2023-2024学年福建省福州市马尾区三牧中学八年级（上）开门考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列图形中有稳定性的是( )
A. 三角形 B. 平行四边形 C. 长方形 D. 正方形
2. 如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是( )
A. B.
C. D.
3. 一个等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长为( )
A. B. C. D. 或
4. 下列命题中，正确的是( )
A. 三角形的外角大于它的内角 B. 三角形的一个外角等于它的两个内角和
C. 三角形的一个内角小于和它不相邻的外角 D. 三角形的外角和等于
5. 如图，已知，下列所给条件不能证明≌的是( )
A.
B.
C.
D.
6. 如图，用尺规作图“过点作”的实质就是作，其作图依据是( )
A.
B.
C.
D.
7. 国家节水行动方案中提出：到年，全国用水总量控制在亿立方米以内小明根据国家就计局公布的年全国用水总量单位：亿立方米的有关数据给制了如下统计图，并添加了一条靠近尽可能多散点的直线来表示用水量的发展趋势．
根据统计图信息，下列推断不合理的是( )
A. 国家节水行动方案确定的年节点目标已完成
B. 年全国用水总量呈上升趋势
C. 根据年全国用水总量的发展趋势，估计年全国用水总量约为亿立方米
D. 根据年全国用水总量的发展趋势，估计年全国用水总量约为亿立方米
8. 如图，在中，，若是的高，与角平分线相交于点，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
9. 如图，已知方格纸中是个相同的正方形，则( )
A.
B.
C.
D.
10. 如图，已知四边形中，，若的平分线交于，连接，且恰好平分，则的长与的大小关系是( )
A. B.
C. D. 无法确定
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 正边形的一个内角度数是一个外角度数的倍，则 ．
12. 有一些乒乓球，不知其数量，先取个做了标记，把它们放回袋中，混合均匀后又取了个，发现含有两个做标记，可估计袋中乒乓球有______个．
13. 如图，在中，，平分，若，，则的面积为 ．
14. 如图，在中，点是上的点，，将沿着翻折得到，则______
15. 如图，点是边上任意一点，点，分别是线段，的中点，若的面积是，则的面积是______ ．
16. 如图，在中，，角平分线、交于点，于点下列结论：
：：；
；
；
，
其中正确结论是______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：．
18. 本小题分
解不等式组．
19. 本小题分
如图，平分，求证：．
20. 本小题分
作图题：
请利用尺规作的角平分线保留作图痕迹，不写作法
在用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是______
A.．
21. 本小题分
如图，将六边形纸片沿虚线剪去一个角后，得到．
求六边形的内角和；
求的度数．
22. 本小题分
某市教育局为了解“双减”政策落实情况，随机抽取几所学校部分初中生进行调查，统计他们平均每天完成作业的时间，并根据调查结果绘制如下不完整的统计图：
请根据图表中提供的信息，解答下面的问题：
在调查活动中，教育局采取的调查方式是 填写“普查”或“抽样调查”；
教育局抽取的初中生有 人，扇形统计图中的值是 ；
若该市共有初中生名，则平均每天完成作业时长在“”分钟的初中生约有多少人．
23. 本小题分
我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”如图，四边形是一个筝形，其中，，对角线，相交于点，，，垂足分别是，，求证
24. 本小题分
如图，，，，，垂足为．
求证：≌；
求的度数；
求证：．
25. 本小题分
如图，点在轴正半轴上，点在负半轴上，点和点分别在第四象限和第一象限，，，，点的坐标为．
求证：；
如图，点，分别在轴正半轴和轴负半轴上，且，直线交于点，交的延长线于点，判断，，的数量关系并证明．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，
故选：．
根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性即可得出答案．
本题考查了三角形的稳定性，掌握三角形具有稳定性是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：作的是边上的高，作的不是三角形的高，作的是边上的高，所以都不是的边上的高，而作的是过顶点且与垂直的线，是边上的高线，符合题意．
故选：．
根据高线的定义即可得出结论．
本题考查的是三角形的高的定义，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．
3.【答案】
【解析】解：当等腰三角形的腰为，底为时，不能构成三角形；
当等腰三角形的腰为，底为时，周长为．
故这个等腰三角形的周长是．
故选：．
由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分：当等腰三角形的腰为；当等腰三角形的腰为；两种情况讨论，从而得到其周长．
本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论．
4.【答案】
【解析】解：、根据三角形的外角大于它不相邻的内角，故A选项错误；
B、根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，故B选项错误；
C、三角形的一个内角小于和它不相邻的外角，故C选项正确；
D、根据三角形的外角和等于，故D选项错误；
故选：．
分别根据三角形内角和定理的推论分析得出即可．
此题主要考查了命题与定理、三角形的外角性质，根据定理正确分析得出是解题关键．
5.【答案】
【解析】解：、添加可利用判定≌，故此选项错误；
B、添加不能判定≌，故此选项正确；
C、添加可利用判定≌，故此选项错误；
D、添加可利用判定≌，故此选项错误；
故选：．
利用、、、、进行分析即可．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．
注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
6.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定，关键是掌握作一个角等于已知角的方法．
直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定方法得出答案．
【解答】
解：用尺规作图“过点作”的实质就是作，
其作图依据是，在和中，
，
≌，
，
．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：、国家节水行动方案确定的年节点目标已完成，本选项推断合理，故不符合题意；
B、年全国用水总量呈上升趋势，本选项推断合理，故不符合题意；
C、由变化趋势可知，年全国用水总量的发展趋势，估计年全国用水总量约为亿立方米，故本选项推断不合理，故符合题意；
D、根据年全国用水总量的发展趋势，估计年全国用水总量约为亿立方米，本选项推断合理，故不符合题意；
故选：．
先根据统计图依次判断各选项，再选出推断不合理的即可．
本题考查折线统计图，解题关键是正确理解与分析统计图，得出结论或推断发展趋势．
8.【答案】
【解析】解：因为，，
所以．
因为是的平分线，
所以．
因为是的高，
所以．
所以．
所以．
故选：．
先利用三角形的内角和定理和角平分线的定义求出，再利用三角形的内角和定理求出，最后利用邻补角求出．
本题主要考查了三角形的内角和、高及角平分线．
9.【答案】
【解析】解：如图所示：
由题意可得：≌，
则，
，
．
故选：．
直接利用全等图形的性质得出，进而得出答案．
此题主要考查了全等图形，正确掌握全等三角形的性质是解题关键．
10.【答案】
【解析】解：法：
在上截取，连接如图
易证，≌，
所以，
又，，
所以，
所以可证≌，
所以，
所以；
法：
如图，延长交延长线于，
，
，
平分，平分，
，
，
，由≌，
可得，，
于是可证≌，
所以，
所以．
故选：．
由于与、与之间没有什么直接的联系，所以必须通过作辅助线建立与、之间的联系，进而方可求解．
不妨在上截取，连接，求证≌即可，也可延长交延长线于，证≌，当然其它方法只要能得出三条线段之间的关系即可，具体求解过程如下．
本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握．
11.【答案】
【解析】解：设外角为，则其内角为，
则，
解得：，
正边形外角和为，
．
故答案为：．
设外角为，则其内角为，然后利用正多边形的内角与外角互补列出方程求得的值，然后求边数即可．
本题考查了正多边形的外角与内角的知识，熟练掌握正多边形的内角和和外角和定理是解决此类题目的关键．
12.【答案】
【解析】解：个．
取了个，发现含有两个做标记，则做标记的乒乓球所占的比例是，再根据做标记的共有个，即可求得乒乓球的总数．
本题考查了用样本估计总体的计算方法．其中所抽取的个是样本，计算其中有标记出现的频率可以近似地估计总体中的频率．
13.【答案】
【解析】解：作于，如图，
平分，，，
，
．
故答案为：．
作于，如图，根据角平分线的性质得，然后根据三角形的面积公式计算．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
14.【答案】
【解析】解：因为，将沿着翻折得到，
所以，，
所以，
故答案为：
根据三角形外角性质和翻折的性质解答即可．
此题考查翻折的性质，关键是根据三角形外角性质和翻折的性质解答．
15.【答案】
【解析】解：点是的中点，
，，
，
，
点是的中点，
．
故答案为：．
根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．
本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．
16.【答案】
【解析】解：如图过作于，
平分，，
，
：，故正确；
，
，
、分别平分、，且、相交于点，
，，
，
，
，
，
，
，故错误；
在上截取，连接，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，故正确；
≌，≌，
，，
，，
，
故正确，
故答案为：．
如图过作于，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式得到：，故正确；根据角平分线的定义得到，，求得，于是得到，故错误；在上截取，连接，根据全等三角形的性质得到，，，于是得到，故正确；根据全等三角形的性质得到，，于是得到，故正确．
此题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形内角和定理及其推论等知识，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，构造全等三角形，再利用全等三角形的判定与性质解决问题．
17.【答案】解：．
【解析】先计算算术平方根、立方根、去绝对值，再进行加减运算．
本题考查算术平方根、立方根、绝对值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
18.【答案】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
故不等式组的解集为：．
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19.【答案】证明：平分，
，
在和中，
≌，
．
【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明≌是本题的关键．
由“”可证≌，可得．
20.【答案】
【解析】解：如图所示：
．
连接，，由作法可知，，，故可得出≌，所以就是的平分线．
故选：
以点为圆心，以适当长为半径作弧交、于两点、；
分别以点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点；
作射线．
由全等三角形的判定定理即可得出结论．
此题主要考查了基本作图，用到的知识点为：边边边可证得两三角形全等；全等三角形的对应角相等．
21.【答案】解：六边形的内角和为：；
六边形的内角和为，，
，
．
即的度数是．
【解析】此题考查了多边形的内角和公式．解题的关键是根据多边形的内角和的计算公式求得多边形的内角和．
由多边形的内角和公式，即可求得六边形的内角和；
由，即可求得的度数，继而求得答案．
22.【答案】抽样调查；
，；
人，
答：平均每天完成作业时长在“”分钟的初中生约有人．
【解析】解：在调查活动中，教育局采取的调查方式是抽样调查，
故答案为：抽样调查；
教育局抽取的初中生有人，
，即，
故答案为：，；
见答案．
根据教育局随机抽取几所学校部分初中生进行调查即可得出答案；
根据的人数人占所有抽样学生的即可求出抽样学生的人数，根据扇形统计图各部分的百分比之和为即可求出的值；
根据样本中的人数占抽样人数的估计全市人数即可．
本题考查了全面调查与抽样调查，扇形统计图，用样本估计总体，用样本中的人数占抽样人数的估计全市人数是解题的关键．
23.【答案】证明：在和中，，
≌，
，
平分．
又，，
．
【解析】欲证明，只需推知平分，所以通过全等三角形≌的对应角相等得到，问题就迎刃而解了．
本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
24.【答案】证明：，
，，
，
在和中，
，
≌，
即≌；
，，
，
由知≌，
，
，
，
，
；
延长到，使得，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
≌，
，，，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
．
【解析】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
根据题意和题目中的条件可以找出≌的条件；
根据中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到的度数；
根据题意和三角形全等的知识，作出合适的辅助线即可证明结论成立．
25.【答案】证明：设交于，交于，如图：
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
；
解：结论：，理由如下：
过点作轴交的延长线于，如图，
，，，
≌，
，
，，
，
，
，，
，，
，
，，
≌，
，，
，，
，
，
．
【解析】设交于，交于，证明≌，可得，即知，；
过点作轴交的延长线于，证明≌，有，即可证明≌，得，，故，，从而．
本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的判定定理等知识，综合性比较强，属于中考压轴题．
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