6.4 二项分布与超几何分布
【夯实基础】
知识点1 二项分布
1.某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是，则这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间Y的期望为( )
A. B.1 C. D.
2.设随机变量，如果，那么n和p分别为( )
A.18和 B.16和 C.20和 D.15和
3.若，则_______________.
4.某气象台预报每天天气的准确率为0.8，则在未来3天中，至少有2天预报准确的概率是_______________.
知识点2 超几何分布
5.某贫困县有15个小镇，其中有9个小镇交通比较方便，有6个小镇交通不太方便.现从中任意选取10个小镇，其中有X个小镇交通不太方便，下列概率中等于的是( )
A. B. C. D.
6.有8名学生，其中有5名男生，从中选出4名代表，记选出的代表中男生人数为X，则( )
A.2 B.2.5 C.3 D.3.5
7.某班有50名学生，其中15人选修A课程，另外35人选修B课程，从班级中任选两名学生，他们选修不同课程的概率是_______________.
8.设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望为，则口袋中白球的个数为_________________.
【提升能力】
9.有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若表示取得次品的个数，则等于( )
A. B. C. D.1
10.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，则( )
A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3
11.（多选）一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是( )
A.取出的最大号码X服从超几何分布
B.取出的黑球个数Y服从超几何分布
C.取出2个白球的概率为
D.若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为
12.（多选）给出下列命题，其中正确的命题是( )
A.设具有相关关系的两个变量x，y的样本相关系数为r，则越接近0，x，y之间的线性相关程度越强
B.随机变量，若，则
C.随机变量X服从两点分布，若，则
D.某人在10次射击中击中目标的次数为X，若，则当时概率最大
13.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠，若该电梯在底层载上5位乘客，且每位乘客在第18，19，20层中的任一层下电梯的概率都为，且每位乘客在第18，19，20层是否下电梯互不影响，用表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则____________.
14.在一次运动会上，某单位派出了6名主力队员和5名替队员组成代表队参加比赛.如果随机抽派5名队员上场，则主力队员多于替补队员的概率为____________.
【综合素养】
15.一个不透明的袋子中装有形状大小完全相同的6个红球、4个白球，现从这10个球中随机取出3个，记取出的3个球中白球的个数为随机变量X，则_________，________.
16.随着直播电商的迅速兴起，许多农民通过短视频或直播销售，让新鲜的农产品快速直接地送到消费者手中，这种新的销售形式推动了农民收入的增加.某农副产品超市从一家电商农户购进一批总质量为1000千克的西瓜，从中随机抽取40个西瓜统计其质量，得到的结果如下表所示：
质量/千克
数量/个 2 6 10 16 4 2
（1）以组中值为代表，试估计该批西瓜的数量是多少；（所得结果四舍五入保留整数）
（2）以频率估计概率，某顾客在这批西瓜中随机挑选3个，记这3个西瓜的质量在之间的数量为随机变量X，求X的分布列与数学期望.
答案以及解析
1.答案：D
解析：遇到红灯的次数..
2.答案：A
解析：由解得.故选A.
3.答案：
解析：由题意得，，.
4.答案：0.896
解析：“至少有2天”包括“恰有2天”和“恰有3天”两种情况，其概率为.
所以至少有2天预报准确的概率为0.896.
5.答案：A
解析：X服从超几何分布，因为有6个小镇交通不太方便，所以抽取的10个小镇中有4个小镇交通不太方便的概率为，故选A.
6.答案：B
解析：方法一：随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4..
故随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P
所以随机变量X的数学期望.
方法二：已知X服从参数为8，4，5的超几何分布，所以.
7.答案：
解析：随机抽取两名学生，X表示选修A课程的学生数，则X服从超几何分布，其中.依题意所求概率为.
8.答案：3
解析：设口袋中白球个数为x，由已知得取得白球个数的所有可能取值为0，1，2.则服从超几何分布，，
，
，
，
.
故口袋中白球的个数为3.
9.答案：C
解析：由题意，知的所有可能取值为0，1，2，服从超几何分布，所以，
所以，故选C.
10.答案：B
解析：由题意得.因为，所以，解得或.因为，所以，即，解得，所以.故选B.
11.答案：BD
解析：对于A，B根据超几何分布的定义可知A错误，B正确；对于C，取出2个白球的概率，故C错误；对于D，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则取出四个黑球的总得分最大，所以总得分最大的概率为，故D正确.故选BD.
12.答案：BD
解析：对于A， 越接近0，x，y之间的线性相关程度越弱，故A不正确；
对于B，随机变量，则，，若，则，所以，故B正确；
对于C，随机变量X服从两点分布，其中
故C不正确;
对于D，因为在10次射击中，击中目标的次数为X， ，所以当时对应的概率，当时，，令，得，即，因为，所以且，即当时，概率最大，故D正确.
故选BD.
13.答案：
解析：由题意，知，，.故.
14.答案：
解析：将主力队员上场的人数记为X，则，，则所求概率为.
15.答案：；
解析：由题意可知随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，
，，
，.
所以.
16.答案：（1）该批西瓜的数量约为222
（2）
解析：（1）由题可得，样本中40个西瓜的平均质量为，
（个），所以该批西瓜的数量约为222.
（2）由表格可知，样本的40个西瓜中质量在之间的频率为，
所以估计农副产品超市购进的这批西瓜中，质量在之间的频率为，
以频率估计概率，随机挑一个西瓜，质量在之间的概率为，
所以该顾客挑选的3个西瓜中，质量在之间的数量，
X的所有可能取值为0，1，2，3，
且；
；
；
.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以.
