考点通关06 全等三角形动点问题
1．如图①，在中，，．现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为．设运动时间为．
(1)当时， ；当时， ；
(2)如图①，当 时，的面积等于面积的一半；
(3)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，请直接写出点的运动速度．
【答案】(1)
(2)或
(3)运动的速度为或或或
【分析】（1）当时，点P在线段上，根据点P速度表示的长即可；当时，点P在线段上，根据点P速度表示的长即可；
（2）分两种情况讨论：①点P在上；②点P在上，利用三角形面积分别求解即可；
（3）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度=路程÷时间求解即可
【详解】（1）当时，点P在线段上，
∵点P速度为，
∴；
当时，点P在线段上，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵，，
∴，
∵的面积等于面积的一半，
∴，
①当点P在上时，
，
∴，
；
②当点P在上时，
过点C作于点D，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
；
故答案为：或；
（3）设点的运动速度为，
①当点在上，点在上，时，
，
∴
解得；
②当点在上，点在上，时，
，
∴，
解得；
③当点P在上，点在上，时，
，
∴点P的路程为，点Q的路程为，
∴
解得；
④当点P在上，点Q在上，时
，
∴点P的路程为，点Q的路程为，
∴
解得；
∴运动的速度为或或或．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键．
2．已知，，点P是射线上的一个动点．
(1)如图1，连接，若，，求证：；
(2)如图1，连接，若，，则是否成立，若成立，写出证明过程，若不成立，请说明理由；
(3)如图2，连接，若，，，射线平分，射线平分，射线与射线相交于点Q，则的度数为．
【答案】(1)见解析
(2)成立，证明见解析
(3)或
【分析】（1）由，，，可依据“”判定和全等；
（2）由于，，因此过点B作的延长线，过点作的延长线，可先依据“”判定和全等得，再依据“”判定和全等得，最后再依据“”判定和全等，进而可得出结论；
（3）以点E为圆心，以为半径画弧交与点P、，显然，和不全等，然后根据角平分线的定义和三角形的内角和定理分别求出和的度数即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
在和中，，
∴；
（2）解：成立，证明如下：
延长，过点B作的延长线，垂足为R；
延长，过点作的延长线，垂足为T，
证明：∵，
∴，
∵的延长线，垂足为R，的延长线，垂足为T，
∴，
在和中，
∴，
∴，
在和中的，
∴，
∴，
在和中，，
∴；
（3）解：以点E为圆心，以为半径画弧交与点P、，
显然，和不全等，
由，得，
又∵，
∴，
∵射线平分，射线平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
综上所述，的度数为或，
故答案为：或．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理等，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，特别需要注意的是：已知一个三角形的两边和其中一条边的对角相等时，这两个三角形不一定全等，只有当相等的角是直角或钝角时，这两个三角形才全等．
3．如图，已知平分且点M是射线上一动点，交射线于点N．
(1)当时，求的度数；
(2)当时，求证：；
(3)试探究线段之间的数量关系．
【答案】(1)；
(2)见解析；
(3)．
【分析】（1）根据平行线的性质求出角度之间的关系，利用角平分线求出相等的角，最后推出答案.
（2）延长交于E，根据平行线的性质和角平分线的定义可得是等腰三角形，由“等腰三角形三线合一”的性质可得，再根据ASA证明，由此可证.
（3）延长交于F，根据平行线的性质和角平分线的定义可得是等腰三角形，由“等腰三角形三线合一”的性质可得，再根据ASA证明由此可证最后可证得.
【详解】（1）
∵平分
，
．
（2）如图，延长交于E，
∵平分
为等腰三角形，
在和中，
，
（3）
如图，延长交于点F，
∵平分
为等腰三角形，
，
在和中，
，
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定和性质，综合性较强，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.
4．如图，在中，，，点为射线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转90°，点旋转至点．
(1)如图1，过点作交于点，求证：；
(2)如图2，连接交于点，若，求证：是的2倍；
(3)是射线上一点，直线交直线于点，若，则______．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由，可得，再结合旋转的性质，通过即可证明全等；
（2）过F点作交AC于H点，根据（1）中结论可得，即可证明，可得，设，，则，分别用含a的式子表示和，即可解题；
（3）过F作的延长线交于点G，设，，由（1）（2）可知，，可得，分别用含m的式子表示出和，即可求解．
【详解】（1）证明：，，
在和中，
，
（2）证明：如图2，过F点作交于H点，
，
，
在和中，
，
，
，
，
设，，则
，
，
即是的2倍；
（3）解：过F作的延长线交于点G，如图3，
，，，
设，，
，，
由（1）（2）知： ，，
，
，，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例线段的性质，全等三角形的判定和性质，需要掌握全等三角形的判定，全等三角形对应边相等的性质，通过已知条件证明三角形全等是解题的关键5．在中，，，D是射线上一动点，连接，以为边作，在右侧，与过点A且垂直于的直线交于点E，连接．
(1)当都在的左侧时，如图①，线段之间的数量关系是_________；
(2)当在的两侧时，如图②，线段之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明；
(3)当都在AC的右侧时，如图③，线段之间有怎样的数量关系？直接写出你的猜想，不必证明．
【答案】(1)
(2)，详见解析
(3)
【分析】（1）过点C作，交AB延长线于点F，如图，先证明，得到，，然后证明解题即可；
（2）过点C作，交AB于点F，如图，先证明，得到，，然后证明解题即可；
（3）过点C作，交AB于点F，如图，先证明，得到，，然后证明解题即可；
【详解】（1）过点C作，交AB延长线于点F，如图．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，．
∵，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
故答案为：．
（2）图②的猜想：．
证明：过点C作，交AB于点F，如图②．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，．
∵，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
（3）过点C作，交AB于点F，如图
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，．
∵，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
6．如图1，在中，，，点P、Q分别是边、上的动点（端点除外），点P从点A、点Q从点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接、交于点M．
(1)求证：；
(2)点P、Q分别在、边上运动时，变化吗？若变化，请说明理由；若不变，请求出它的度数．
(3)如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线、上运动，直线、交点为M，直接写出的度数．
【答案】(1)见解析
(2)不变，是定值
(3)
【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用证明三角形全等即可；
（2）根据全等三角形的性质以及三角形外角的性质，得到，即可得解；
（3）证明，得到，利用三角形的内角和定理，推出即可．
【详解】（1）证明：∵点P、Q运动速度相同，
∴，
在与中
，
∴；
（2）点P、Q在AB、BC边上运动的过程中，不变
理由：∵，
∴，
∵是的外角，
∴，
∵，
∴；
（3）解：∵点P、Q运动速度相同，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即：．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的外角以及三角形内角和定理．熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
7．在中，，平分，M为直线上一动点，，E为垂足，的平分线交直线于点F．
(1)如图1，点M为边上一点，则的位置关系是___________，并证明；
(2)如图2，点M为边延长线上一点，则的位置关系是___________，并证明；
【答案】(1)，证明见解析
(2)，证明见解析
【分析】（1）过点作，首先证明，得到，然后根据角平分线的概念和平行线的判定求解即可；
（2）延长交于点，首先根据三角形的内角和定理得到，然后根据角平分线的概念及垂直的判定求解即可．
【详解】（1），理由如下：
过点作，
，，，
，
，
，
，
，
，
；
（2），理由如下：
延长交于点，
，，
，
．
，
，
．
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理、三角形的内角和、平行线的判定及垂直的判定，是一道综合题．
8．已知：中，，，D为直线BC上一动点，连接AD，在直线AC右侧作，且．
(1)如图1，当点D在线段BC上时，过点E作于H，连接DE，求证：；
(2)如图2，当点D在线段BC的延长线上时，连接BE交CA的延长线于点M．
求证：；
(3)当点D在射线CB上时，连接BE交直线AC于M，若，则的值为______．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)或
【分析】（1）由，得，根据余角的性质可证，根据证明即可；
（2）作交的延长线于点F，先证明，得，再证明可证结论成立；
（3）分当点D在的延长线上时和当点D在线段上时两种情况求解即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）如图，作交的延长线于点F，
∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∵．
（3）当点D在的延长线上时，作交的延长线于点G，则，
∵，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∴的值为；
当点D在线段上时，作于点G，
同理可证：，，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
综上所述，的值为或，
故答案为：或．
【点睛】此题考查了同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键．
9．如图，在中，，，E为线段上一动点，连接，作且．
(1)如图1，过点F作于点D，求证：；
(2)如图2，连接交于点G，若，，求证：E为中点．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）证明，得到：，进而得到；
（2）证明，得到，得到的长度，进而得到点是的中点，根据，即可得证．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即点为的中点．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．熟练掌握三角形的判定方法，证明三角形全等，是解题的关键．
10．如图1，直线于点B，，点D为中点，一条光线从点A射向D，反射后与直线l交于点E（提示：作法线）．
(1)求证：；
(2)如图2，连接交于点F，连接交于点H，，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，点P是边上的动点，连接，，求的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)5
【分析】（1）由可证，可得；
（2）由可证，可得，由余角的性质可得结论；
（3）由可证，可得，则当点E，点P，点D三点共线时，有最小值，即有最小值为的长，由面积法可以求解．
【详解】（1）证明：如图1，过点D作，
由题意可得：，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴当点E，点P，点D三点共线时，有最小值，即有最小值为的长，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴的最小值为．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，寻找条件证明三角形全等是解题的关键．
11．中，，过点作．连接为平面内一动点．
(1)如图1，若，则 ．
(2)如图2，点在上，且于，过点作于，为中点，连接并延长，交于点．求证：；
(3)如图3，连接，过点作于点，且满足，连接，过点作于点，若，求线段的长度的取值范围．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由平行线的性质可得，即可求解；
（2）由“”可证，利用全等三角形的性质可得，由“”可证，利用相似三角形的性质可得，可得结论；
（3）由“”可证，可得，由三角形的三边关系定理可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为中点，
∴，
又∵，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）连接，如图，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．
∴当点，点，点共线时，最大值为，最小值为，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，以及三角形的三边关系，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
12．如图，中，，，点是直线上的一动点（不和，重合），于，交直线于．
(1)点在边上时，证明：；
(2)在（1）的条件下，证明：；
(3)点在的延长线或反向延长线上时，探索，，这三条线段之间的数量关系，请画出图形并直接写出正确结论．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)点在的延长线上时，；点在的反向延长线上时，
【分析】（1）易证，结合条件容易证到；
（2）由，从而有，就可得到；
（3）由于点的位置在变化，因此线段之间的大小关系也会相应地发生变化，只需画出图象并借鉴（1）中的证明思路就可解决问题．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
在和中，
．
∴．
∴．
（2）∵，
∴，
∴．
（3）解：①当点在的延长线上时，如图2．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
则；
②点在的反向延长线上时，如图3．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段和差等知识，当条件没有改变仅仅是图形的位置发生变化时，常常可以通过借鉴已有的解题经验来解决问题．
13．如图，在中，，，，点是边上的一动点（点不与端点A、重合），过点A作于点，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)在点移动的过程中，若，试求的长；
(3)试探索，在点移动的过程中，的大小是否保持不变？若保持不变，请求出的大小；若有变化，请说明变化情况．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)不变，为135°
【分析】（1）根据同角的余角相等证得，根据AAS证明△ACE≌△BCP即可；
（2）由得到，即可利用余角定义求出，证得 ，结合得到．再根据全等三角形的性质求得CP=CE，即可求出答案；
（3）的大小保持不变． 作于点，于点，证明 ，得到，由此推出平分，求出，即可求出=135°．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
∴；
（2）解：∵，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴；
（3）解：的大小保持不变．理由如下：
作于点，于点，如图．
∵，
∴，．
在和中，
∴，
∴．
又∵，，
∴平分，
∴，
∴，即的大小保持不变，为135°．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，余角的定义，角平分线的判定定理，熟记全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
14．如图，，，，，点在线段上以的速度，由向运动，同时点在线段上由向运动．
(1)如图1，若点的运动速度与点的运动速度相等，当运动时间，与是否全等？说明理由，并直接判断此时线段和线段的位置关系；
(2)如图2，将“，”为改“”，其他条件不变，若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能使与全等．
(3)在图2的基础上延长，交于点，使，分别是，中点，如图3，若点以（2）中的运动速度从点出发，点以原来速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，求出经过多长时间点与点第一次相遇．
【答案】(1)全等，理由见解析；垂直
(2)
(3)
【分析】（1）利用证得，得出，进一步得出，得出结论即可；
（2）由，分两种情况：①，，建立方程组求解后发现此时点的运动速度与点的运动速度相等，与题目不符，故舍去；②，，建立方程组求得答案即可；
（3）因为以（2）中的运动速度从点出发，点以原来速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，只能是点绕圈追上点，即点比点多走的路程，据此列出方程，解这个方程即可．
【详解】（1）全等，理由如下：
当时，，，
又，
在与中，
，
，
，
，
，
线段与线段垂直．
（2）设点的运动速度，
①若，则，，
，
解得，
由于此时点的运动速度与点的运动速度相等，不合题意，故舍去此种情况；
②若，则，，
，
解得，
综上所述，当点的运动速度为时，能使与全等．
（3），分别是，中点，，
，
以（2）中的运动速度从点出发，点以原来速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，
只能是点绕圈追上点，即点比点多走的路程，设运动时间为秒，
列方程：，
解得：，
故经过，点与点第一次相遇．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、一元一次方程和二元一次方程组的应用，熟练掌握全等三角形的判定、一元一次方程和二元一次方程组的运算是解题的关键．
15．如图①，C、F分别为线段AD上的两个动点，BC⊥AD，垂足为C，EF⊥AD，垂足为F，且AB＝DE，AF＝CD，点G是AD与BE的交点．
（1）求证：BG＝EG；
（2）当C、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）成立，证明见解析
【分析】（1）如图①，连接AE，BD，根据AF=CD，可得AF+FC=CD+FC，即AC=DF，可以证明Rt△ABC≌Rt△DEF，再证明四边形ABDE是平行四边形，即可得结论；
（2）如图②，连接AE，BD，根据AF=CD，可得AF-FC=CD-FC，即AC=DF，可以证明Rt△ABC≌Rt△DEF，再证明四边形ABDE是平行四边形，即可得结论．
【详解】解：（1）证明：如图①，连接AE，BD，
∵BC⊥AD，EF⊥AD，
∴∠ACB＝∠DFE＝90°，
∵AF＝CD，
∴AF+FC＝CD+FC，
∴AC＝DF，
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
∴∠BAC＝∠EDF，
∴AB∥DE，
∵AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵平行四边形ABDE的对角线AD与BE相交于点G，
∴BG＝EG；
（2）上述结论能成立，理由如下：
如图②，连接AE，BD，
∵BC⊥AD，EF⊥AD，
∴∠ACB＝∠DFE＝90°，
∵AF＝CD，
∴AF﹣FC＝CD﹣FC，
∴AC＝DF，
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
∴∠BAC＝∠EDF，
∴AB∥DE，
∵AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵平行四边形ABDE的对角线AD与BE相交于点G，
∴BG＝EG．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
16．在△ABM中，AM⊥BM，垂足为M，AM＝BM，点D是线段AM上一动点．
（1）如图1，点C是BM延长线上一点，MD＝MC，连接AC，若BD＝17，求AC的长；
（2）如图2，在（1）的条件下，点E是△ABM外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF．
（3）如图3，当E在BD的延长上，且AE⊥BE，AE＝EG时，请你直接写出∠1、∠2、∠3之间的数量关系．（不用证明）
【答案】（1）17；（2）见解析；（3）∠3＝2∠1+∠2
【分析】（1）根据SAS证明△AMC≌△BMD，由AC＝BD求出AC的长；
（2）延长EF到点G，使FG＝FE，连接BG，证明△BFG≌△CFE，可得EC＝GB，∠G＝∠CEF，再由BD＝BG可得∠G＝∠BDF，从而证得结论；
（3）延长AE、BM交于点C，作MH⊥AC于点H，作MF⊥BG于点F，证明∠FEM＝∠HEM＝45°及△AEM≌△GEM，再证明∠AME＝∠1，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可推导出∠3＝2∠1+∠2．
【详解】解：（1）如图1，∵AM⊥BM，
∴∠AMC＝∠BMD＝90°，
∵AM＝BM，MD＝MC，
∴△AMC≌△BMD（SAS），
∴AC＝BD＝17．
（2）证明：如图2，延长EF到点G，使FG＝FE，连接BG，
∵F为BC中点，
∴BF＝CF，
∵∠BFG＝∠CFE，
∴△BFG≌△CFE（SAS），
∴BG＝EC，∠G＝∠CEF，
又∵BD＝AC，EC＝AC，
∴BD＝EC，
∴BG＝BD，
∴∠G＝∠BDF，
∴∠BDF＝∠CEF．
（3）如图3，延长AE、BM交于点C，作MH⊥AC于点H，作MF⊥BG于点F，
∵AM⊥BM，AE⊥BE，
∴∠BEC＝∠AMC＝90°，
∴∠MBF＝90°﹣∠C＝∠MAH，
∵∠BFM＝∠AHM＝90°，BM＝AM，
∴△BFM≌△AHM（AAS），
∴FM＝HM，
∵∠EFM＝∠EHM＝90°，EM＝EM，
∴Rt△EMF≌Rt△EMH（HL），
∵∠FEH＝90°，
∴∠FEM＝∠HEM＝∠FEH＝45°，
∵∠AEB＝∠GEC＝90°，
∴∠AEM＝∠GEM＝90°+45°＝135°，
∵AE＝EG，EM＝EM，
∴△AEM≌△GEM（SAS），
∴∠AME＝∠GME，
∵∠BEM＝∠BAM＝45°，
∴∠AME＝∠3﹣∠BEM＝∠3﹣∠BAM＝∠1，
∴∠AMG＝2∠AME＝2∠1，
∵∠3＝∠AMG+∠2，
∴∠3＝2∠1+∠2．
【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质综合，解题的关键是根据题意作出辅助线，证明三角形全等．
17．如图1，平分．
（1）求证：；
（2）如图2，平分交的延长线于点，若，求的大小；
（3）如图3，若是上一动点，是延长线上一点，交于，交于 平分,交于，交于，当在线段上运动时（不与重合），求．
【答案】（1）证明见解析；（4）40°；（3）2
【分析】（1）由题意根据两直线平行同旁内角互补，并结合角平分线的性质进行角的运算即可求解；
（2）根据题意设∠ABF=x，利用角平分线的性质进行角的运算进而求出的大小；
（3）根据题意设AD交KG于P，进而结合角平分线的性质进行角的运算即可求解
【详解】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∵DE平分∠ADB，
∴∠EDB=∠EDA，
∴∠ADC+∠BCD=∠EDB+∠EDA+∠BDC+∠BCD=2(∠EDB+∠BDC)=180°，
∴∠EDB+∠BDC=90°，
∴∠DEC+∠ECD=180°-∠EDC=90°；
（2）设∠ABF=x，
∵平分，
∴∠DBF=∠ABF=x，
∴∠DBC=∠ABC-∠DBF-∠ABF=100°-2x，
∵∠BDC=∠BCD，
∴∠，
∴∠F=∠BDC-∠DBF=40°+x-x=40°；
（3）设AD交KG于P，
∵平分，DE平分∠ADB，
∴∠BKH=2∠NKH，∠ADB=2∠ADE，
∴∠BAD+∠DMH=∠BKH+∠AOK+∠ADB+∠DOM=2∠NKH+2∠AOK+2∠ADE=2(∠NKH+∠AOK+∠ADE)=2(∠NPD+∠ADE)=2∠DNG，
∴=2.
【点睛】此题考查几何图形角的运算，熟练掌握并结合平行线性质和角平分线的性质进行角的运算是解题的关键.
18．如图，在△ABC中，∠BAD＝∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，AF＝10cm，AC＝14cm，动点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t．
（1）求证：AF＝AM；
（2）当t取何值时，△DFE与△DMG全等；
（3）求证：在运动过程中，不管t取何值，都有．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析
【分析】（1）由角平分线的性质可知DF=DM，根据HL可证明Rt△AFD≌Rt△AMD；
（2）分两种情况进行讨论：①当0＜t＜4时，②当4≤t＜5时，分别根据△DFE≌△DMG，得出EF=GM，据此列出关于t的方程，进行求解即可．
（3）由角平分线的性质可知DF=DM，所以△AED和△DEG的面积转化为底AE和CG的比值，根据路程=速度×时间求出AE和CG的长度即可证明在运动过程中，不管取何值，都有S△AED=2S△DGC．
【详解】解：（1）证明：∵∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，
∴DF=DM，
在Rt△AFD和Rt△AMD中，
，
∴Rt△AFD≌Rt△AMD（HL）；
（2）解：①当0＜t＜4时，点G在线段CM上，点E在线段AF上．
EF=10-2t，MG=4-t
∴10-2t=4-t，
∴t=6（不合题意，舍去）；
②当4≤t＜5时，点G在线段AM上，点E在线段AF上．
EF=10-2t，MG=t-4，
∴10-2t=t-4，
∴t=，
综上：当t=时，△DFE与△DMG全等；
（3）证明：∵∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，
∴DF=DM，
∵S△AED=AE DF，S△DGC=CG DM，
∴，
∵点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，
∴AE=2tcm，CG=tcm，
∴=2，
即，
∴在运动过程中，不管取何值，都有S△AED=2S△DGC．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、三角形的面积公式以及动点问题，解题的难点在于第二问中求运动的时间，此题容易漏解和错解．
19．如图，在中，为的中点，，．动点从点出发，沿方向以的速度向点运动；同时动点从点出发，沿方向以的速度向点运动，运动时间是．
（1）在运动过程中，当点位于线段的垂直平分线上时，求出的值；
（2）在运动过程中，当时，求出的值；
（3）是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）时，点位于线段的垂直平分线上；（2）；（3）不存在，理由见解析．
【分析】（1）根据题意求出BP，CQ，结合图形用含t的代数式表示CP的长度，根据线段垂直平分线的性质得到CP＝CQ，列式计算即可；
（2）根据全等三角形的对应边相等列式计算；
（3）根据全等三角形的对应边相等列式计算，判断即可．
【详解】解：（1）由题意得，
则，
当点位于线段的垂直平分线上时，，
∴，
解得，，
则当时，点位于线段的垂直平分线上；
（2）∵为的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，，
则当时，；
（3）不存在，∵，
∴，
则
解得，，，
∴不存在某一时刻，使．
【点睛】本题考查的是几何动点运动问题、全等三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
20．在中，，，是边上一点，且，是的中点，是的中线．
（1）如图，连接，请写出和的数量关系并说明理由；
（2）点是射线上的一个动点，将射线绕点逆时针旋转得射线，使，与射线交于点．如图，猜想并证明线段和线段之间的数量关系．
【答案】（1），理由见解析；（2），证明见解析．
【分析】（1）由题意可由直角三角形斜边中线的性质得出OA=OC，即∠OCA=∠A，再根据三角形的中位线定理得出OE∥AC，OE=AD，进而得出CE=OE，即可得出结论；
（2）根据题意只要证明△COM≌△AON（ASA），进行分析即可解决问题．
【详解】解：（1）结论：.
理由：如图1中，连接.
∵，，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，，
∴.
∴，
∴.
（2）如图2中，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查直角三角形斜边中线定理，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
21．已知为等边三角形，为直线上一动点（点不与点、点重合）以为边作等边三角形，连接.
（1）如图①，当点在边上时，且点、点在同侧，其他条件不变，求证：；
（2）如图②，当点在边的延长线上时，且点、点在同侧，其他条件不变，请直接写出线段，，之间存在的数量关系，不需证明；
（3）如图③，当点在边的延长线上时，且点、点分别在直线的异侧，其他条件不变，请直接写出线段，，之间存在的数量关系，不需证明.
【答案】（1）见解析；（2）BC+CD=CE；（3）DC=CE+BC．
【分析】（1）根据等边三角形的性质就可以得出∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE，进而就可以得出△ABD≌△ACE；由△ABD≌△ACE就可以得出BC=DC+CE；（2）由等边三角形的性质就可以得出∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE，进而就可以得出△ABD≌△ACE，就可以得出BC+CD=CE；（3）由等边三角形的性质就可以得出∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE，进而就可以得出△ABD≌△ACE，就可以得出CE+BC=CD．
【详解】（1）①∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE．
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
∴∠BAD=∠EAC．
在△ABD和△ACE中
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∴BD=CE．
∵BC=BD+CD，
∴BC=CE+CD．
（2）BC+CD=CE．
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE．
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠EAC．
在△ABD和△ACE中
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∴BD=CE．
∵BD=BC+CD，∴CE=BC+CD；
（3）DC=CE+BC．
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE．
∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE，
∴∠BAD=∠EAC．
在△ABD和△ACE中
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∴BD=CE．
∵DC=BD+BC，
∴DC=CE+BC.
【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用等知识，解题的关键是找出全等的条件证明三角形全等．
22．已知BF平分的外角，D为射线BF上一动点．
（1）如图所示，若，求证：；
（2）在D点运动的过程中，试比较与的大小，并说明你的理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）．理由见解析.
【分析】（1）在BE上取点M，使BM=BA，连接DM，可证明△ADB≌△MDB，可得DM=DC，可证得∠DAB=∠DCB，再结合三角形内角和定理可证得结论；
（2）由（1）可得到DM=DC，在△DMC中，可得DM+DC＞BM+BC，则有DA+DC＞BA+BC，可得出结论.
【详解】解：（1）证明：如图1，在BE上取点M，使BM=BA，连接DM，
∵BF平分∠ABE，
∴∠ABD=∠MBD，
在△ABD和△MBD中，
∴△ABD≌△MBD（SAS），
∴DM=DA，∠DAB=∠DMB，
又∵DA=DC，
∴DM=DC，
∴∠DMB=∠DCB，
∴∠DAB=∠DCB，
∴∠ABC=∠ADC；
（2）．
理由如下：
在（1）中可得△ABD≌△MBD，
∴AD=MD，AB=MB，
在△DMC中，由三角形三边关系可得DM+DC＞MC，
∴DM+DC＞MB+BC，
∴DA+DC＞BA+BC，
即BA+BC＜DA+DC.
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质及角平分线的性质，掌握全等三角形的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和性质（全等三角形的对应边、对应角相等）是解题的关键，在（1）中构造三角形全等是解题的关键．
23．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，点D是AC上一动点，点E在BD的延长线上，且AB＝AE，AF平分∠CAE交DE于F．
（1）如图1，连CF，求证：∠ABE＝∠ACF；
（2）如图2，当∠ABC＝60°时，求证：AF+EF＝FB；
（3）如图3，当∠ABC＝45°时，若BD平分∠ABC，求证：BD＝2EF．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析．
【分析】（1）先根据SAS证得△ACF≌△AEF，推出∠E＝∠ACF，再根据等腰三角形性质推出∠E＝∠ABF，即可得出结论；
（2）在FB上截取BM＝CF，连接AM，证△ABM≌△ACF，推出EF＝FC＝BM，AF＝AM，再证得△AMF是等边三角形，于是可得MF＝AF，即可证得结论；
（3）连接CF，延长BA、CF交N，根据ASA证△BFC≌△BFN，推出CN＝2CF＝2EF，再根据ASA证明△BAD≌△CAN，推出BD＝CN，即可得出答案．
【详解】证明：（1）∵AF平分∠CAE，∴∠EAF＝∠CAF，
∵AB＝AC，AB＝AE，∴AE＝AC，
在△ACF和△AEF中，，
∴△ACF≌△AEF（SAS），
∴∠E＝∠ACF，
∵AB＝AE，∴∠E＝∠ABE，
∴∠ABE＝∠ACF．
（2）∵△ACF≌△AEF，∴EF＝CF，∠E＝∠ACF＝∠ABM，
在FB上截取BM＝CF，连接AM，如图2，
在△ABM和△ACF中，，
∴△ABM≌△ACF（SAS），
∴AM＝AF，∠BAM＝∠CAF，
∵AB＝AC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴∠MAF＝∠MAC+∠CAF＝∠MAC+∠BAM＝∠BAC＝60°，
∵AM＝AF，∴△AMF为等边三角形，
∴AF＝AM＝MF，
∴AF+EF＝BM+MF＝FB，
即AF+EF＝FB．
（3）连接CF，延长BA、CF交于点N，如图3，
∵∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，AB＝AC，
∴∠ABF＝∠CBF＝22.5°，∠ACB＝45°，∠BAC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
由（1）的结论得：∠ACF＝∠ABF＝22.5°，
∴∠BFC＝180°﹣22.5°﹣45°﹣22.5°＝90°，
∴∠BFN＝∠BFC＝90°，
在△BFN和△BFC中，，
∴△BFN≌△BFC（ASA），∴CF＝FN，
由（2）题得：CF＝EF，
则CN＝2CF＝2EF，
∵∠BAC＝90°，∴∠NAC＝∠BAD＝90°，
在△BAD和△CAN中，，
∴△BAD≌△CAN（ASA），
∴BD＝CN＝2CF＝2EF．
【点睛】本题是三角形的综合题，重点考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，综合性强，难度较大，其中第（2）小题解题的关键是在FB上截取BM＝CF，连接AM，构建全等三角形和等边三角形的解题模型；第（3）小题解题的关键是延长BA、CF交于点N，利用两次三角形全等，把证明BD＝2EF的问题转化为证明BD＝CN.
24．如图，在△ABC中，AB=AC，AH⊥BC，垂足为H，D为直线BC上一动点（不与点B、C重合），在AD的右侧作△ADE，使得AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE．
（1）求证：∠ABC=∠ACB；
（2）当D在线段BC上时，
①求证：△BAD≌△CAE；②当点D运动到何处时，AC⊥DE，并说明理由；
（3）当CE∥AB时，若△ABD中最小角为20°，试探究∠ADB的度数．（直接写出结果，无需写出求解过程）
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②D运动到BC中点（H点）时，AC⊥DE，理由见解析；（3）20°或40°或100°
【分析】（1）证明Rt△AHB≌Rt△AHC（HL），即可解决问题．
（2）①根据SAS即可证明；②D运动到BC中点（H点）时，AC⊥DE；利用等腰三角形的三线合一即可证明；
（3）分三种情形分别求解即可解决问题；
【详解】解：（1）∵AB=AC，AH⊥BC，
∴∠AHB=∠AHC=90°，
在Rt△AHB和Rt△ACH中，
∴Rt△AHB≌Rt△AHC（HL），
∴∠ABC=∠ACB．
（2）①如图1中，
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE．
②D运动到BC中点（H点）时，AC⊥DE；
理由：如图2中，∵AB=AC，AH⊥BC，
∴∠BAH=∠CAH，
∵∠BAH=∠CAE，
∴∠CAH=∠CAE，
∵AH=AE，
∴AC⊥DE．
（3）∠ADB的度数为20°或40°或100°．
理由：①如图3中，当点D在CB的延长线上时，
∵CE∥AB，
∴∠BAE=∠AEC，∠BCE=∠ABC，
∵△DAB≌△EAC，
∴∠ADB=∠AEC，∠ABD=∠ACE，
∴∠BAC=∠BAE+EAC=∠AEC+∠EAC=180°-∠ACE=180°-∠ABD=∠ABC=∠ACB，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°
∵△ABD中的最小角是∠BAD=20°，则∠ADB=∠ABC-∠BAD=40°．
②当点D在线段BC上时，最小角只能是∠DAB=20°，此时∠ADB=180°-20°-60°=100°．
③当点D在BC 延长线上时，最小角只能是∠ADB=20°，
综上所述，满足条件的∠ABD的值为20°或40°或100°．
【点睛】本题考查三角形综合题、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的首先思考问题，属于中考压轴题．
25．如图，在中，，，BD是斜边上高动点P从点A出发沿AB边由A向终点B以的速度匀速移动，动点Q从点B出发沿射线BC以的速度匀速移动，点P、Q同时出发，当点P停止运动，点Q也随之停止连接AQ，交射线BD于点设点P运动时间为t秒．
在运动过程中，的面积始终是的面积的2倍，为什么？
当点Q在线段BC上运动时，t为何值时，和相等．
【答案】（1）详见解析；（2）
【分析】为等腰直角三角形斜边上的高，根据三线合一得BD为角平分线，所以E到AB和E到BC距离相等；又的底BQ为的底AP的2倍，得证．
和相等，加上BE为公共边，，即有三角形全等，利用对应边相等列方程即求出t的值．
【详解】解：过点E作于M，于N,
，，BD是斜边上高,
平分,
，,
,
的面积始终是的面积的2倍,
平分,
,
在与中
,
≌,
,
解得：,
时，和相等.
【点睛】考查了等腰直角三角形，角平分线性质定理，全等三角形的判定和性质由BD是斜边上的高得三线合一再利用角平分线性质解题是关键．
26．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D是直线AB上的一动点（不和A、B重合），BE⊥CD于E，交直线AC于F
（1）点D在边AB上时，试探究线段BD、AB和AF的数量关系，并证明你的结论；
（2）点D在AB的延长线或反向延长线上时，（1）中的结论是否成立？若不成立，请写出正确结论并证明．
【答案】（1）AB=AF+BD，证明详见解析；（2）不成立，点D在AB的延长线上时，AB=AF-BD；点D在AB的反向延长线上时，AB=BD-AF，证明详见解析.
【分析】（1）根据已知条件易证△FAB≌△DAC，由全等三角形的性质可得FA=DA，由此即可证得AB=AD+BD=FA+BD；（2）由于点D的位置在变化，因此线段AF、BD、AB之间的大小关系也会相应地发生变化，只需画出图象并借鉴（1）中的证明思路就可解决问题．
【详解】（1）AB=FA+BD．
证明：如图，
∵BE⊥CD即∠BEC=90°，∠BAC=90°，
∴∠F+∠FBA=90°，∠F+∠FCE=90°．
∴∠FBA=∠FCE．
∵∠FAB=180°-∠DAC=90°，
∴∠FAB=∠DAC．
在△FAB和△DAC中，．
∴△FAB≌△DAC（ASA）．
∴FA=DA．
∴AB=AD+BD=FA+BD．
（2）（1）中的结论不成立．
点D在AB的延长线上时，AB=AF-BD；点D在AB的反向延长线上时，AB=BD-AF．
理由如下：
点D在AB的延长线上时，如图2．
类比（1）的方法可得：FA=DA．
则AB=AD-BD=AF-BD．
②点D在AB的反向延长线上时，如图3．
类比（1）的方法可得：FA=DA．
则AB=BD-AD=BD-AF．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，当条件没有改变仅仅是图形的位置发生变化时，解题时通过借鉴已有的解题经验来解决问题（也就是数学中的类比思想）．
27．一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：
如图1，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，O为AC中点．
（1）如图1，若把三角板的直角顶点放置于点O，两直角边分别与AB、BC交于点M、N，
求证：BM=CN；
（2）若点P是线段AC上一动点，在射线BC上找一点D，使PD=PB，再过点D作BO的平行线，交直线AC于一点E，试在备用图上探索线段ED和OP的关系，并说明理由．
并说明理由．
【答案】(1）证明见解析；(2) OP=DE, OP⊥DE，理由见解析.
【分析】（1）连接OB，证明△MOB≌△NOC就可以得出BM=CN；
（2）根据条件要求当点D在线段BC上时和点D在BC的延长线上时分别作出图形，如图，证明△POB≌△DEP就可以得出结论．
【详解】(1)连结OB,
∵ AB=BC， O为AC中点,
∴∠ABO=∠CBO, BO⊥AC,
∵∠ABC=90°∴∠ABO=∠CBO=45°;∠A=∠C=45°,
∴∠ABO=∠C=∠CBO∴ 0B=OC,
∵∠MON=90°∴∠MOB+∠BON=∠CON+∠BON=90°,
∴∠MOB =∠CON ∴△BOM≌Rt△CON（ASA）,
∴BM=CN ．
（2）两张图形画对,
OP=DE, OP⊥DE,
理由：① 若点P在线段AO上,
∵BO⊥AC∴∠BOC=90°∵OB∥DE,
∴∠POB =∠PED=90°,
∴OP⊥DE，
∵PB=PD，∴∠PDB =∠PBD，
∵AB=BC，∠ABC=90°，∴∠C=45°，
∵BO⊥AC，∴∠OBC=45°，
∴∠OBC =∠C=45°，
∵∠ PBO =∠PBC—∠OBC，∠DPC=∠PDB—∠C，
∴∠PBO =∠DPC，
∵BO⊥AC，DE⊥AC， ∴∠BOP=∠PED=90°，
∴△BPO≌△PDE（AAS）；
∴OP=DE．
② 若点P在线段CO上,
同理可证OP⊥DE,
∵OB∥DE,,
∴∠OBC =∠BDE=45°,
∵PB=PD，
∴∠PDB =∠PBD，
又∵∠APB =∠PBD+∠ACB=∠PBD+45°,
∠PDE =∠PDC+∠BDE =∠PDC+45°,
∴∠APB=∠PDE,
又∵∠BOP=∠PED=90°,
∴△BPO≌△PDE（AAS）；
∴OP=DE．
综上所述：OP=DE，OP⊥DE．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定与性质.
28．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC边上一动点，CE⊥BD于E．
（1）如图（1），若BD平分∠ABC时，
①求∠ECD的度数；
②延长CE交BA的延长线于点F，补全图形，探究BD与EC的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图（2），过点A作AF⊥BE于点F，猜想线段BE，CE，AF之间的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】（1）①22.5°②BD=2CE（2）BE﹣CE=2AF
【详解】试题分析：（1）①根据等腰直角三角形的性质得出∠CBA=45°，再利用角平分线的定义解答即可；②延长CE交BA的延长线于点F得出CE=FE，再利用AAS证明△ABD≌△ACF，利用全等三角形的性质解答即可；（2）过点A作AH⊥AE，交BE于点H，证明△ABH≌△ACE，进而得出CE=BH，利用等腰直角三角形的判定和性质解答即可．
试题解析：
（1）①∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠CBA=45°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBA=22.5°，
∵CE⊥BD，∴∠ECD+∠CDE=90°，∠DBA+∠BDA=90°，
∵∠CDE=∠BDA，∴∠ECD=∠DBA=22.5°；
②BD=2CE．
证明：延长CE交BA的延长线于点F，如图1，
∵BD平分∠ABC，CE⊥BD，
∴CE=FE，
在△ABD与△ACF中，
，
∴△ABD≌△ACF（AAS），
∴BD=CF=2CE；
（2）结论：BE﹣CE=2AF．
证明：过点A作AH⊥AE，交BE于点H，如图2，
∵AH⊥AE，
∴∠BAH+∠HAC=∠HAC+∠CAE，
∴∠BAH=∠CAE，
在△ABH与△ACE中，，
∴△ABH≌△ACE（ASA），
∴CE=BH，AH=AE，
∴△AEH是等腰直角三角形，
∴AF=EF=HF，
∴BE﹣CE=2AF．
点睛：本题考查的是全等三角形的判定和性质，正确的构建出与所求和已知相关的全等三角形，是解答本题的关键．
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考点通关06 全等三角形动点问题
1．如图①，在中，，．现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为．设运动时间为．
(1)当时， ；当时， ；
(2)如图①，当 时，的面积等于面积的一半；
(3)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，请直接写出点的运动速度．
2．已知，，点P是射线上的一个动点．
(1)如图1，连接，若，，求证：；
(2)如图1，连接，若，，则是否成立，若成立，写出证明过程，若不成立，请说明理由；
(3)如图2，连接，若，，，射线平分，射线平分，射线与射线相交于点Q，则的度数为．
3．如图，已知平分且点M是射线上一动点，交射线于点N．
(1)当时，求的度数；
(2)当时，求证：；
(3)试探究线段之间的数量关系．
4．如图，在中，，，点为射线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转90°，点旋转至点．
(1)如图1，过点作交于点，求证：；
(2)如图2，连接交于点，若，求证：是的2倍；
(3)是射线上一点，直线交直线于点，若，则______．
5．在中，，，D是射线上一动点，连接，以为边作，在右侧，与过点A且垂直于的直线交于点E，连接．
(1)当都在的左侧时，如图①，线段之间的数量关系是_________；
(2)当在的两侧时，如图②，线段之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明；
(3)当都在AC的右侧时，如图③，线段之间有怎样的数量关系？直接写出你的猜想，不必证明．
6．如图1，在中，，，点P、Q分别是边、上的动点（端点除外），点P从点A、点Q从点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接、交于点M．
(1)求证：；
(2)点P、Q分别在、边上运动时，变化吗？若变化，请说明理由；若不变，请求出它的度数．
(3)如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线、上运动，直线、交点为M，直接写出的度数．
7．在中，，平分，M为直线上一动点，，E为垂足，的平分线交直线于点F．
(1)如图1，点M为边上一点，则的位置关系是___________，并证明；
(2)如图2，点M为边延长线上一点，则的位置关系是___________，并证明；
8．已知：中，，，D为直线BC上一动点，连接AD，在直线AC右侧作，且．
(1)如图1，当点D在线段BC上时，过点E作于H，连接DE，求证：；
(2)如图2，当点D在线段BC的延长线上时，连接BE交CA的延长线于点M．
求证：；
当点D在射线CB上时，连接BE交直线AC于M，若，则的值为______．
9．如图，在中，，，E为线段上一动点，连接，作且．
(1)如图1，过点F作于点D，求证：；
(2)如图2，连接交于点G，若，，求证：E为中点．
10．如图1，直线于点B，，点D为中点，一条光线从点A射向D，反射后与直线l交于点E（提示：作法线）．
(1)求证：；
(2)如图2，连接交于点F，连接交于点H，，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，点P是边上的动点，连接，，求的最小值．
11．中，，过点作．连接为平面内一动点．
(1)如图1，若，则 ．
(2)如图2，点在上，且于，过点作于，为中点，连接并延长，交于点．求证：；
(3)如图3，连接，过点作于点，且满足，连接，过点作于点，若，求线段的长度的取值范围．
12．如图，中，，，点是直线上的一动点（不和，重合），于，交直线于．
(1)点在边上时，证明：；
(2)在（1）的条件下，证明：；
(3)点在的延长线或反向延长线上时，探索，，这三条线段之间的数量关系，请画出图形并直接写出正确结论．
13．如图，在中，，，，点是边上的一动点（点不与端点A、重合），过点A作于点，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)在点移动的过程中，若，试求的长；
(3)试探索，在点移动的过程中，的大小是否保持不变？若保持不变，请求出的大小；若有变化，请说明变化情况．
14．如图，，，，，点在线段上以的速度，由向运动，同时点在线段上由向运动．
(1)如图1，若点的运动速度与点的运动速度相等，当运动时间，与是否全等？说明理由，并直接判断此时线段和线段的位置关系；
(2)如图2，将“，”为改“”，其他条件不变，若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能使与全等．
(3)在图2的基础上延长，交于点，使，分别是，中点，如图3，若点以（2）中的运动速度从点出发，点以原来速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，求出经过多长时间点与点第一次相遇．
15．如图①，C、F分别为线段AD上的两个动点，BC⊥AD，垂足为C，EF⊥AD，垂足为F，且AB＝DE，AF＝CD，点G是AD与BE的交点．
（1）求证：BG＝EG；
（2）当C、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
16．在△ABM中，AM⊥BM，垂足为M，AM＝BM，点D是线段AM上一动点．
（1）如图1，点C是BM延长线上一点，MD＝MC，连接AC，若BD＝17，求AC的长；
（2）如图2，在（1）的条件下，点E是△ABM外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF．
（3）如图3，当E在BD的延长上，且AE⊥BE，AE＝EG时，请你直接写出∠1、∠2、∠3之间的数量关系．（不用证明）
17．如图1，平分．
（1）求证：；
（2）如图2，平分交的延长线于点，若，求的大小；
（3）如图3，若是上一动点，是延长线上一点，交于，交于 平分,交于，交于，当在线段上运动时（不与重合），求．
18．如图，在△ABC中，∠BAD＝∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，AF＝10cm，AC＝14cm，动点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t．
（1）求证：AF＝AM；
（2）当t取何值时，△DFE与△DMG全等；
（3）求证：在运动过程中，不管t取何值，都有．
19．如图，在中，为的中点，，．动点从点出发，沿方向以的速度向点运动；同时动点从点出发，沿方向以的速度向点运动，运动时间是．
（1）在运动过程中，当点位于线段的垂直平分线上时，求出的值；
（2）在运动过程中，当时，求出的值；
（3）是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
20．在中，，，是边上一点，且，是的中点，是的中线．
（1）如图，连接，请写出和的数量关系并说明理由；
（2）点是射线上的一个动点，将射线绕点逆时针旋转得射线，使，与射线交于点．如图，猜想并证明线段和线段之间的数量关系．
21．已知为等边三角形，为直线上一动点（点不与点、点重合）以为边作等边三角形，连接.
（1）如图①，当点在边上时，且点、点在同侧，其他条件不变，求证：；
（2）如图②，当点在边的延长线上时，且点、点在同侧，其他条件不变，请直接写出线段，，之间存在的数量关系，不需证明；
（3）如图③，当点在边的延长线上时，且点、点分别在直线的异侧，其他条件不变，请直接写出线段，，之间存在的数量关系，不需证明.
22．已知BF平分的外角，D为射线BF上一动点．
（1）如图所示，若，求证：；
（2）在D点运动的过程中，试比较与的大小，并说明你的理由．
23．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，点D是AC上一动点，点E在BD的延长线上，且AB＝AE，AF平分∠CAE交DE于F．
（1）如图1，连CF，求证：∠ABE＝∠ACF；
（2）如图2，当∠ABC＝60°时，求证：AF+EF＝FB；
（3）如图3，当∠ABC＝45°时，若BD平分∠ABC，求证：BD＝2EF．
24．如图，在△ABC中，AB=AC，AH⊥BC，垂足为H，D为直线BC上一动点（不与点B、C重合），在AD的右侧作△ADE，使得AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE．
（1）求证：∠ABC=∠ACB；
（2）当D在线段BC上时，
①求证：△BAD≌△CAE；②当点D运动到何处时，AC⊥DE，并说明理由；
（3）当CE∥AB时，若△ABD中最小角为20°，试探究∠ADB的度数．（直接写出结果，无需写出求解过程）
25．如图，在中，，，BD是斜边上高动点P从点A出发沿AB边由A向终点B以的速度匀速移动，动点Q从点B出发沿射线BC以的速度匀速移动，点P、Q同时出发，当点P停止运动，点Q也随之停止连接AQ，交射线BD于点设点P运动时间为t秒．
在运动过程中，的面积始终是的面积的2倍，为什么？
当点Q在线段BC上运动时，t为何值时，和相等．
26．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D是直线AB上的一动点（不和A、B重合），BE⊥CD于E，交直线AC于F
（1）点D在边AB上时，试探究线段BD、AB和AF的数量关系，并证明你的结论；
（2）点D在AB的延长线或反向延长线上时，（1）中的结论是否成立？若不成立，请写出正确结论并证明．
27．一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：
如图1，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，O为AC中点．
（1）如图1，若把三角板的直角顶点放置于点O，两直角边分别与AB、BC交于点M、N，
求证：BM=CN；
（2）若点P是线段AC上一动点，在射线BC上找一点D，使PD=PB，再过点D作BO的平行线，交直线AC于一点E，试在备用图上探索线段ED和OP的关系，并说明理由．
并说明理由．
28．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC边上一动点，CE⊥BD于E．
（1）如图（1），若BD平分∠ABC时，
①求∠ECD的度数；
②延长CE交BA的延长线于点F，补全图形，探究BD与EC的数量关系，并证明你的结论；
如图（2），过点A作AF⊥BE于点F，猜想线段BE，CE，AF之间的数量关系，并证明你的猜想．
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