淮安市名校2023-2024学年高二上学期期初调研测试
数学试题
注意事项：
1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．答题前，请务必将姓名、班级、学号、考场号、座位号、准考证号填写在答题纸上．
3．请用0.5毫米黑色签字笔按题号在答题纸指定区域作答，在其他地方作答一律无效．
一、单选题（每题5分，共40分）
1．复数，则（ ）
A． B． C． D．
2．过点的直线l与圆交于M，N两点，则弦长的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
3．直线：，：，则“或”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．把函数的图象向左平移个单位后，得到一个偶函数的图像，则（ ）
A． B． C． D．
5．若，，并且，均为锐角，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．从装有2个红球和3个白球的口袋任取两个球，那么互斥但不对立的两个事件是（ ）
A．至少有1个白球，都是白球 B．至少有1个白球，至少有1个红球
C．恰有1个白球，恰有2个白球 D．至少有1个白球，都是红球
7．已知平面向量，，均为单位向量，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．若曲线与直线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每题5分，漏选得2分，错选得0分，共20分）
9．如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出40名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下．观察图像，下面说法正确的是（ ）
A．
B．中位数为60.6
C．众数为70
D．从成绩是80分以上（包括80分）的学生中选两人，则他们在同一分数段的概率为
10．若方程所表示的曲线为C，则下面四个说法中正确的是（ ）
A．曲线C可能是圆 B．若，则C为椭圆
C．若C为椭圆，且焦点在x轴上，则 D．若C为椭圆，且焦点在y轴上，则
11．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作，其中，，，其“欧拉线”与圆M：相切，则下列说法正确的是（ ）
A．过作圆M的切线，切线长为
B．圆M上点到直线的最小距离为
C．若点在圆M上，则的最大值是
D．圆与圆M有公共点，则a的取值范围是
12．如图，在棱长为2的正方体中，Q为线段的中点，P为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（ ）
A．P为中点时，过D，P，Q三点的平面截正方体所得的截面的面积为
B．存在点P，使得平面平面
C．的最小值为
D．三棱锥外接球表面积最大值为
三、填空题（每题5分，共20分）
13．已知圆的方程C：圆心坐标为，则它的半径为______．
14．在平面直角坐标系xOy中，点，若直线上有且只有1个点P满足，则实数b的值是______．
15．已知中，，M为线段BN上的一个动点，若（x、y均大于0），则的最小值为______．
16．已知函数，若关于x的方程有4个不同的解，记为，，，（），且恒成立，则的取值范围是______．
四、解答题（第17题10分，第18-22题各12分，共70分）
17．已知函数的定义域构成集合A．不等式的解集为B．
（1）时，求m的取值范围；
（2）时，若是的充分条件，求实数a的取值范围．
18．已知光线经过已知直线：和：的交点M，且射到x轴上一点后被x轴反射．
（1）求与距离为的直线方程；
（2）求反射光线所在的直线方程．
19．已知中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，，D是边AC上的一点，且．
（1）若，，求AD；
（2）若BD为的角平分线，求面积的最小值．
20．如图所示，AC为圆O直径，B为圆O上不同于A、C的点，P不在圆O平面内，E为线段BC中点．
（1）求证：平面PAB；
（2）若平面平面ABC，且，求证：平面POE．
21．若函数，，且，．
（1）求a，b的值；
（2）①在平面直角坐标系中画出函数的图象；
②若方程有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．
22．如图，已知圆M：，点为直线l：上一动点，过点P引圆M的两条切线，切点分别为A，B．
（1）时，求PA、PB方程（点A在点B上方）；
（2）求线段AB中点的轨迹方程；
（3）若两条切线PA，PB与y轴分别交于S，T两点，求的最小值．
高二数学答案
1．B 2．D 3．C 4．A 5．D 6．C 7．B 8．C 9．AD 10．AD 11．ABD 12．AD
13．4 14． 15．9 16．
17．略
18．（1）由题可设所求直线方程为，则解得或17，
所以与距离为的直线方程为或．
（2）由，可得，即，又，
所以，所以反射光线所在的直线的斜率为，
故反射光线所在的直线的方程，即．
19．略 20．略 21．略
22．（1）PA： PB：
（2），，，
故以P为圆心，为半径的圆P的方程为，
显然线段AB为圆P和圆M的公共弦，
则直线AB的方程为，即，
经判断直线AB过定点，即所以直线AB过定点；
设AB的中点为F点，直线AB过的定点为H点，
易知HF始终垂直于FM，所以F点的轨迹为以HM为直径的圆，又，，
故该圆圆点，半径，且不经过．
∴点F的轨迹方程为；
（3）设切线方程为，即，
故到直线的距离，即，
设PA，PB的斜率分别为，，则，，
把代入，得，
则，
故当时，取得最小值为．
