2，且与点距离为3的直线共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
6．在平面直角坐标系中，若双曲线(，)的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值为
A． B． C． D．
7．已知圆和圆的公共弦所在的直线恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
9．已知点，，动点P在直线上，则的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y=图像上的点，则|OP|=（ ）
A． B． C． D．
11．直线2y－x＋1＝0关于y－x＝0对称的直线方程是（ ）
A．y－2x－1＝0 B．y＋2x－1＝0 C．.y＋2x＋1＝0 D．2y＋x＋1＝0
12．l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程为（ ）
A．x＋2y－3＝0 B．x－2y－3＝0
C．2x－y－1＝0 D．2x－y－3＝0
二、填空题
13．将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，则折痕所在直线的一般式方程为___________.
14．在函数的图象上求一点，使到直线的距离最短，则点的坐标为__________.
15．若直线经过直线和的交点，则___________.
16．若直线与直线的交点在第一象限，则实数b的取值范围是___________.
三、解答题
17．求过与的交点且与直线平行的直线方程．
18．已知的顶点A（3，1），边AB上的高CE所在直线的方程为x+3y-5=0，AC边上中线BD所在的直线方程为x+y-5=0
（1）求直线AB的方程；
（2）求点C的坐标．
19．如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）．
（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；
（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；
（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．
20．已知三条直线和，且与的距离是．
(1)求的值；
(2)能否找到一点，使同时满足下列三个条件：①点是第一象限的点；②点到的距离是点到的距离的；③点到的距离与点到的距离之比是，若能，求点的坐标；若不能，请说明理由．
21．数学家欧拉在年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．在中，已知，，若其欧拉线的方程为．求：
(1)外心的坐标；
(2)重心的坐标；
(3)垂心的坐标．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C根据两条直线平行可得，求出，再利用两平行线之间的距离即可求解.
【详解】直线与直线平行，
则，且，
求得，两直线即为直线与直线，
它们之间的距离为，
故选：C．
2．B把直线方程整理为关于的方程，由恒等式知识求得定点坐标，然后由点到直线距离公式求解．
【详解】由直线方程变形为：，
由，解得，
所以直线恒经过定点，
故点到直线的距离是，
故选：B.
3．A根据直线方程得到定点A的坐标，设其关于的对称点坐标，列出方程组，解之即可.
【详解】直线即，故，
设点关于的对称点坐标为．
则解得．
点关于的对称点坐标为．
故选：A．
4．A根据题意作图，分类讨论：当A与B重合于坐标原点O时；当A与B不重合时，从而可求得答案.
【详解】如图，设点关于y轴的对称点为P，关于x轴的对称点为Q，
则P的坐标为，Q的坐标为，则．
当A与B重合于坐标原点O时，
；
当A与B不重合时， ．
综上可知，当A与B重合于坐标原点O时， 取得最小值10．
故选：A
5．C根据直线是否存在斜率，分类讨论，利用点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】当直线不存在斜率时，设为，由题意可知：且，
没有实数使得两个式子同时成立；
当直线存在斜率时，设直线方程为：，
点到该直线的距离为2，所以有，
点到该直线的距离为3，所以有，
由得：或，
当时，代入中，得，
该方程的判别式，该方程有两个不相等的实数根，
当时，代入中，得，
该方程的判别式，该方程有两个相等的实数根，
所以这样的直线共有三条，
故选：C.
关键点睛：本题的关键是解方程组.
6．B利用双曲线的简单性质，以及点到直线的距离列出方程，转化求解即可.
【详解】双曲线(，)的右焦点到一条渐近线的距离为
可得： 可得 ，即
所以双曲线的离心率为： .
故选:B.
本题考查双曲线的简单性质，焦点坐标，渐近线方程，还运用双曲线中焦点到渐近线的距离为以及点到直线的距离公式：.
7．C先根据两圆方程得公共弦方程，再求得点，再根据的几何意义即可求解.
【详解】由圆和圆，
可得圆和的公共弦所在的直线方程为，
联立，解得，即点
又因为点在直线上，即 ，
又由原点到直线的距离为 ，
即的最小值为.
故选：C.
本题考查圆的公共弦问题，直线过定点问题，点到直线的距离问题，考查数学运算能力与化归转化思想，是中档题.
8．B直接代入点到直线距离公式，即可得解.
【详解】根据距离公式可得：
点到直线的距离，
故选：B.
9．C求得关于直线的对称点，利用两点间的距离公式求得的最小值.
【详解】关于直线的对称点的坐标为，
则，
则的最小值是.
故选：C
10．D根据题意可知，点既在双曲线的一支上，又在函数的图象上，即可求出点的坐标，得到的值．
【详解】因为，所以点在以为焦点，实轴长为，焦距为的双曲线的右支上，由可得，，即双曲线的右支方程为，而点还在函数的图象上，所以，
由，解得，即．
故选：D.
本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．
11．A在直线2y－x＋1＝0上任取一点，设关于y－x＝0的对称点为，再利用垂直平分求解.
【详解】在直线2y－x＋1＝0上任取一点，设关于y－x＝0的对称点为，
则，解得，代入直线2y－x＋1＝0，
得y－2x－1＝0，
故选：A
12．A根据题意，当两条平行直线与AB垂直时，两条平行直线的距离最大，求得直线l1的斜率，结合点斜式，即可求解.
【详解】当两条平行直线与AB垂直时，两条平行直线的距离最大，
因为，所以
所以l1的方程为，即.
故选：A.
13．利用折痕所在直线与两点连线垂直可得所求直线斜率，利用中点在折痕所在直线上可得所求直线方程.
【详解】点与点连线斜率，折痕所在直线斜率，
又点与点的中点为，
折痕所在直线方程为：，即.
故答案为：.
14．设点的坐标为，利用点到直线的距离公式结合二次函数的基本性质可求得点的坐标.
【详解】设点的坐标为，则点到直线的距离为，
当时，即当时，取最小值，因此，点的坐标为.
故答案为：.
本题考查抛物线上到直线距离最小的点的坐标的求解，考查点到直线的距离公式和二次函数的基本性质的应用，考查计算能力，属于中等题.
15．求解出直线，的交点坐标，再代入直线即可求解.
【详解】由题意，直线，，交于一点，
所以，得，
所以直线过点，
得，求解得.
故答案为：
16．求得直线与坐标轴的交点坐标，代入的坐标，求得的值，结合题意，即可求解.
【详解】由题意，直线，
令，可得；令，可得，即，
如图所示，
当直线过点，可得；
当直线过点，可得，
要使得直线与直线的交点在第一象限，则，
即实数的取值范围是.
故答案为：.
17．.通过解方程组求出交点坐标，再根据平行直线的性质进行求解即可.
【详解】由，即交点坐标为，
设所求直线为，把代入所设方程中，得
，故而所求直线方程为．
18．（1）；（2）．（1）求出直线AB的斜率为，再利用点斜式即可求解.
（2）设，由题意可知为AC中点可得，代入直线CE所在直线，再由，联立方程即可求解.
【详解】（1）∵CE⊥AB，且直线CE的斜率为，
∴直线AB的斜率为，
∴直线AB的方程为，即；
（2）设，
由为AC中点可得，
∴，
解得，代入，
∴．
19．（1）15（百米）；
（2）见解析；
（3）17+（百米）.解：解法一：
（1）过A作，垂足为E.利用几何关系即可求得道路PB的长；
（2）分类讨论P和Q中能否有一个点选在D处即可.
（3）先讨论点P的位置，然后再讨论点Q的位置即可确定当d最小时，P、Q两点间的距离．
解法二：
（1）建立空间直角坐标系，分别确定点P和点B的坐标，然后利用两点之间距离公式可得道路PB的长；
（2）分类讨论P和Q中能否有一个点选在D处即可.
（3）先讨论点P的位置，然后再讨论点Q的位置即可确定当d最小时，P、Q两点间的距离．
【详解】解法一：
（1）过A作，垂足为E.
由已知条件得，四边形ACDE为矩形，.
因为PB⊥AB，
所以.
所以.
因此道路PB的长为15（百米）.
（2）①若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求.
②若Q在D处，连结AD，由（1）知，
从而，所以∠BAD为锐角.
所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.
因此，Q选在D处也不满足规划要求.
综上，P和Q均不能选在D处.
（3）先讨论点P的位置.
当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；
当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.
设为l上一点，且，由（1）知，，
此时；
当∠OBP>90°时，在中，.
由上可知，d≥15.
再讨论点Q的位置.
由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，.此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.
综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ=时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+.
因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+（百米）.
解法二：
（1）如图，过O作OH⊥l，垂足为H.
以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.
因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3， 3.
因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x2+y2=25.
从而A（4，3），B（ 4， 3），直线AB的斜率为.
因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为，
直线PB的方程为.
所以P（ 13，9），.
因此道路PB的长为15（百米）.
（2）①若P在D处，取线段BD上一点E（ 4，0），则EO=4<5，所以P选在D处不满足规划要求.
②若Q在D处，连结AD，由（1）知D（ 4，9），又A（4，3），
所以线段AD：.
在线段AD上取点M（3，），因为，
所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.
因此Q选在D处也不满足规划要求.
综上，P和Q均不能选在D处.
（3）先讨论点P的位置.
当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；
当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.
设为l上一点，且，由（1）知，，此时；
当∠OBP>90°时，在中，.
由上可知，d≥15.
再讨论点Q的位置.
由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.
当QA=15时，设Q（a，9），由，
得a=，所以Q（，9），此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.
综上，当P（ 13，9），Q（，9）时，d最小，此时P，Q两点间的距离
.
因此，d最小时，P，Q两点间的距离为（百米）.
本题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.
20．(1)
(2)能，
（1）根据平行间的距离公式建立方程，求解可得答案；
（2）设存在点满足，由平行间的距离公式可求得或．得出满足条件②的点满足或．再由点到直线的距离公式可得或，联立方程，求解可得结论.
（1）
解：因为可化为，所以与的距离为．
因为，所以．
（2）
解：设存在点满足，则点在与，平行直线上．
且，即或．
所以满足条件②的点满足或．
若点满足条件，由点到直线的距离公式，有，即，所以或，因为点在第一象限，所以不成立．
联立方程和，解得（舍去），联立方程和，解得，所以即为同时满足条件的点.
21．(1)
(2)
(3)
（1）将直线垂直平分线方程与欧拉线方程联立即可解得外心坐标；
（2）设，由此可得重心坐标，将其代入欧拉线可得关于方程；由可得关于的另一方程，由此联立可得的值，进而得到重心坐标；
（3）将边上的高所在直线方程与欧拉线方程联立即可解得垂心坐标.
(1)
中点为且，垂直平分线方程为：，
即，
由得：，即外心.
(2)
设，则重心，
将代入欧拉线得：，即…①；
由得：…②；
由①②得：或（与重合，不合题意），
，重心.
(3)
由（2）知：；由（1）知：，
边的高所在直线方程为：，即；
由得：，垂心.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
