专题07用“推理法”解决算式谜
一道完整的算式，缺少几个数字，那就成了一道算式谜。解算式谜，就是要将算式中缺少的数字补齐，使它成为一道完整的算式。 解算式谜的思考方法是推理加上尝试，首先要仔细观察算式特征，由推理能确定的数字先填，不能确定的数字，要分儿种情况，逐一尝试。 要认真分析已知数字与所缺数字的关系，找准解题的突破口。
1．图是一个残缺的乘法算式，补全后这个算式的乘积应是多少？
2．在下面乘法算式的空格内，各填上一个适当的数字，使算式成立．
3．已知图所示的乘法竖式成立．那么ABCDE是多少
4．不同的汉字代表不同的数字，请推出“我们喜欢数学”分别表示什么数字？
5．在图所示的除法竖式中，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字．那么被除数是多少
6．下面等式中每一个汉字代表一个数字，相同汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，请你写出各汉字代表的数字．
（1） （2）
（3） （4）
7．图是两个三位数相减的算式，每个方框代表一个数字．问：这6个方框中的数字的连乘积等于多少
8．下面算式中，所有分母都是四位数，请在每个方格中各填入一个数字，使等式成立．
9．下面算式里，相同的汉字代表同一个数字，不同的汉字代表不同的数字。
好好好好好好÷坚＝坚持再坚持
10．下面是一道乘数是两位数的乘法，请你在里填上合适的数．
11．在图中的乘法算式中，每一个□中要填一个数字，不同的中文字代表不同的数字，请问：“新年”两字代表什么数字？
12．下面的算式中相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。
13．将下列算式中的“□”换成适当的数字。
14．在图所示的竖式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字．则符合题意的数“迎春杯竞赛赞”是多少
15．不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字．下列算式中的汉字各代表什么数字时，算式成立．
16．在图所示的加法算式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字．请把这个竖式翻译成数字算式．
17．下面竖式中的字母各代表什么数字？
18．下面是两个五位数相乘的乘法算式.其中“从小爱数学”的每一个字代表一个数字.请你根据这个算式,确定出“从小爱数学”所表示的五位数.
19．已知两个四位数的差是8921（如图1所示），那么这两个四位数的和的最大值是多少？
图1
20．下面各个竖式中的汉字分别表示几？
21．下面算式中的“青山绿水”这四个汉字各代表什么数字？
22．下式中，每个字各代表一个不同的数字，其中“心”代表9，请问其他汉字分别代表哪个数？
23．已知“赛”=6，那么“南通市数学”所表示的五位数是什么？
24．下面的算式里，四个小纸片各盖住了一个数字。被盖住的四个数字的总和是多少？
25．在图所示的算式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字．请把这个竖式翻译成数字算式．
26．在下列竖式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字．请你用适当的数字代替字母，使竖式成立．
（1） （2）
1．1862
【详解】因为99×9＝891，所以被乘数与乘数个位数字的积，首位数字小于等于8．又因为积的前两位数组成18，所以被乘数与乘数的个位数字相乘，首位数字是8；与乘数的十位数字相乘，首位是9．
因为99×8＝792，所以乘数的个位数字一定是9，而且88□÷9＝98．
乘数是19．乘积是98×19＝1862．
2．
【分析】在这个乘法算式中，关键是把乘数和被乘数中的空格先填出来，其他的空格根据乘法的计算法则就可以填出来了．
【详解】为了分析时叙述方便，我们设被乘数是ab5，乘数是1cd（ab5表示百位数字是a，十位数字是b，个位数字是5的三位数），原式变为如下的算式：
由乘法竖式可以看出，第一部分积2□□5=2□75，由于它的个位数字是5，所以d只能取奇数，但不能是1（是1的话，第一部分积就该是ab5了），即d可能是3、5、7、9，由第二部分乘积13□0的个位数字是0可知c只能取偶数，即C可能是2、4、6、8．
由于乘积的最高位数字是4，所以第三部分积□□□的最高位数字只能是2或3，也就是说，a=2或a=3．
（1）如果a=2，那么第一部分积的算式变为□75，由这个算式可推得d=9，6=7，即275×9＝2475，这时求第二部分积的算式为275×c=13□0，经试验可知，无论c取任何数值这个等式都不能成立，这说明a不能取2．
（2）如果a＝3，那么求第一部分积的算式变为×d=2□75，由这个算式可推得d=7，b=2，即325×7=2275，这时求第二部分积中的算式变为325×c=13□0，经试验可知c=4，即325×4=1300．因此得被乘数ab5=325，乘数1cd=147，这样其余的空格根据竖式乘法法则就很容易填出来了．
3．42857
【详解】设＝x，则＝100000+x，＝10x+1，
那么有(100000+x)×3＝10x+1，即299999＝7x，方程两边同时除以7，有42857＝x．
即ABCDE为42857．
解法二：从乘法算式最后一位看起，由于积E×3的末位数字是1，我们可以断定E＝7．
于是，再根据积D×3的末位数字是7－2＝5，可以断定D为5；
同样，根据积C×3的末位数字是5－1为4，可以断定C为8；
根据积B×3的末位数字是8－2为6，可以断定B为2；
根据积A×3的末位数字是6，从而断定A为4．
那么ABCDE是42857．
4．142857
【解析】略
5．
【详解】由竖式中C－C＝Y或10+(C－1)－C＝Y得Y＝0或9．
若Y＝0，则由最后一个减式得L＝1，G＝9，R＝8，导致A＝R，矛盾．所以Y＝9；
仍由最后一个减式得L＝8，G＝0，R＝1，A＝2，从而用1989U÷8得除数中的I为4．再由8914÷248S得商的首位C＝3，并且S＝7，即被除数是891437．
除法算式为891437÷2487＝358……1091．竖式如下：
．
6．（1）兵=5、炮=2、马=4、卒=0、车=l
（2）祖=l、冲=2、之=3、杯=4、数=6、学=7、竞=8、赛=9
（3）扬=l、子=7、晚=6、报=2
（4）喜=l、欢=3、惊=9
【详解】略
7．0
【详解】显然被减数，减数的百位数字只能是9和1，那么它们的十位数字只能为9和0，它们的个位数字可以为9和5，8和4，7和3，6和2，5和1，4和0．
因为这6个数字中含有0，所以这6个数字连乘的积为0．
8．或
【详解】
由于1988＝2×2×7×71＝4×497，所以，将上面等式的两边都乘上，就得，这样就给出了一组适合条件的解．
再如，，两边同乘以，就得，这就给出了另一组解．
9．（1）欢＝4，庆＝2，澳＝1，门＝9，回＝7，归＝8。
（2）好＝1，坚＝3，再＝0，持＝7。
【分析】（1）假设：欢＝1，则“庆澳门回归＝归回门澳庆”与题意矛盾；
假设：欢＝9，则若要乘后仍保持五位数庆＝1，进而要求“归×9＝1”，该假设不成立；
同理，当欢＝8到5时，也会出现同样的情况，使假设不成立；
假设：欢＝4，则若要乘后仍保持五位数，则庆＝1或2，当庆＝1时，归×4＝1，该假设不成立；
当庆＝2时，归＝8或9，若归＝9，9×4＝36与庆＝2矛盾，该假设不成立，若归＝8，澳＝1（因为若澳＝2则与庆重复，若等于3以上会产生进位）由此可得回＝7，进一步可得门＝9；
同理可证明：欢＝2或3时均不成立；据此即可解答。
（2）“好好好好好好”一定是11的倍数，是“坚持”的倍数，根据乘法口诀知两个相的数相乘的积的末尾数只能是“1，4，9，6，5”，所以“好好好好好好”，只能是111111，444444，999999，666666，555555中的一个数，如“好”是5，则“持”也是5不合题意；
如“好”是1，则111111＝3×3×11×13×37，不能写成“坚持×坚持再坚持”的形式
如“好”是4，则444444＝2×2×2×3×3×11×13×37，37037×12＝444444，据此即可解答。
【详解】（1）
所以欢＝4，庆＝2，澳＝1，门＝9，回＝7，归＝8
（2）444444÷12＝37037
所以好＝1，坚＝3，再＝0，持＝7
【分析】本题考查同学们的逻辑推理能力，关键是要通过细心观察发现突破口在哪里。
10．填法一：
填法二：
填法三：
【详解】略
11．15
【分析】此题也是乘法数字谜中非常经典的一个题型，综合运用的分析法非常的多，且反复使用，环环相扣，同学可以在练习中好好体会其中的巧妙之处，依次包括：个位分析法（乘法与加法）（步骤1，2，3），结合数位考虑数字大小估算分析法（步骤1），循环推导（步骤2，3）．
【详解】解：
1、A行中末位为1，可推知a×b有四种可能性，1×1，3×7，7×3，9×9，又因为A行中为5位数，所以排除1×1，若a×b为9×9，则又结合B，C，D行中末位为9，可推出h，f，d为1，与B，C，D都为5位数矛盾，排除．3×7，7×3暂时不能确定．
2、假设a=7，b=3，由三个末位数是9，可推知h=f=d=7，这样反复利用乘法和加法的个位分析法，可推知c=6，e=4，g无法满足．假设排除．
3、假设a=3，b=7，由三个末位数为9，可推知h=f=d=3，同步骤2反复利用乘法与加法个位分析法，可依次推出c=4,e=5,g=4，而且满足新=1,年=5，所以“新年”代表15．
【分析】此题属于乘法数字谜中较难的题型，由于题目中出现的几个数字都为个位数，所以首先考虑运用个位分析法进行突破．
12．1，7，6，5，0或1，8，3，2，5
【分析】从个位入手分析，习可以是0或5，分类进行讨论，然后确定其它的几个汉字所代表的数字。
【详解】情况一：习＝0，个位不进位，十位学＝5，十位进2位，百位爱＝6，百位进2位，千位肯定进1位，所以我＝1，们＝7；
情况二：习＝5，个位进2位，十位学＝2，十位进1位，百位爱＝3，百位进1位，千位肯定进1位，所以我＝1，们＝8。
【分析】对于加减法竖式谜问题，如果有多种情况，需要进行分类讨论。
13．见详解
【分析】为方便表述，第一个因数记为，第二个因数记为，F和 相乘得到210，可能是或，最终是两个数相加，所以E是0，D和 相乘，得到一百多的一个数，进而确定只能是105，且D是1。
【详解】
【分析】此问题考查的是乘法竖式谜，求解乘法竖式谜的时候可以进行分拆，考虑每一步具体的情况。
14．乘积为428571或857142
【详解】设“赞”＝x，“迎春杯竞赛”＝y，有“赞迎春杯竞赛”＝100000x+y，“迎春杯竞赛赞”＝10y+x，
有(100000x+y)×好＝10y+x，依次验证“好”的取值，“好”只能取3，所以有(100000x+y)×3＝10y+x，
299999x＝7y，42857x＝y，当y＝1时，x＝42857；y＝2时，x＝85714．
那么“迎春杯竞赛赞”是428571，或857142．
解法二：六位数与一位数相乘得六位数，说明，“好”与“赞”的积不能超过9．显然“好”≠0，1，否则“好”与“赛”之积的末位数字不等于“赞”．
当“好”≥5时，“赞”只能时1，这时“好”与“赛”相乘，个位为1，所以“好”为7时，积的首位数字“迎”至少为7，而17×7＞100，从而积不是6位数，所以“好”≤4．
当“好”为4时，积的个位数字“赞”是偶数，从而被乘数的首位只能是2，而积的首位数字“迎”至少是8．但28×4＞100，从而积不是6位数，不满足；
当“好”为2时，同样可得“赞”是偶数并且为4，而被乘数的个位数字“赛”只能是7，十位数字“竞”只能是3或8，这时“杯”无论取什么数，都不能与“好”相乘使末位数字为3或8－1＝7，不满足；
所以“好”只能为3，从而被乘数的首位数字“赞”≤3，因而只能为1或2．
(1) “赞”取1，于是有“赛”＝7，“竞”＝5，“杯”＝8，“春”＝2，“迎”＝4．
(2) “赞”取2，于是有“赛”＝4，“竞”＝1，“杯”＝7，“春”＝5，“迎”＝8．
验算有：
，．
综上知，乘积为428571或857142．
15．我=1 们=4 热=2 爱=8 数=5 学=7
【分析】从积的位数上看，积仍是五位数，说明“我=l”，那么“学”可能是5、6、7、8、9．
如果“学”=5，从积的个位看，“数”也是5，与题意不符．
如果“学”=6，从个位开始分析：“数”=0，“爱”=3，“热”=5，“们”=6，与“学”重复．
如果“学”=7，从个位开始分析：“数”=5，“爱”=8，“热”=2，“们”=4，符合题意．
如果“学”=8，从个位开始分析：“数”=0，“爱”=4，“热”=0，与“数”重复．
如果“学”=9，“数”=5，“爱”=9，与“学”重复．
【详解】由上述分析可得
即：我=1 们=4 热=2 爱=8 数=5 学=7
16．9567+1085＝10652
【详解】首先可以确定的是“华”＝1，因为两个数字相加不可能大于19．既然“华”＝1，而“香”+“华”向前进了一位，因此“香”只可能是8或9．
相应地，“人”也只能是0或1，因为不同的汉字表示不同的数字，所以“人”只能是0．那么，“香”只能为9．
看百位，“人”等于0，“港”和“回”表示不同的数字，因此在十位上一定有进位，使得“回”＝“港”＋１．
看十位，有两种情况：
第一种：“回”+“爱”＝“港”+10．（个位无进位）第二种：“回”＋“爱”＋１＝“港”＋1０．（个位有进位）利用“回”＝“港”＋１，如果是第一种情况，那么“爱”＝９，即“爱”和“香”表示同一个数字，与条件不符．
所以只可能是第二种情况，即“港”+1+“爱”＝“港”+10．因此：“爱”＝8．
因为0、1、8、9四个数字都已经出现过了，所以“港”字只能表示2、3、4、5、6、7中的一个，因为“回”＝“港”+1，所以“港”不能等于7，否则“回”就等于8了． 因为个位有进位，所以“港”不能等于2、3和4，否则会使得“游”字与其它数字重复．
因此，“港”只能是5或6中的一个．
如果“港”等于6，那么“回”＝7，“归”+“港”＝“游”+10．而这个式子必然会使得数字重复．
所以“港”一定等于5，于是“回”等于6，“归”等于7，“游”等于2．
整个式子为：9567+1085＝10652．
17．a=1，b=0，c=8，s=9
【详解】略
18．90625
【详解】设“从小爱数学”=,则应为100000的倍数.即与的末五位数字相同,它们的差是100000的倍数.因是两相邻整数,且它们互质.
又100000==32×3125,故与中奇数是3125的倍数,偶数是32的倍数.
由算式中不难看出,“小”=0,故能被3125整除的五位数中仅40625和90625符合.与它们相邻的数为40624、40626或90624、90626.但此四数中仅90624是32的倍数.
故所求的数为90625.
19．11077
【分析】由数字可知减数的千位上不能为零，而其对应的差为8，所以被减数与减数的千位数必定分别为9与1．同样百位上的数分别是9与0．要求两个四位数的和的最大值，在千位与百位已确定的情况下，十位，个位上的数字差一定，只需其和最大即可．
【详解】据以上分析知，被减数与减数十位上的数字分别为9和7，个位上的数字为9和8，所以这两个数为9999与1078．
因为9999+1078=11077
所以，这两个四位数的和的最大值是11077．
20．甲＝2；乙＝1；丙＝7；丁＝8
华＝8；罗＝5；庚＝7；数＝1；学＝4
【分析】（1）四位数乘以4以后仍然是四位数，那么甲只能是1或2，又因为得数的甲在个位，那么甲只能为2，填1则找不到数字和4相乘位数为“1”，甲填2以后，丁只能填3或8和4相乘位数是2，填3那么丁为3，甲×4＝8，得数的丁位得不到3，所以丁为8，丙依次尝试可以得到为7，乙为1时符合题意。
（2）欲求乘法算式中每个字代表的数，需根据乘法法则进行解答。仔细观察乘法算式，根据3×4＝12，可得学＝4，再由数×3＋1的末尾为4，得出“数”代表的数，接下来依次进行运算，结合进位和退位的知识，得出每个汉字代表的数。
【详解】（1）根据整数乘法：
故甲＝2；乙＝1；丙＝7；丁＝8。
（2）根据整数的乘法，可得：
故华＝8；罗＝5；庚＝7；数＝1；学＝4。
【分析】本题考查的是竖式文字谜，需要非常强的逻辑推理能力，首先需要找到突破口，细心观察推算最终得到答案。
21．
【详解】因为四位数“青山绿水”乘9的积是四位数，可知“青”代表1；“水”和9相乘的积的个位上的数是1，可知“水”只能是9；因为积的千位上的数是9，乘数百位上的“山”与9相乘，积不能进位，所以“山”只能是0或者1；经试算，“山”不可以是1；如果“山”代表0，那么“绿”就代表8．所以，这个四位数是1089．
22．少代表1，年代表2，足代表3，球代表4，俱代表5，乐代表6，中代表7。
【分析】心代表9，心＝9，根据9×9＝81，可知少＝1；由于11－8＝3，可知中＝7；根据11－7＝4，可知乐＝6；根据11－6＝5，可知俱＝5；根据11－5＝6，可知球＝4；根据11－4＝7，可知足＝3；根据11－3＝8，可知年＝2。
【详解】
答：少代表1，年代表2，足代表3，球代表4，俱代表5，乐代表6，中代表7。
【分析】本题考查通过9的乘法算求找规律求解，掌握9的乘法口诀。
23．15384
【详解】个位上：6×4=24，可得“学”=4，向十位上进2；
十位上：4×4+2=18，可得“数”=8，向百位上进1；
百位上：8×4+2=34，可得“市”=3，向千位上进3；
千位上：3×4+3=15，可得“通”=5，向万位上进1；
万位上：1×4+1=5，可得“南”=1；
那么“南通市数学” 所表示的五位数是15384．
24．23
【分析】149的个位数是9，说明两个个位数字相加没有进位，因此，9是两个个位数字的和，14是两个十位数字的和，据此可以计算出四个数字之和是多少。
【详解】9＝两个个位数字相加的和，14＝两个十位数字相加的和，所以，四个数字的总和是14＋9＝23。
答：被盖住的四个数字的总和是23。
【分析】本题考查应用两位数加两位数的计算法则解决问题。
25．142857×7＝999999
【详解】分析可知，“好”代表的数字只可能是1、4、5、6、9中的一个．
可以排除“好”是1的情况，因为111111这个数太小了．
既然“好”不是1，那么“学”就不可能是1和9，因为这两个数字平方的个位都是1．
如果“学”代表的是偶数，那么“好”就只可能代表4或6．
如果“好”代表6，则“学”只可能是4或6，那么个位向十位进位分别是1和3，就使得积的十位只能是奇数而不能是偶数了．
因此“好”不等于6．同理，“好”也不等于4，于是“学”不是偶数，只能是奇数．
综上可得，“学”只能是3、5和7中的一个．
若“学”是3，看个位知“好”是9，于是积是999999．因此第一个乘数应是：999999÷3＝333333．这不可能，所以“学”不等于3．
若“学”是5，则看个位知“好”也是5，不符合条件，所以“学”不是5．
因此“学”只能是7，此时“好”等于9．
利用乘数的运算规则和乘数竖式求出：142857×7＝999999．
26．（1） （2）
【详解】（1）由百位加法知，A=B+l；再由十位加法A+C=B+10，推知C=9，进而得到A=5，B=4（见式①）．
（2）由千位加法知B=A-l，再由个位减法知C=9．因为十位减法向百位借1，百位减法向千位借1，所以百位减法是（l0+B-l）-A=A，化简为9+B=2A，将B=A-1代入，得A=8，B=7（见式②）．
