2023-2024学年陕西省、青海省四川省名校联盟高三（上）第二次月考数学试卷（文科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
2. 已知，则条件“”是条件“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分且必要条件 D. 既不充分又不必要条件
3. 已知第二象限角的终边上有两点，，且，则( )
A. B. C. D.
4. 某工厂引用某海水制盐需要对海水过滤某杂质，按市场要求，该杂质含量不能超过，若初时含杂质，每过滤一次可使杂质含量减少，为使产品达到市场要求，至少应过滤的次数为( )
提示：、．
A. B. C. D.
5. 设集合或，集合，已知，，则( )
A. B. C. D.
6. 设直线与函数，，的图像在内交点的横坐标依次为，，，则( )
A. B. C. D.
7. 设正实数，，分别满足，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
8. 已知定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
9. 已知表示不超过的最大整数，如：，，定义，则( )
A. B. C. D.
10. 在信息传递中多数是以波的形式进行传递，其中必然会存在干扰信号形如，某种“信号净化器”可产生形如的波，只需要调整参数，就可以产生特定的波与干扰波波峰相同，方向相反的波来“对抗”干扰现有波形信号的部分图象，想要通过“信号净化器”过滤得到标准的正弦波标准正弦函数图象，应将波形净化器的参数分别调整为( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
11. 已知函数是定义在上的奇函数，且的一个周期为，则( )
A. 为的周期 B. 的图象关于点对称
C. D. 的图象关于直线对称
12. 对任意，恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. ______．
14. 函数在上的单调增区间为______
15. 已知，且对任意，有恒成立，则的取值范围为______．
16. 若关于的方程有三个不相等的实数解，，，且，其中，为自然对数的底数，则的值为______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
如图所示，大风车的半径为，每旋转一周，它的最低点离地面风车圆周上一点从最低点开始，运动后与地面的距离为．
求函数的关系式．
画出函数的图象．
18. 本小题分
已知集合，函数的定义域为集合．
若，求集合
已知且“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．
19. 本小题分
已知函数．
当时，求函数的最大值；
若函数有最大值，试求实数的值．
20. 本小题分
在中，内角、、所对的边分别为、、，且满足．
求角的大小；
如图所示，为外一点，若、，求的最大值．
21. 本小题分
设．
证明：；
若，证明：．
22. 本小题分
设函数，．
讨论的单调性；
设恒成立，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，
，
．
故选：．
先求出集合和，由此能求出．
本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用．
2.【答案】
【解析】解：当时，不成立，
充分性不成立，
当、时，
则，可得，也成立，
必要性成立，
“”是条件“”的必要不充分条件．
故选：．
根据充分性、必要性的定义判断即可．
本题考查了对充分性、必要性的判断，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为，所以，所以，
又因为，所以，
所以．
故选：．
利用任意角的三角函数的定义与同角三角函数的基本关系求解．
本题主要考查了任意角的三角函数的定义与同角三角函数的基本关系，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由题意可知，即，
两边取对数化为：，
则至少应过滤次才能使产品达到市场要求．
故选：．
利用题意与指数式列出不等式，结合对数运算性质解出即可得出结论．
本题考查了指数式与对数式的运算性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：因为集合，可设，
由集合或，且，，
设想集合所表示的范围在数轴上移动，
当且仅当包含集合，才能使，
所以且，并且及，
所以，，
所以，
根据二次不等式与二次方程的关系，可知与是方程的两根，
所以，，
所以．
故选：．
根据集合是闭区间，由题意求得集合，再根据二次不等式与二次方程的关系求出、的值．
本题考查了集合的化简与运算问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．
6.【答案】
【解析】解：当时，
，，
，，
又，，
，，
．
故选：．
当时，可求出，利用诱导公式，，可求出，即可求解．
本题考查诱导公式的应用，正弦、余弦函数的图象与性质，特殊角的三角函数值，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：令，则在时单调递增，
且，即，
在同一坐标系中作出的图象，由图象，得，即；
故选：．
令，则在时单调递增，即可得出，在同一坐标系中作出的图象，由图象得，即可得出大小关系．
本题考查了函数的单调性、数形结合思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：转化为：
，
令，
则，
在上单调递减，
又
的解集为，
故选：．
问题转化为，令，根据函数的单调性求出不等式的解集即可．
本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道基础题．
9.【答案】
【解析】解：根据题意，，
，
依次类推：，
，
，
，
又由，
则．
故选：．
根据题意，利用的意义，代入计算，即可得出结论．
本题考查函数值的计算，注意分析的意义，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：设干扰信号对应的函数解析式为．
由题图得，为干扰信号的周期，解得，所以．
函数的最大值为，将代入，解得，，，．
所以欲消除的波需要选择相反的波，即，
所以，，．
故选：．
由题图得，求得，再由函数的最大值求得，将代入，可解得，由此求出非标准正弦波对应的函数，取的相反波即可得答案．
本题考查三角函数的图象与性质，考查学生的运算能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：因为为定义域为奇函数，周期为，
故函数满足条件，
令可得，，
函数的最小正周期为，对称中心为，，
函数没有对称轴，
A错误，B错误，D错误；
因为函数是定义在上的奇函数，
所以，
取可得，，
因为的一个周期为，
所以，
取可得，，
由可得，函数为周期为的函数，
所以，C正确；
故选：．
举例判断，，D错误，再由条件结合奇函数的性质和周期函数的性质列关系式论证C正确．
本题主要考查了抽象函数的应用，考查了函数的奇偶性、对称性和周期性，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：当时，不等式成立；
当时，，
令，，
令，则，
故的最小值为，
令，则，
故是增函数，的最大值为，
故，
综上所述，．
故选：．
讨论当时，明显成立，当，转化为恒成立，然后构造函数和，利用导数求其最值即可．
本题考查恒成立问题，转化思想、导数的综合运用，通过参变分离，转化为函数的最值问题，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：原式．
故答案为：．
切化弦后通分，利用二倍角的正弦与两角差的正弦即可化简求值．
本题考查三角函数的化简求值，着重考查用二倍角的正弦与两角差的正弦的应用，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：，，
，
解得：
故答案为：
对函数进行求导，然后令导函数大于在上求出的范围，即可得到答案．
本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于时原函数单调递增，当导函数小于时原函数单调递减，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：对任意，有恒成立，
是方程的根，即，
又，则，
可理解为直线上纵坐标大于的点，则的几何意义即为直线上纵坐标大于的点与原点连线的斜率，
如图，
直线的斜率为，由图象可知，．
故答案为：．
首先分析出是方程的根，得到，再运用的几何意义求解．
本题考查不等式的解法及恒成立问题，考查数形结合思想，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：化简可得，，
令，定义域为，
则，令，解得，
当时，，为单调递增函数，且，当时，，为单调递减函数，且当时，
又，
则的图像如图，
原式可化为，
即两根为，，，，
则根据可知，，
则，
又，
即的值为．
故答案为：．
方程可化为，令，原式可化为，利用导数得到的单调性和极值，画出的大致图象，数形结合求解即可．
本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题．
17.【答案】解：以圆心为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则以为始边，为终边的角为，
故点的坐标为
，
．
图象如图：
【解析】以圆心为原点，以水平方向为轴方向，以竖直方向为轴方向建立平面直角坐标系，则根据大风车的半径为，圆上最低点与地面距离为，秒转动一圈，我们易得到到与间的函数关系式；
结合中三角函数的解析式，再根据解析式画出函数的图象．
本题考查的知识点是在实际问题中建立三角函数模型，在建立函数模型的过程中，以圆心为原点，以水平方向为轴方向，以竖直方向为轴方向建立平面直角坐标系，将现实问题转化为数学问题，是解答的关键．
18.【答案】解：若，则，
函数，由，解得，即，
则或，
则或，
方程的根为或，
若，则，
即
由得，
，，
的解为，
即，
若”是“”的必要不充分条件，则，
即且等号不能同时取，
即，则，
即的取值范围是．
【解析】求解集合根据集合的基本运算即可得到结论．
求出集合，，根据充分条件和必要条件的关系即可得到结论
本题主要考查集合的基本运算以及充分条件和必要条件的应用，求出对应的集合是解决本题的关键．
19.【答案】解：，
可解得：，
所以函数的最大值为
，令，，
，对称轴为，
当，即时，是函数的递减区间，，
得，，与矛盾；
当，即时，是函数的递增区间，，
得，，而，即；
当，即时，，
得，或，而，即；
或．
【解析】本题主要考查了三角函数的最值，一元二次函数的性质的应用，属于中档题．
由，化简可得，从而解得；
，令，，有，对称轴为，讨论即可求得的值．
20.【答案】解：在中，内角、、所对的边分别为、、，且满足，
由正弦定理得：，
又，
，
即，
即，
又、，
，
，当且仅当，即时取等号，
又，当且仅当，即时取等号，
，
即，
即；
由可知为正三角形，
设、，
在中，由余弦定理得：，
即，
又由正弦定理得：，
即，
，
，
为锐角，
，
，
又为正三角形，
，
在中，由余弦定理得：
，
当且仅当时取等号，
的最大值为．
【解析】由正弦定理，结合余弦定理及均值不等式求解即可；
由正弦定理，结合余弦定理及三角恒等变换求解即可．
本题考查了解三角形，重点考查了均值不等式的应用，属中档题．
21.【答案】证明：设，，
，，
令，，
当，，，在递增，
可得，
即为，在递增，
可得，
即有，；
设，，
，，
设，，，
可得在递减，即有，
可得在递减，即有，
即有，，
则，
可得．
【解析】设，，求出导数，令，求得单调性，即可得证；
设，，求出导数，设，，判断单调性，可得，结合指数函数的单调性，即可得证．
本题考查不等式的证明，注意运用构造函数，运用导数判断单调性，考查指数函数的单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：已知，函数定义域为，
可得，
易知当，，
当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减；
当时，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
综上，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递减，
在和上单调递增；
若恒成立，
即在上恒成立，
当时，恒成立；
当时，，
不妨设，函数定义域为，
可得，
不妨设，函数定义域为，
可得，
当时，，
所以，单调递减；
当时，，
所以，单调递增，
则当时，函数取得极小值也是最小值，最小值，
又，，
所以当时，恒成立，
此时，单调递减，
则，
故实数的取值范围为．
【解析】由题意，对函数进行求导，分别讨论当，和
这三种情况，进而即可求解；
将问题转化成在上恒成立，分别讨论当和这两种情况，通过构造新函数，对新函数进行求导，利用导数得到新函数的单调性，进而即可求解．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力．
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