南阳一中2022年秋期高二年级第二次月考
数学学科试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A. B.或
C.或 D.或
2.已知椭圆的离心率是，则椭圆的焦距为（ ）
A.或 B.或 C. D.
3.直线，，则“”是“”的（ ）
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
5.双曲线的两条渐近线互相垂直，则（ ）
A.1 B.2 C. D.
6.已知双曲线的两个焦点为，，为双曲线右支上一点.若，则的面积为（ ）
A.48 B.24 C.12 D.6
7.已知椭圆的右焦点为，为椭圆上一动点，定点，则的最小值为（ ）
A.1 B. C. D.
8.若圆上到直线的距离等于1的点恰有3个，则（ ）
A. B. C. D.
9.已知椭圆的左，右焦点分别为，，，两点都在上，且，关于坐标原点对称，下列说法错误的是（ ）
A.的最大值为 B.为定值
C.的焦距是短轴长的2倍 D.存在点，使得
10.经过直线与圆的两个交点，且面积最小的圆的方程是（ ）
A. B.
C. D.
11.若是直线上一动点，过作圆的两条切线，切点分别为A，B，则四边形面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
12.已知椭圆，直线，若椭圆上存在两点关于直线对称，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.若圆与圆相内切，则________.
14.已知点、，在直线上，则的最小值等于________.
15.已知点为椭圆上任意一点，是圆上两点，且，则的最大值是________.
16.如图，过双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，为线段的中点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）已知直线过点.
（1）若直线与直线垂直，求直线的方程；
（2）若直线在两坐标轴的截距互为相反数，求直线的方程.
18.（本小题满分12分）已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于点.
（1）求圆的方程；
（2）直线过点且与圆相交，所得弦长为4，求直线的方程.
19.（本小题满分12分）已知直线，，，动点满足，动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）证明：直线与曲线总有两个交点.
20.（本小题满分12分）已知双曲线C与有相同的渐近线，且经过点.
（1）求双曲线的方程，并写出其离心率与渐近线方程；
（2）已知直线与双曲线交于不同的两点A，B，且线段的中点在圆上，求实数的值.
21.（本小题满分12分）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，该椭圆经过点，离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆相交A，B两点（A，B不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.
22.（本小题满分12分）已知椭圆，直线与椭圆交于，两点，且点位于第一象限.
（1）若点是椭圆的右顶点，当时，证明：直线和的斜率之积为定值；
（2）当直线过椭圆的右焦点时，轴上是否存在定点，使点到直线的距离与点到直线的距离相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
南阳一中2022年秋期高二年级第二次月考
数学学科试题答案
1.B【解析】根据题意，直线的斜率，由，得的取值范围为，即的取值范围为.
又，则或.
2.A【解析】若，则，解得，则，所以焦距是；若，则，解得，则，所以焦距是.
3.B【解析】的充要条件是，解得或，所以“”是“”的充分不必要条件.
4.A【解析】由椭圆的标准方程为，可得，即，因为双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，所以双曲线中，半焦距，又因为双曲线满足，即，又由，即，解得，可得，所以的方程为.
5.C【解析】因为双曲线的方程为，所以，所以双曲线的渐近线方程为，又双曲线的两条渐近线互相垂直，所以，所以.
6.B【解析】由双曲线的定义可得，解得，故，又，由勾股定理可知：三角形为直角三角形，因此.
7.A【解析】设粗圆的左焦点为，则，可得，
所以，如图所示，
当且仅当，，三点共线（点在线段上）时，此时取得最小值，
又由椭圆，可得且，所以，所以的最小值为1.
8.A将圆化为标准方程，得，故圆的圆心坐标为，半径.由圆上到直线的距离等于1的点恰有3个，知圆心到直线的距离，解得.
9.C【解析】解：由题意，，，，
所以，，，，，所以A正确，C错误；
由椭圆的对称性知，，所以B正确；
当在轴上时，，则为针角，所以存在点，使得，所以D正确.
10.D【解析】由题可知，当所求圆的直径就是已知圆与直线相交的弦时，所求圆的面积最小.圆配方可得，可得圆心坐标为，半径为2，弦心距，弦长为，过圆的圆心和直线垂直的直线方程为，即.
最小的圆的圆心为与直线的交点，解方程组可得，则所求面积最小的圆方程为：.
11.C【解析】由题意可得圆心为，半径为2，因为，与圆相切，所以四边形面积等于，的最小值为圆心到直线的距离，所以四边形面积的最小值为
12.C【解析】设，是椭圆上关于对称的两点，的中点为，则，，.又因为，在椭圆上，所以，，两式相减可得，即.又点在上，故，解得，.因为点在椭圆内部，所以，解得.
13.1【解析】圆的圆心为，半径为2；圆的圆心为，半径为1.所以两圆圆心间的距离为，由两圆相内切得，解得：.由于，所以.
14.12【解析】设关于的对称点为
则，.
，则，所以的最小值是12.
15.24【解析】设圆的圆心为，易知是圆的一条直径，因此
，因为点是椭圆的右焦点，点在椭圆上，所以，所以，即，所以的最大值为24.
16.【解析】设双曲线的右焦点，连接，.
则中，，，则，
由直线与圆相切，可得.
又双曲线中，，
则，
又，则，整理得，
两边平方整理得，则双曲线的离心率.
17.【解析】（1）因为直线与直线垂直，
所以，设直线的方程为，
因为直线过点，所以，
解得，所以直线的方程为.
（2）当直线过原点时，斜率为，由点斜式求得直线的方程是，即.
当直线不过原点时，设直线的方程为，
把点代入方程得，
所以直线的方程是.
综上，所求直线的方程为或.
18.【解析】（1）解：过点且与直线垂直的直线的方程为，
由题意可知，圆心即为直线与直线的交点，
联立，解得，故圆的半径为，
因此，圆的方程为
（2）解：由勾股定理可知，圆心到直线的距离为，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离为1，满足条件；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
由题意可得，解得，
此时，直线的方程为
，即.
综上所述，直线的方程为或
19.【解析】（1）解：设，因为，
所以.
两边平方得，
整理得，即曲线的方程为.
（2）证明：直线的方程可化为，
令解得即直线经过定点.
由（1）可知，曲线是圆心坐标为，半径为的圆.
因为，所以点在圆内部，
故直线与曲线总有两个交点.
20.【解析】（1）因为双曲线与有相同的渐近线，
所以可设双曲线的方程为，
代入，得，得，故双曲线的方程为，
所以，，，故离心率，渐近线方程为.
（2）联立直线与双曲线的方程，得，
整理得，.
设，，则的中点坐标为，
由根与系数的关系得，，，
所以的中点坐标为，
又点在圆上，所以，所以.
21.【解析】（1）设椭圆方程为：，焦距为，
由，得：，椭圆的标准方程为：；
（2）由得：，
则，整理可得：；
设，，则，
；
以为直径的圆过椭圆的右顶点，设其右顶点为，则，
，
即
，
或，
解得：或，满足；
当时，，恒过定点，
与A，B不是左右顶点矛盾，不合题意；
当时，，恒过定点，满足题意；
综上所述：直线恒过定点.
22.【解析】（1）证明：因为，所以直线，
联立直线方程和椭圆方程：，
得，设，，
则有，，所以，
又因为，所以，，
所以
所以
，所以直线和的斜率之积为定值.
（2）解：假设存在满足题意的点，设，
因为椭圆的右焦点，所以，即有，
所以直线的方程为，
由，可得，
设，，则有，，
因为点到直线的距离与点到直线的距离相等，
所以平分，所以，
即
，
又因为，所以，
代入，，即有，解得，
故轴上存在定点，使得点到直线的距离与点到直线的距离相等.
