24 届广东省普通高中学科综合素养评价 6.已知角 的顶点在原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点 P 2, 1 ,求
9 月南粤名校联考 cos2
的值（ ）
4
数 学 A. 1 B. 9 C. 1 D. 4
10 10 5 5
本试卷共 4页，22小题，满分 150分。考试用时 120分钟
7.直线 x y 2cos 0被圆 x2 y2 2 3x 2 0截得的弦长最大值为（ ）
注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡
上。将条形码横贴在答题卡指定位置。
A. 2 10 B. 10 C.2 D. 4 5
2.选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡 5 10 5
皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
8. 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f (x) 满 足 f ( x) f (x 2) 4 ， 且 当 x 1 时 ，
3.非选择题必须用黑色笔迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；
f '(x) x 1 1 f (x) 2 ex 1 0
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的 ,则不等式 的解集为（ ）x 1
答案无效。 A． 0, B． 1,0 C． , 1 D． , 1 0,
4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试题与答题卡一并交回。
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中， 多项符合题目要求.全部 选对的得 5 分，部分选对的得 3分，有选错的得 0分.
只有一项是符合题目要求. 9. 某学校随机抽取 200 名学生数学周测成绩的频率分布直方图如图所示,据此估计该
1.已知集合U {x | x 8, x N *}， A 1,2,3 B 3,4,5 ，那么 U A B （ ） 校本次数学周测的总体情况(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表),下列说法
A． 1 2 B． 3 4 C． 5 6 D．{6，7} 正确的是( )， ， ，
3 i A.众数为 60 或 70
2.复数 z 在复平面内对应的点在（ ）
1 i B.25%分位数为 65
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限 C.平均数为 73
3.函数 y | cos x |的一个单调减区间是（ ） D.中位数为 75
A B 3 ． ， ． ， C． ， D
3
． ，2 10.下列不等式正确的是（ ）
A. b a 2 a b 0
a b
4.抛物线 y2 2px( p 0)的焦点 F ，点M 在抛物线上，且 MF 3，FM 的延长线交 y
B.b a 0 a 2 a，则
轴于点 N ,若M 为线段FN 的中点，则 p ( ) b 2 b
A．2 B． C．4 D．6 C. 1 x 2 3 4x 4x2
2 是不等式
0成立的必要不充分条件
5.从正整数1,2,......10中任意取出两个不同的数，则取出的两个数的和等于某个正整数
的平方的概率为（ ） D.函数 y x 3 2x 0 x 1
9
的最大值是
8
1 6 7 8
A． B． C． D．
9 45 45 45 11.数列 an a
an
满足 n 1 ， 1且 a1 1a ，则下列说法正确的是（ ）n
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{#{QQABIQSEogCoABBAAQgCQQmQCkEQkBCACAoOBFAIIAAAwQFABCA=}#}
A.若 0，则数列 an 为常数数列 18.（12 分）已知数列{an}的首项 a1 3,其前n项和为 Sn，且Sn 1 3Sn 2n 3, (n N *)
B.若 0
1
，则数列 为等差数列a （1）求数列{an}的通项公式 an n ；
C.若 1，则数列 an an 1 前 n
n
项和为 （2）设 bn nan 1 n
求数列{b
， n
}的前n项和Tn .
D.对于任意的 R, R，数列 an 都不可能为等比数列
1 19.（12 分）三棱柱 ABC A1B1C1中，D是正方形 AABABC ABC 0 AB BC CC 2 CC 1 1
B的中心，AA1 2，C1D 平
12.在直三棱柱 1 1 1中， ABC 90 ,且 1 , E为线段2 1 面 AA1B1B，且C1D 1
的中点， P为棱 AA1上的动点，平面 过 P,E,B1三点，则下列命题正确的是（ ）
A.三棱锥 B PEB
（1）M 是棱 A
的体积不变 1
C1的中点，求证： AC 平面 AB1M；
1
B.平面 平面 ABE （2）求面 AB1M 与面 A1BC夹角的大小.
C.当P与 A1重合时，
11
截此三棱柱的外接球所得的截面面积为 ；
2
D.存在点P，使得直线BC与平面 所成角的大小为 ． 20.（12 分）甲、乙两位同学决定进行一次投篮比赛，他们每次投中的概率均为 p，
3
且每次投篮相互独立．经商定共设定 5个投篮点，每个投篮点投球一次，确立的比赛
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5 分，共 20 分
5 规则如下：甲分别在 5个投篮点投球，且每投中一次可获得 1分；乙按约定的投篮点
13. x 2
的二项展开式中 x
1的系数为________．
x 顺序依次投球 ，如投中可继续进行下一次投篮，如没有投中，投篮中止，且每投中一
次可获得 2分.按累计得分高低确定胜负.
14.已知向量 a 1,1 ，b 1,2 ，求向量b在向量a方向上的投影向量为________．
1 1 p若乙得 6分的概率 ，求 p；
3 2
15.若函数 f (x) 2x ax 3x 2在 x 1处取得极小值，则函数 f x 的极大值为______． 8
2 2 由 1 问中求得的 p值，判断甲、乙两位选手谁获胜的可能性大？x
16.已知椭圆 y2 1的左 右焦点分别为F1，F2，点M 在椭圆C上，且 F1MF2 120 ，5
x2 y2
O OM 21（. 12分）已知双曲线 1， a 0,b 0 的离心率为2，右焦点F到渐近线的距离为 3 .（ 为原点），则 ________． a2 b2
四、解答题：本小题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 1 求双曲线的标准方程；
17.（10分）在 ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c已知 2 若点P为双曲线右支上一动点，过点 P与双曲线相切的直线 l，直线 l与双曲线的
ccosB bcosC a sin(B ) 渐近线分别交于M ,N两点，求 FMN的面积的最小值.
6
（1）求角 B的大小； 1
22.（12 分）已知函数 f x 2ln x mx, m R .
x
（2）设 a = 2,c = 3,求 cos(2B- A)的值.
1 讨论函数 f x 的单调性；
2
2 b a 0 lnb ln a a b
2
若 ，证明：
b a a2b ab2
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9 月南粤名校联考
数学参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D A C C C A A D BC DCD BC ABC
13-16 题 80 1 1 9 ， 2
2 2 8
a b c
17．解析：（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理 2R，
sin A sin B sinC
及 ccosB
bcosC a sin(B )，
6
可得， sinCcosB sin BcosC sin Asin(B
) .............2 分
6
sin(B C) sin Asin(B )， .............3 分
6
因为△ABC 中， sin(B C) sin A且 sin A 0，故 sin(B
) 1，..........4 分
6
0 B . B 因为 ,所以 ，即 B .............5 分
6 2 3
（Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理及 a 2,c 3,B ,有b2 a2 c2 2accosB 7，故
3
b 7 ．.............6 分
a b 3
由正弦定理 ，可得 sinA ．因为 a c，故 cosA
2
.....8 分
sin A sin B 7 7
cos(2B A) cos(2 A) cos 2 2 cos A sin sin A
3 3 3
1 2 3 3 1 7
（ ）
2 7 2 7 2 7 14
............10 分
18.解：（Ⅰ）由已知Sn 1 3Sn 2n 3, ∴ n 2时,Sn 3Sn 1 2n 1,
两式相减，得 Sn 1 Sn 3(Sn Sn 1) 2, .............2 分
即 an 1 3an 2, 从而 an 1 1 3(an 1). .............3 分
又当 n=1 时， S2 3S1 5,， ∴a1 a2 3a1 5 又 a1 3, a2 11,
1
{#{QQABIQSEogCoABBAAQgCQQmQCkEQkBCACAoOBFAIIAAAwQFABCA=}#}
.............4 分
从而 a2 1 3(a1 1). 故总有 an 1 1 3(an 1),n N *.
又∵ a1 3, an 1 0,
a 1
从而 n 1 3. .............5 分
an 1
即{an 1}是以a1 1 4为首项，公比为 3 的等比数列.
a 1 4 3n-1, a 4 3n-1n n 1, .............6 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 a 4 3n 1n 1.
. bn nan n(4 3
n 1 1) 4n 3n 1 n. .............7 分
设 cn n 3
n 1,设{cn}前 n项和为 S
'
n
则 S 'n 1 2 3 3 3
2 n 3n 1①
3S ' 1 3 2 32 3 33n (n 1) 3
n 1 n 3n②
①-②有 2S ' （1 3 32 3n 1n ） n 3
n .............9 分
S ' 2n-1 n 1n 3 .............10 分4 4
从而Tn b1 b2 bn a1 2a2 nan
4S'n (1 2 n)
（2n -1 n(n 1)） 3n 1 .............12 分
2
19. 解析（1）证明：D是正方形 AA1B1B的中心， AA1 2，则DA1 1，
又C1D 平面 AA1B1B， C1D DA1，又C1D 1 ......1 分
C1A1 2，同理C1B1 2, A C 2
.............3 分
1
A BC , A AC 均为等边三角形，又M1 1 1 1 1 为 A1C1中点，
A1C1 B1M ,A1C1 AM ,B1M AM M ,
又 B1M 平面 AB1M AM 平面 AB1M
AC 平面 ABM ..........5 分1 1 1
2
{#{QQABIQSEogCoABBAAQgCQQmQCkEQkBCACAoOBFAIIAAAwQFABCA=}#}
AC // A1C1， AC 平面 AB1M .............6 分
（2）解： 以 D 为原点， DA,DA1,DC1 分别为 x, y, z 轴正方向，建立空间直角坐标
系， .............7 分
B 0, 1,0 , A1 0,1,0 ,C 1, 1,1 ,C1 0,0,1 .............8 分
A1B 0, 2,0 , A1C 1, 2,1 , A1C1 0， 1,1 .............9 分
x 2y z 0 z x
设面 A1BC的法向量 n x, y, z
n A1B 0 ，则 得
n A1C 0 2y 0 y 0
令 x 1，则 n 1,0, 1 ，由（1）知，面 AB1M的法向量为 A1C1 .......10 分
设面 AB1M与面 A1BC的夹角为 ，
n A1C1
则 cos cos n, A1C
1 1
1 = ......11 分
n AC 2 2 21 1
60 .............12 分
20.解：（1）若乙得 6分，则需乙前 3 个投篮投中，第 4 个投篮未中，
其概率为 p3 (1 p) 1 p ，解得 p 1 ......4 分
8 2
1 1 5
（2）设 X 为甲累计获得的分数，则 X B(5, ) ,所以 E(X ) np 5 ，...6 分
2 2 2
设Y为乙累计获得的分数，则Y 0,2,4,6,8,10， ......7 分
P(Y 0) 1 1 1 1 P(Y 2) (1 )
2 2 2 4
2 3
P(Y 4) 1 (1 1) 1 P(Y 6)
1
(1 1) 1
2 2 8 2 2 16
4 5
P(Y 8) 1 1 1 (1 ) P(Y 10)
1 1
......9 分
2 2 32 2 32
所以Y的分布列为：
Y 0 2 4 6 8 10
P 1 1 1 1 1 1
2 4 8 16 32 32
E Y 0 1 1 1所以 2 4 6 1 8 1 10 1 31 ......11 分
2 4 8 16 32 32 16
因为 E X E Y ,所以甲获胜的可能性大 ......12 分
3
{#{QQABIQSEogCoABBAAQgCQQmQCkEQkBCACAoOBFAIIAAAwQFABCA=}#}
21.解析：（1）由已知得渐近线方程为bx ay 0，右焦点 F c,0 ，
bc
3，又 a2 b2 c2，解得b 3 .........2 分
a2 b2
c
又因为离心率 e ，解得 a 1,c 2 .........3 分
a
y2
双曲线的标准方程为 x2 1 .........4 分
3
（2）解法 1：当直线 l 的斜率不存在时，其方程为 x 1 ，此时， FMN 的面积
S FMN 3； .........5 分
当直线 l的斜率存在时，设其方程为 y kx m，直线与双曲线联立得
y2
x2 1
3 k 2 3 x2 2kmx m2 3 0， .........6 分
y kx m
因为相切，所以 4k 2m2 4 k 2 3 m2 3 0，解得m2 k 2 3 0 .....7 分
另设：M (x1, y1),N (x2 , y2 )
3x2 y2 0
联立 (k 2 3)x2 2kmx m2 0
y kx m
x x 2km 2k 1 2 2 , x x 1k 3 m 1 2
y1 y2 k(x1 x2 )
3
2m ,
m
y1 y2 k
2 x1 x2 km(x1 x2 ) m
2 3 .........9 分
在 OMN中， OM 2x1 ， ON 2x2
S 1 OMN OM ON sin
3
MON 2x1 x2 3 .........10 分2 2
1
所以S FMN S OFM +S OFN -S OMN OF y2 1
y2 3，
所以S FMN (y y
2
1 2 ) 4y1 y2 3=
9
2 12 3 .........11 分m
9
因为m2 k 2 3 0，所以S FMN 2 12 3 2 3 3 3m
4
{#{QQABIQSEogCoABBAAQgCQQmQCkEQkBCACAoOBFAIIAAAwQFABCA=}#}
综上所述，S FMN 3，其最小值为 3 .........12 分
解法 2：由条件知，若直线 l的斜率存在，则斜率不为零，
故可设 l： x my n，直线与双曲线联立得
2
x2
y
1
3 3m2 1 y2 6mny 3n2 3 0， .........6 分
x my n
36k
2m2n2 4 3n2 3 3m2 1 0
因为相切，所以 ，
3m
2 1 0
3m2 n2 1
即 .....7 分
3m
2 1 0
又因为直线 l与双曲线的渐近线交于两点，设为：M (x1, y1),N (x2 , y2 )
x2 y
2
0
联立 3 3m2 1 y2 6mny 3n2 0 .........8 分
x my n
由直线 l的方程得，直线与 x轴的交点坐标为 n,0 .........9 分
1 2 3 2 n
S FMN 2 n ( y y )
2
1 2 4 y1 y
1
2= 2 n
12 n
3 2 1
2 2 3m2 1 n n
.........11 分
3m2 n2 1， n2 1，
即 1 n 1，且 n 0
n 1时，S FMN 的最小值为 3
综上所述，S FMN 3，其最小值为 3 .........12 分
f ' x 2 1 m mx
2 2x 1
22.解析：（1） 2 2 (x 0) .........1 分x x x
令 g x mx2 2x 1(x 0)，判别式为 =4-4m .........2 分
当m 0时， f x 1 1在(0, )上单调递减，在( ,+ )上单调递增；.........3 分
2 2
m 0 1 1 m
当 时，方程有一个正根 ，f x 0,1 1 m 1 1 m在 上单调递减，在 , m m
m
5
{#{QQABIQSEogCoABBAAQgCQQmQCkEQkBCACAoOBFAIIAAAwQFABCA=}#}
上单调递增；.........4 分
当 0 m 1 时 ， 方 程 有 两 个 正 根 ， 分 别 为 x 1 1 m1,2 ， 所 以 f x 在m
(0,1 1 m ), (1 1 m , ) 1 1 m 1 1 m 上单调递减，在 ( , )上单调递增；.........5
m m m m
分
当m 1时， f ' x 0恒成立，所以 f x 在(0,+ )上单调递减；.........6 分
lnb ln a a2 b2
(2)要证
b a a2b ab2
2
lnb ln a a b 2ab
只需证
b a ab a b
lnb ln a a b 2
只需证
b a ab a b
2 2
只需证 lnb ln a b a 2 b a
ab a b
b
1
只需证 ln b b a 2 ab .........9 分a a b 1
a
b
设 t 1，则需证 ln t t 1 2 t 1 , t 1
a t t 1
只需证2ln t ln t t 1 2 t 1 , t 1
t t 1
1
由（1）知， 2ln t t , t 1 ，
t
2 t 1
所以只需 ln t , t 1
t 1
2 t 1
即证 ln t , t 1 .........10 分
t 1
g t 2ln t t 1 , t 1t 1 g ' t
2
令 ，则 2 0恒成立，所以当 t 1时，g t 在 1, 上t 1 t t 1
2 t 1
单调递增，所以 g t g 1 0，所以 ln t , t 1 成立，
t 1
因此，原不等式得证. .........12 分
6
{#{QQABIQSEogCoABBAAQgCQQmQCkEQkBCACAoOBFAIIAAAwQFABCA=}#}
