5.3 组合
【夯实基础】
知识点1 组合
1.从2，3，5，7，11，13，17，19这八个数中任取两个，则下列问题是组合问题的为( )
A.相加，可以得到多少个不同的和 B.相乘，可以得到多少个不同的积
C.相减，可以得到多少个不同的差 D.相除，可以得到多少个不同的商
2.以下5个命题，属于组合问题的有( )
①从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，组成一个三位数；
②从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，然后把这3个数字相加得到一个和，这样的和的个数；
③从四名学生中选两名去完成同一份工作的选法；
④5个人规定相互通话一次，通电话的次数；
⑤5个人相互写一封信，所有信的数量.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
知识点2 组合数及其性质
3.若，则( )
A.17 B.153 C.306 D.969
4.从10名排球队员中选出7人参加比赛，则不同的选法种数为( )
A.150 B.120 C.160 D.110
5.甲、乙两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形共有( )
A.10种 B.15种 C.20种 D.30种
6.某人要给厨房中装有不同调料的5个瓶子贴上对应的标签，若恰好贴错了3个，则贴错的可能情况种数为( )
A.9 B.12 C.18 D.20
7.某科技小组有6名学生，现从中选出3人去参观展览，至少有1名女生入选的不同选法有16种，则该小组中的女生人数为__________.
8.现有编号为1，2，3，4，5的5个茶杯和编号为1，2，3，4，5的5个杯盖，将5个杯盖盖在5个茶杯上，至少有2个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有__________.
【提升能力】
9.如图，以O，，，，，，，中3个点为顶点构成的三角形的个数为( )
A.30 B.42 C.54 D.56
10.从4男2女共6名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，则不同的选法共有( )
A.156种 B.168种 C.180种 D.240种
11.（多选）给出下列几个问题，其中是组合问题的是( )
A.求由1，2，3，4构成的含有两个元素的集合的个数
B.求5个队进行单循环比赛的分组情况的种数
C.3人去做5种不同的工作，每人做1种，求不同的安排种数
D.求由1，2，3组成无重复数字的两位数的个数
12.（多选）某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门课程中选三门作为选考科目，则下列说法正确的有( )
A.若任意选择三门课程，选法种数为
B.若物理和化学至少选一门，选法种数为
C.若物理和历史不能同时选，选法种数为
D.若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，选法种数为
13.计算：_________.
14.某车间有11名工人，其中5名是钳工，4名是车工，另外2名既能当车工又能当钳工.现要在这11名工人里选派4名钳工和4名车工修理一台机床，则不同的选派方法有__________种.
【综合素养】
15.某市教育局人事部门打算将甲 乙 丙 丁 戊这5名应届大学毕业生安排到该市4所不同的学校任教，每所学校至少安排一名，每名学生只去一所学校，则不同的安排方法种数是__________.
16.7名身高互不相等的学生，分别按下列要求排列，各有多少种不同的排法？
(1)7人站成一排，要求最高的站在正中间，并向左、右两边看，身高逐个递减；
(2)任选6名学生，排成二排三列，使每一列的前排学生比后排学生矮.
答案以及解析
1.答案：B
解析：判断一个问题是不是组合问题，关键是看该问题是否与顺序有关，由于减法与除法不满足交换律，取出的两个数就与顺序有关，因此不是组合问题，故C、D不是组合问题；加法与乘法满足交换律，与取出的两个数的顺序无关，但是由于给出的8个数中，、等，故相加，可以得到多少个不同的和这个问题不是纯粹的组合问题，只有相乘，可以得到多少个不同的积这个问题是组合问题，故选B.
2.答案：B
解析：①当取出3个数字后，如果改变3个数字的顺序，会得到不同的三位数，所以此问题不但与取出元素有关，而且与元素的安排顺序有关，是排列问题；②取出3个数字之后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其和均不变，此问题只与取出的元素有关，而与元素的安排顺序无关，是组合问题；③两名学生完成的是同一份工作，没有顺序，是组合问题；④甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，无顺序区别，为组合问题；⑤发信人与收信人是有区别的，是排列问题，故选B.
3.答案：B
解析：由，得，所以.
4.答案：B
解析：不同的选法种数为.故选B.
5.答案：C
解析：3局定胜负，有2种情形；4局定胜负，有种情形；5局定胜负，有种情形.共有种情形.
6.答案：D
解析：第一步，从5个瓶子中选出3个瓶子，有种情况，第二步，对选出的3个瓶子进行错位重排，有2种情况，则贴错的可能情况种数为.
7.答案：2
解析：设该小组的男生人数为x，则该小组中的女生人数为.由题意得，即，所以，所以，所以该小组中的女生人数为2.
8.答案：31
解析：方法一：分4类：第1类，5个杯盖和茶杯的编号均相同，有1种盖法；
第2类，有4个杯盖和茶杯的编号相同，有0种盖法；
第3类，有3个杯盖和茶杯的编号相同，有种盖法；
第4类，有2个杯盖和茶杯的编号相同，有种盖法.
利用分类加法计数原理，得共有种盖法.
方法二：将5个杯盖盖在5个茶杯上，共有种盖法，
茶杯和杯盖都不相同相当于5个元素错位重排，有44种盖法，
有一个茶杯和杯盖编号相同，有种盖法，
所以满足题意的盖法有(种).
9.答案：B
解析：先从这8个点中任取3个点，有种取法，其中三点共线有种取法，因此符合条件的三角形的个数为.
10.答案：B
解析：从4男2女共6名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队有种选法，服务队中没有女生的选法有种，所以服务队中至少有1名女生的不同选法共有种，故选B.
11.答案：AB
解析：对于选项A，B，选出元素就完成了这件事，是组合问题；对于选项C，D，选出的元素还需排列，与顺序有关，是排列问题.故选AB.
12.答案：AC
解析：
A √ 显然正确.
B × 分两类：①在物理、化学中选一门，剩余四门中选两门，有种选法；②物理、化学都选，剩余四门中选一门，有种选法.综上，选法种数为.
C √ 显然正确.
D × 分三类：①选物理，不选化学，有种选法；②选化学，不选物理，有种选法；③物理和化学都选，有种选法.综上，选法种数为.
13.答案：328
解析：.
14.答案：185
解析：设既能当车工又能当钳工的2名工人为A，B.A，B都不在内的选派方法有(种)；A，B都在内且当钳工的选派方法有(种)；A，B都在内且当车工的选派方法有(种)；A，B都在内，且一人当钳工，另一人当车工的选派方法有(种)；A，B有一人在内且当钳工的选派方法有(种)；A，B有一人在内且当车工的选派方法有(种).所以不同的选派方法共有(种).
15.答案：240
解析：先将5名学生分成4组共有种，
再将4组学生安排到4所不同的学校有种，
根据分步计数原理可知：不同的安排方法共有种.
故答案为：240.
16.答案：(1)20种
(2)630种
解析：(1)第一步，将最高的安排在正中间，只有1种排法；
第二步，从剩下的6人中任选3人安排在一侧，有种排法；
第三步，将剩下的3人安排在另一侧，只有1种排法.
所以共有种不同的排法.
(2)第一步，从7人中选6人，有种选法；
第二步，从6人中选2人安排在第一列，有种排法；
第三步，从剩下的4人中选2人安排在第二列，有种排法；
第四步，将剩下的2人安排在第三列，只有1种排法.
故共有种不同的排法.
