禹州市 2021 级高三上学期第一次阶段性考试
数学 试题卷
一、单选题（每题 5分）
1．设全集U { x N∣ x 6}，集合 A {1, 2, 3}, B {1, 4}，则 U (A B)等于（ ）
A．{1,2,3,4} B．{5} C．{2,4} D．{0,5}
2．若“p：x>a”是“q：x>1或 x<－3”的充分不必要条件，则 a的取值范围是（ ）
A．a≥1 B．a>1 C．a≥－3 D．a≤－3
3．已知函数 y f (x)满足 f (x 1) 2 f (x)，且 f (5) 3 f (3) 4，则 f (4) （ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
1
4．已知函数 f(x)是偶函数，且 f(x)在[0, )上是增函数，若 f ( ) 0，则不等式2
f log4 x 0的解集为（ ）
1 1 1
A．{x|x>2} B．{x | 0 x } C．{ x | 0 x 或 x>2} D．{ x | x 1或 x>2}
2 2 2
ax , x 1
f
f x x1 f x2 5．若函数 a 且满足对任意的实数 x x 都有 0
4 x 2,x 1
1 2 x1 x2
2
成立，则实数 a的取值范围是（ ）
A． 4,8 B． 4,8 C． 1,8 D． 1,8
6．已知函数 f (x) ex 2x 4, g(x) 2x e2 x，若 f (x1) g(x2) 0 ，则 x1 x2 （ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
a ln 3 ,b ln 4 ,c ln 67．设 ，则（ ）
2 3 5
A． a b c B． c b a C． c
（ ）
A． , 4 B． 4,4 C． 4,4 D． 4,
二、多选题（少选给 2 分，选错不给分）
9．已知a 0，b 0，且 a2 b2 2，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． ab 1 B．a b 2 C． lg a lgb 0
1 1
D． 2
a b
10．已知函数 f x 的定义域为R ，且 f x y f x f y ，当 x 0时， f x 0，
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且满足 f 2 1，则下列说法正确的是（ ）
A． f x 为奇函数 B． f 2 1
C．不等式 f 2x f x 3 2的解集为 7,
D． f 2024 f 2023 f 2 f 1 f 0 f 1 f 2
f 2023 f 2024 2024
11．下列说法正确的是（ ）
A．若函数 f (x)的定义域为 [0,2]，则函数 f (2x)的定义域为[0,1]
x2 1
B 1 1． y 的最大值为
2 2
y x 1C． 的图象关于 ( 2,1)成中心对称
x 2
D． f (x) log 22 (x 4x 5)的递减区间是 ( ,2)
12．下列命题正确的有（ ）
1
A．已知 a 0,b 0且 a b 1，则 2a b 2
2
a b a bB．3 4 12 ，则 2ab
C． y x3 3x2 x的极大值和极小值的和为 6
D．过 A( 1,0)的直线与函数 y x3 x有三个交点，则该直线斜率的取值范围是
( 1 , 2) (2, )
4
三、填空题（每空 5分）
x2 2x 2, x 0
13．设函数 f x ，若互不相等的实数x 、x 、 x
log2
满足
x 2 1, 2 x 0 1 2 3
f x1 f x2 f x3 ，则 x1 x2 x3 的取值范围是 ．
1 1
14．已知 lg x lg y 2，则 x y的最小值是 .
15．关于函数 f x log 1 x 1 ，有以下四个命题：①函数 f x 在区间 ,1 上是单调
2
增函数；②函数 f x 的图象关于直线 x 1对称；③函数 f x 的定义域为 1, ；④
函数 f x 的值域为R .其中所有正确命题的序号是 .
16．点 P是曲线 f x 2x2 3lnx上任意一点，则点 P到直线 y x 4的最短距离 .
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四、解答题
17．（10分）
已知 p：实数 x满足 x2 10x 16 0，q：实数 x满足 x2 4mx 3m2 0（其中m 0）.
(1)若m 1，且 p q为真，求实数 x的取值范围；
(2)若 p是 q的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
18．（12分）
已知函数 f (x) ax2 x 1 a(a R)．
(1)若函数 f x 在 0,2 为单调函数，求 a的取值范围；
(2)当a 0，解不等式 f x 0．
19．（12分）
x2 a
设函数 f x a2 ln x x，
4 2
(1)试讨论函数 f x 的单调性；
(2)如果 a 0且关于 x的方程 f x m有两个解 x1, x2 x1 x2 ，证明： x1 x2 2a
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20．（12分）
已知二次函数 f x 同时满足以下条件：① f 2 x f 2 x ，② f 0 1，③ f 2 3．
(1)求函数 f x 的解析式；
(2)若 h x f x m 4 x， x 1,2 ，求：
① h x 的最小值 m ；
②讨论关于 m的方程 m k 的解的个数．
21．（12分）
2
已知函数 f x 1 （ a 0且 a 1）是定义在 R上的奇函数.
8 a x 3 1
（1）求 a的值；
2 t（ ）若关于 x的方程 f x 9 在 1, 上有实数根，求 t的取值范围；
x
（3）若对于 x 1,2 ，使得m f x 2 2恒成立，求m的取值范围.
22．（12分）
据气象中心观察和预测:发生于甲地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度
v km / h 与时间 t h 的函数图象图所示，过线段OC上一点T t,0 作横轴的垂线 l，梯
形OABC在直线 l左侧部分的面积即为 t h 内沙尘暴所经过的路程 s km .
（1） 当 t 15时，求 s的值；
（2）将 s随 t变化的规律用数学关系式表示出来；
（3）若乙城位于甲地正南方向，且距甲地575km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到乙
城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到乙城 如果不会，请说明理由.
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禹州市 2021 级高三上学期第一次阶段性考试
数学 参考答案
1．D 2．A 3．B 4．C 5．A 6．C 7. B 8.C 9.BC 10.ABC 11.AC 12.ACD
13． 1,2 114 5 2． 15．①②④ 16．
5 2
17．【详解】（1） p：实数 x满足 x2 10x 16 0，解得2 x 8，
当m 1时，q： x2 4x 3 0，解得1 x 3，∵ p q为真，
∴2 x 8或1 x 3，∴1 x 8，∴实数 x的取值范围为[1,8]；
（2）∵m 0，由 x2 4mx 3m2 0，解得m x 3m，即q：m x 3m，
∵ p是 q的充分不必要条件，∴q是 p的充分不必要条件，
m 2 8 8
∴ （等号不同时取），∴ 2 m ，∴实数m的取值范围为 2, .
3m 8 3 3
18．【详解】（1）①当 a＝0时， f x x 1在 0,2 上单调递减，符合题意；
②当 a 0时，对称轴 x
1 1 1
1，由题意得 0或 2，∴ a 0或0 a ，
2a 2a 2a 4
1
综上，所求 a的取值范围是 , ．
4
（2）①当 a＝0时， f x x 1 0 1 a；∴ x 1．②当 a＞0时，由 f x 0得 x＝1或 ，
a
1 a 1 a 1 1 a 1 1 a（i）当 即 时， x 1，（ii）当 1即 a 时， x 1，
a 2 a 2 a
1 a 1 1 a
（iii）当 1即0 a 时，1 x ，综上，当 a＝0时，所求不等式的解集为 1, ．
a 2 a
1 1 a
当0 a 时，所求不等式的解集为 x 1 x
，当 a
1
时，所求不等式的解集为
2 a 2
x x 1 1 1 a，当 a 时，所求不等式的解集为 x x 1 2 ． a
19．【详解】（1） f x 的定义域为 0, ，
a
2 1 a x2 ax 2a2 x a x 2a
∴ f x x ，令 f x 0，解得 x a，或 x 2a，
x 2 2 2x 2x
当 a<0时，则当0 x 2a时， f x 0，当 x 2a时， f (x) > 0 ，
∴ f x 在 0, 2a 上为减函数，在 2a, 上为增函数，
当a 0时，则当0 x a时， f x 0，当 x a时， f (x) > 0，
∴ f x 在 0,a 上为减函数，在 a, 上为增函数，
当 a 0时， f (x) > 0 恒成立，即 f x 在 0, 上是增函数，
答案第 1页，共 4页
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综上可得，当 a<0时， f x 在 0, 2a 上为减函数，在 2a, 上为增函数，
当a 0时， f x 在 0,a 上为减函数，在 a, 上为增函数，
当 a 0时， f x 在 0, 上是增函数，
（2）证明：当 a 0且关于 x的方程 f x m有两个解 x1, x2 x1 x2 等价于当a 0存在
f x1 f x2 ， x1 x2 由（1）当 a 0时， f x 在 0,a 上为减函数，在 a, 上为增函
数，不妨设 x1 a x2 ，g x f a x f a x x 0,a ∴ g x f a x f a x
3a x x 3a x x 2ax2
0
2 a x 2 a x a 2 x 2
∴ g x 在 0,a 上单调递减，∴ g x g 0 0 ，即当 x 0,a 时， f a x f a x ，
由于0 a x1 a，∴ f a a x1 f a a x1 ，即 f x1 f 2a x1 ，
∵ f x1 f x2 ，∴ f x2 f 2a x1 ，
又 x2 a，2a x1 a， f x 在 a, 上为增函数，∴ x2 2a x1 ，即 x1 x2 2a .
20 2．【详解】（1）（1）由 f 2 x f 2 x 得，对称轴为 x 2，设 f x a x 2 b ，
f 0 4a b 1 a 1 2
∴ 2
f
，得 ，∴ f x x 2 3 x 4x 12 b ． 3 b 3
（2）（2）① h x f x m 4 x x2 mx 1， x 1,2 m，对称轴 x ，
2
m
ⅰ当 1即m 2时， h x 在 1,2 单调递增， h x h 1 2 m
2 min
，
m m
ⅱ 1
m
2 即 4 m 2时， h x 在 1, 单调递减，在 , 2 单调递增，2 2 2
2
∴h x h m 1
m
min ， 2 4
m
ⅲ当 2即m 4时， h x 在 1,2 单调递减，
2
5 2m, m 4,
h x h 2 5 2m h x m m
2
1 , 4 m 2,
min ，综上： min
4
2 m, m 2.
答案第 2页，共 4页
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②画出函数 y m 的图象图下图所示：
利用图象的翻转变换得到函数 y m 的图象如图所示：
方程 m k 的根的个数为函数 y m 的图象与直线 y k的交点个数，由图象可知：
当 k 0 时，方程 m k 无解；当0 k 1时，方程 m k 有 4 个解；当 k 0或 k 1时，
方程 m k 有 2 个解；当 k 1时，方程 m k 有 3 个解.
f 0 2 1 0
21 ．【详解】（1）由于函数 y f x 是 R上的奇函数，则 8 1 ，解得 a 2，
a3
2 2 2 x
x x
1 f x 2
x 1 2 2 1 1 2x
f x 1 1 ，则 x f x8 2 x 3 1 2 x 1 2 x 1 2 1 2x 2 x 1 ，1 2x
所以，函数 y f x 为奇函数；
2 2 2
（2）由（1）得， f x 1 ，当 x 1时， 2xx 1 3， 0, ，2 1 2x 1 3
f x 1 ,1 1 9t 1 1 所以 ，所以 ，则 1 2t 0，解得 t ,0 . 3 3 2
1
因此，实数 t的取值范围是 ,0 ； 2
（3）由mf x 2x 2 x x得， 4 3 m 2 2 m 0，
设 k 2x 2,4 2，由题意知 k 3 m k m 0对 k 2,4 恒成立，
g 2 12 m 0
令 g k 2 k 3 m k 2 m ，由题意得 ，解得m 12 g 4 30
.
3m 0
因此，实数m的取值范围是 12, .
答案第 3页，共 4页
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22【. 详解】（1）设直线 t 15分别交直线 AB、EF 于点D、T，则 AD 5，OT 15，DT 30，
s 5 15 30则 的值为直角梯形 ADTO的面积，所以， s 300 km ；
2
1 3
（2）当0 t 10 时，此时OT t，TD 3t s t 3t t 2， （如图1）；
2 2
当10 t 20时，此时OT t， AD ET t 10，TD 30（如图 2 ），
s S S 1 AOE ADTE 10 30 30 t 10 30t 150；2
当20 t 35时， B、C的坐标分别为 20,30 、 35,0 ，
直线 BC的解析式为 v 2t 70， D点坐标为 t, 2t 70 ，TC 35 t，TD 2t 70（如
图3）.
s S S 1 1 2OABC CDT 10 35 30 35 t 70 2t t 70t 5502 2
3 2
t , t 0,10
2
综上， s 30t 150, t 10,20 ；
t2 70t 550, t 20,35
3
3 2（ ）沙尘暴会侵袭到乙城. 当 t 0,10 时， smax 10 150 575；当 t 10,20 时，2
smax 30 20 150 450 575 ；当 t 20,35 时，令 t 2 70t 550 575 ，解得 t1 25，t2 45，
20 t 35， t 25 .所以沙尘暴发生 25h后侵袭到乙城.
答案第 4页，共 4页
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