新乐市重点中学2023-2024学年高三上学期第一次月考数学试题
一、单选题
1．命题“，”的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．设等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．81 B．24 C． D．
4．设数列是以为公差的等差数列，是其前项和，，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．的最大值为或
5．已知不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C． D．
6．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
7．若随机变量，则有如下结论：（，，）,高三（1）班有40名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分为120，方差为100，理论上说在130分以上人数约为（ ）
A．19 B．12 C．6 D．5
8．已知a＝ln ，b＝e－1，c＝，则a，b，c的大小关系为( )
A．b>c>a B．a>c>b C．a>b>c D．b>a>c
二、多选题
9．已知关于的不等式的解集为或，则下列结论中，正确结论的序号是（ ）
A． B．不等式的解集为
C．不等式的解集为或 D．
10．函数，，用表示，中的较大者，记为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．，
C．有最大值 D．最小值为0
11．已知单调递增数列满足，其前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．若为方程的两根，则
B．若，则是数列中最大的负数项
C．若，则
D．
12．若，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．已知某品牌的新能源汽车的使用年限（单位:年）与维护费用单位:千元）之间有如表数据:
使用年限年
维护费用千元
与之间具有线性相关关系,且关于的线性回归方程为（为常数）.据此估计,使用年限为年时,维护费用约为 千元.
14．设某批产品中，甲、乙、丙三个车间生产的产品分别占、、，甲、丙车间生产的产品的次品率分别为和.现从中任取一件，若取到的是次品的概率为，则推测乙车间的次品率为 .
15．若 ，则的取值范围是 ．
16．已知函数f(x)＝3ln x－x2＋x在区间(1，3)上有最大值，则实数a的取值范围是
四、解答题
17．“双减”政策执行以来，中学生有更多的时间参加志愿服务和体育锻炼等课后活动.某校为了解学生课后活动的情况，从全校学生中随机选取人，统计了他们一周参加课后活动的时间（单位：小时），分别位于区间，，，，，，用频率分布直方图表示如下，假设用频率估计概率，且每个学生参加课后活动的时间相互独立.
(1)估计全校学生一周参加课后活动的时间位于区间的概率；
(2)从全校学生中随机选取人，记表示这人一周参加课后活动的时间在区间的人数，求的分布列和数学期望.
18．设为数列的前项和．已知．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)设，求数列的前项和．
19．已知函数，其中.
(1)求函数的单调区间；
(2)若存在，使得不等式成立，求的取值范围.
20．已知等差数列的前n项和为，，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
性别 打篮球 合计
喜爱 不喜爱
男生 6
女生 10
合计 48
(2)设，求数列的前n项和．
21．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查得到了如下的2×2列联表：
已知在全班48人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为.
(1)请将上面的2×2列联表补充完整（不用写计算过程）；
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
(2)根据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否据此推断喜爱打篮球与性别有关？
(3)现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为X，求X的分布列与均值．
附：，其中，
22．已知函数的图象过点，且在点P处的切线恰好与直线垂直.
(1)求函数的解析式；
(2)若函数的图象与抛物线恰有三个不同交点，求m的取值范围.参考答案：
A 2．D 3．C 4．D 5．D 6．C 7．C 8．D 9．AD 10．BD 11．BC 12．AC
13．/ 14． 15． 16
17【详解】（1）由频率分布直方图知：人中，一周参加课后活动的事件位于区间的频率为，
用频率估计概率，全校学生一周参加课后活动的时间位于区间的概率为.
（2）用频率估计概率，从全校学生中随机抽取人，则该人一周参加课后活动的事件在区间的概率，，
则所有可能的取值为，
；；；；
的分布列为：
数学期望.
18．【详解】（1）证明：已知①，
当时，②，
①②得：，即，
所以，，
当时，则，则，
所以，数列是首项为，公比为的等比数列．
（2）解：由（1）可知，，则，
所以，，
所以，，
.
19【详解】（1）解：由函数的定义域为，且，
当时，无单调性；
当时，对任意恒成立，
所以函数的单调递增区间为，，无单调递减区间；
当时，对任意恒成立，
所以函数的单调递减区间为，无单调递增区间.
（2）解：由不等式，即，则，
设，，
根据题意，存在，，
又由，且，
当时，在上恒成立，不满足题意；
当时，方程，可得，
即在上恒成立，则在上单调递增，所以，
即在上恒成立，不满足题意；
当时，令，得，，
由和，得，
则当时，，在上单调递减，此时，
因此，当时，存在，使得不等式成立，
所以满足题意的的取值范围为.
20．【详解】（1）由题意，
在等差数列中，设公差为,
由，得，则，
又a3＋2，a4，a5－2成等比数列，
∴7，5＋d，3＋2d成等比数列，得，即，得d＝2，
∴，，
∴数列的通项公式为：．
（2）由题意及（1）得，，
在数列中，，
在数列中，，
∴，
∴，
，
两式相减得
．
∴
21【详解】（1）依题意，喜欢打篮球的学生人数为，
完善列联表如下：
性别 打篮球 合计
喜爱 不喜爱
男生 22 6 28
女生 10 10 20
合计 32 16 48
（2）零假设：喜爱打篮球与性别无关，
由（1）得，
根据小概率值的独立性检验，我们推断H0不成立，
所以认为喜爱打篮球与性别有关.
（3）喜爱打篮球的女生人数的可能取值为0，1，2，
则，
所以的分布列为
0 1 2
的数学期望.
22．【详解】（1）因为的图象经过点，
所以，又，则，
由条件，即，解得，代入解得，
故；
（2）由（1）知：，
令，
则原题意等价于图象与轴有三个交点.
因为，
1
0 0
极大 极小
所以在时取得极大值，在时取得极小值，
依题意得，解得，故m的取值范围为.
