2023-2024学年陕西省汉中市高三（上）第一次校际联考数学试卷（理科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.( )
A. B. C. D.
2.( )
A. B. C. D.
3.已知全集，集合，，则图中用影部分表示的集合为( )
A.
B.
C.
D.
4.九章算术是我国数学史上堪与欧几里得几何原本相媲美的数学名著．其第五卷商功中有如下问题：“今有圆堢壔，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？”这里所说的圆堢壔就是圆柱体，其底面周长是丈尺，高丈尺丈尺，问它的体积是多少？若取，估算该圆堢壔的体积为( )
A. 立方尺 B. 立方尺 C. 立方尺 D. 立方尺
5.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.若直线与圆交于，两点，且，则( )
A. B. C. D.
7.某部门调查了名学生每周的课外活动时间单位：，制成了如图所示的频率分布直方图，其中课外活动时间的范围是，并分成，，，，五组根据直方图，判断这名学生中每周的课外活动时间不少于的人数是( )
A. B. C. D.
8.若在区间上是减函数，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
9.年月日时分，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约分钟后，天舟六号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道已知火箭的最大速度单位：与燃料质量单位：、火箭质量单位：的函数关系为若已知火箭的质量为，火箭的最大速度为，则火箭需要加注的燃料质量为( )
参考数值为，，结果精确到，
A. B. C. D.
10.设，，为不同的平面，，为不同的直线，则的一个充分条件是( )
A. ， B. ，，
C. 内有无数条面线与平行 D. 内有不共线的三点到的距离相等
11.已知定义在上的奇函数满足，则以下说法错误的是( )
A. B. 的周期为
C. D.
12.已知函数，若存在使不等式成立，则整数的最小值为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知双曲线：的一条渐近线方程为，则曲线的离心率为______ ．
14.学校要从名候选人中选名同学组成学生会已知恰有名候选人来自甲班，假设每名候选人都有相同的机会被选中，则甲班恰有名同学被选中的概率为______ ．
15.已知等差数列的公差为，前项和为，若，，成等比数列，则 ______ ．
16.已知是所在平面内一点，，，，则的最大值是______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
如图，在中，角，，的对边分别为，，，，，，点在边上，且．
求；
求线段的长．
18.本小题分
仓廪实，天下安习近平总书记强调：“解决好十几亿人口的吃饭问题，始终是我们党治国理政的头等大事”“中国人的饭碗任何时候要牢牢端在自己手上”粮食安全是国家安全的重要基础从某实验农场种植的甲、乙两种玉米苗中各随机抽取株，分别测量它们的株高如下单位：：
甲：，，，，；
乙：，，，，．
请根据平均数和方差的相关知识，解答下列问题：
哪种玉米苗长得高？
哪种玉米苗长得齐？
19.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，点为的中点，．
求证：直线平面；
求直线与平面夹角的正弦值．
20.本小题分
已知椭圆经过点，．
求椭圆的方程及其离心率；
若为椭圆上第一象限的点，直线交轴于点，直线交轴于点，且有，求点的坐标．
21.本小题分
设函数．
求曲线在点处的切线方程；
求函数的单调区间；
若函数在区间内单调递增，求的取值范围．
22.本小题分
已知曲线的极坐标方程为，，是曲线上不同的两点，且，其中为极点．
求曲线的直角坐标方程；
设点的极坐标为，，求的值．
23.本小题分
已知函数．
Ⅰ当时，求不等式的解集；
Ⅱ当不等式的解集为时，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：．
故选：．
利用复数的商的运算化简即可．
本题考查了复数的运算性质，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：．
故选：．
根据已知条件，结合三角函数的诱导公式，以及正弦的两角差公式，即可求解．
本题主要考查正弦的两角差公式，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：全集，集合，，
，
图中用影部分表示的集合为．
故选：．
先求出，图中用影部分表示的集合为，由此能求出结果．
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质、韦恩图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了圆柱的体积计算，属于基础题．
根据周长求出圆堢壔的底面半径，代入圆柱的体积公式计算．
【解答】
解：设圆柱形圆堢壔的底面半径为，则由题意得尺，
尺，又圆堢壔的高尺，
圆堢壔的体积立方尺．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：，
函数为偶函数，排除选项B和；
由于，排除选项D，
故选：．
先根据函数奇偶性的概念判断为偶函数，排除选项B和，再计算的值即可作出选择．
本题考查函数的图象与性质，一般可从函数的单调性、奇偶性或特殊点处的函数值等方面着手思考，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：根据圆的标准公式可知圆的圆心为，直径为，
因为，所以直线过圆的圆心，将圆心坐标代入直线方程，
得，解得．
故选：．
根据题意可知直线过圆心，将圆心坐标代入直线方程即可．
本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：每周的课外活动时间不少于的频率为，
故所求人数，
故选：．
根据频率分布直方图确定每周的课外活动时间不少于的频率，再根据频率、频数、总数的关系即可求．
本题考查频率分布直方图，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：设，
因为在定义域上为增函数，
又因为在区间上是减函数，
所以在区间上是减函数，
所以，解得．
故选：．
设，由题意可得在区间上是减函数，列出不等式组求解即可．
本题考查了复合函数的单调性，也考查了二次函数的性质，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：由题意知，，，
所以，即，
所以，即．
故选：．
代入已知数据，结合指数和对数的运算法则，即可得解．
本题考查函数的实际应用，熟练掌握指数和对数的运算法则是解题的关键，考查运算能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：中，，，可能，也可能，相交，所以不正确；
中，，，，所以，所以，所以B正确；
中，内有无数条直线与平行，可能，也可能，相交，所以不正确；
中，内有不共线的三点到的距离相等，当三个点在的两边时，则，相交，所以不正确．
故选：．
由线面平行的定义或判定定理可判断出三个命题的真假．
本题考查面面平行的判断方法，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：因为函数是上的奇函数，
所以，且，故A正确；
因为，所以的周期为，故B正确；
由，
令，则，所以，
所以，故C错误；
，，
所以，故D正确．
故选：．
由函数是上的奇函数，可得，且，即可判断，根据即可判断，根据，令，求出，再结合函数的周期性即可判断．
本题主要考查抽象函数及其应用，考查运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：由，可得，
所以在上单调递增，
所以不等式成立等价于，
所以对于有解，
令，只需，
则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，，
所以，
所以．
所以整数的最小值为．
故选：．
先对求导得，推出单调递增，原不等式可化为存在，使得有解，即对于有解，只需，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：双曲线：的一条渐近线方程为，
可得，
所以，
则双曲线的离心率为．
故答案为：．
利用双曲线：的一条渐近线方程为，即可得与的关系，再由离心率公式求解．
本题主要考查了双曲线的渐近线、离心率性质．属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：设甲班恰有名同学被选到为事件，
基本事件总数为，
事件包含的基本事件数为，
所以，
故答案为：．
利用古典概型的概率计算公式求解即可．
本题主要考查古典概型的概率计算公式，属基础题．
15.【答案】
【解析】解：因为等差数列的公差为，，，成等比数列，
所以，则，解得，
所以，故，
所以．
故答案为：．
根据等比中项的性质，结合等差数列通项公式求基本量，再利用等差数列前项和公式求，从而得解．
本题考查等差数列的通项公式和前项和公式，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：因为，，，
所以，
，
当且仅当时，等号成立，
所以的最大值是．
故答案为：．
利用平面向量数量积的运算法则将转化为，从而得解．
本题考查了平面向量数量积的运算法则，属基础题．
17.【答案】解：根据题意得，，，，
由余弦定理得，，
又因为，所以．
因为，所以，
在中，由正弦定理，
可得．
【解析】利用余弦定理与三角函数的平方关系即可得解；
利用正弦定理即可得解．
本题考查了余弦定理和正弦定理的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
18.【答案】解：甲的平均值，
乙的平均值，
因为，
故乙种玉米苗长得高；
甲的方差，
乙的方差，
因为，
故甲种玉米苗长得齐．
【解析】根据已知数据分别求甲乙的平均值，比较大小即得结论；
根据已知数据分别求甲乙的方差，比较大小即得结论．
本题主要考查了平均数和方差的计算，属于基础题．
19.【答案】解：证明：因为，，
所以在中，，
所以，
又平面，平面，
所以，
又，、平面，
所以直线平面．
由得，，，建立以为原点的空间直角坐标系，如图所示：
所以，，，，，，
所以，
设平面的法向量为，
，，
所以，即，
令，则，，
所以，
所以，，
所以直线与平面夹角的正弦值为．
【解析】由题意得，，利用线面垂直的判定定理，即可证明结论；
由得，，，建立以为原点的空间直角坐标系，利用向量法，即可得出答案．
本题考查直线与平面的位置关系，解题中关键是空间向量法的应用，属于中档题．
20.【答案】解：依题知：，，所以．
所以椭圆方程为，离心率．
如图：
设，第一象限有，，；
由得：，
又，，
因此，
联立解得，故．
【解析】由题意可得，，继而求出，即可得方程和离心率；
设，则，又由可得，继而得到，联立即可解得，的值．
本题主要考查椭圆离心率的求解，直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于基础题．
21.【答案】解：，
，
所以曲线在处的切线斜率，
又，
所以曲线在处的切线的方程为，即．
由题可得，
当时，令得，
所以在上，单调递减，
在上，单调递增，
当时，令得，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减．
由知当时，在上单调递减，在上单调递增，
若函数在区间内单调递增，则，即，
当时，在上单调递增，在上单调递减．
若函数在区间内单调递增，则，即，
综上所述，的取值范围为．
【解析】求导得，由导数的几何意义可得曲线在处的切线斜率，由点斜式可得曲线在处的切线的方程．
由题可得，分两种情况：当时，当时，分析的符号，的单调性，即可得出答案．
由中单调性知当时，，当时，，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题．
22.【答案】解：曲线的极坐标方程为，
根据，得：，
曲线的直角坐标方程为．
，
，
将，极坐标代入方程得：，
，得，
的值为．
【解析】根据极坐标和直角坐标的转化公式求得正确答案．
先得到点的极坐标，将，的极坐标代入曲线的极坐标方程，解方程求得．
本题主要考查简单曲线的极坐标方程，属于基础题．
23.【答案】解：Ⅰ时，
当时，，即，此时，
当时，，得，，
当时，，无解，
综上，的解集为．
Ⅱ，
即的最小值为，
要使的解集为，
恒成立，即或，
得或，
即实数的取值范围是．
【解析】Ⅰ根据的范围得到分段函数的解析式，从而分别在三段区间上求解不等式，取并集得到所求解集；
Ⅱ由绝对值三角不等式得到的最小值，则最小值大于，得到不等式，解不等式求得结果．
本题考查含绝对值不等式的求解、绝对值三角不等式的应用问题，属于常规题型．
第1页，共1页
