驻马店市2022～2023学年度第一学期期终考试
高二数学试题
本试题卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试题卷上答题无效。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写（涂）在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第II卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题上作答，答案无效。
3．考试结束，监考教师将答题卡收回。
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线的倾斜角为（ ）
A．0 B． C． D．不存在
2．以，为直径两端点的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．关于的方程的解为（ ）
A． B． C．且 D．或
5．如右图，三棱锥中，为的中点，点满足，记，，，则（ ）
A． B．
C． D．
6．点到直线距离的最大值为（ ）
A．5 B． C． D．3
7．空间中两条异面直线，的夹角为，若直线过空间一定点且与，的夹角均为，则这样的直线的条数为（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
8．2022年2月4日，中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时创意新颖，惊艳了全球观众。我市某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“小雪”、“大雪”、“冬至”、“小寒”、“大寒”五张知识展板，分别放置在五个并排的文化橱窗里，要求“小雪”不能放在首位，“大雪”不能在末位，且“冬至”不在正中间位置，则不同的放置方式的种数有（ ）
A．66 B．64 C．48 D．30
9．袋中有除颜色外完全相同的5个小球，其中3个白球和2个红球．现从袋中不放回地连取两个．在第一次取得红球前提下，则第二次取得白球的概率为（ ）
A．0.25 B．0.5 C．0.6 D．0.75
10．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中描述的几何体“阳马”实为“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”．如图，在“阳马”中，平面，，则直线与面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知，记，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知椭圆与双曲线具有相同的左、右焦点，，点为它们在第一象限的交点，动点在曲线上，若记曲线，的离心率分别为，，满足，且直线与轴的交点的坐标为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为________．
14．式子二项式定理展开中的第6项为________．
15．某同学将英文单词“million”中字母的顺序记错了，那么他在书写该单词时，写错的情况有________种（用数字作答）．
16．已知动点在抛物线上，过点引圆的切线，切点分别为，，则的最小值为________．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本题满分10分）
中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开．中国共产党第二十次全国代表大会是在全党全国各族人民迈上全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的关键时刻召开的一次十分重要的大会．某单位组织部门计划从本部门挑选出5人组建一个宣讲团，到辖区内的四个社区进行“二十大精神”知识宣讲，要求每个社区至少安排一个宣讲人，每个宣讲人只能到一个社区，记宣讲团的不同分组方法有种．
（I）求的值；
（II）求展开式中二项式系数最大的项．
18．（本题满分12分）
已知点，，动点满足．
（I）求动点的轨迹方程；
（II）直线过点且与点的轨迹只有一个公共点，求直线的方程．
19．（本题满分12分）
已知圆，，动圆与圆，均外切，记圆心的轨迹为曲线．
（I）求曲线的方程；
（II）直线过点，且与曲线交于，两点，满足，求直线的方程．
20．（本题满分12分）
代号为01，02，03的三人同时对某一飞行目标进行射击，三人击中的概率分别为0.5，0.6，0.7．若目标被一人击中，则被击落的概率为0.2；若被2人击中，则被击落的概率是0.4；若被三人击中，则目标被击落的概率是0.9．
（I）求目标被2人击中的概率；
（II）求目标被击落的概率．
21．（本题满分12分）
如图，在几何体中，底面为正方形，，，．
（I）求点到平面的距离；
（II）求平面与平面的夹角的余弦值．
22．（本题满分12分）
已知椭圆的左右顶点分别为，，椭圆的离心率为，动点在曲线上，且的面积的取值范围是，过点的直线与椭圆交于，两点．
（I）求椭圆的方程；
（II）若点在第一象限，求的取值范围．
驻马店市20222023学年度第一学期期终考试
高二数学参考答案
一、选择题
1-5：BACDD 6-10：ADBDA 11-12：CA
二、填空题
13．或 14． 15．1259 16．
三、解答题
17．（1）由条件5人分成四组，每组至少一人，则必有
从而
（2）当，则二项式系数最大时，
也即二项式展开式中的第六项的二项式系数最大
从而即为所求
18．（1）设，由条件
则
整理：
即点的轨迹方程为
（2）过点的直线与点的轨迹只有一个公共点，也即直线与方程相切，
当直线的斜率存在时，不妨设
则圆心到直线的距离．
得．
此时
当的斜率不存在时，直线此时直线与圆相切
综上所述，满足题意得直线的方程为：或
19．（1）由条件则
即
则根据双曲线的定义可知，点是以，为焦点，以2为实轴长的双曲线的右支
从而．
（2）由于且直线的斜率不等于0，因此不防设
，，．
则，，
由条件得
联立得
由韦达定理可得．
即可得．
解得．
因此直线或
20．解（1）设事件表示“目标被人击中”，事件
表示“目标被第人击中”，
因此
（2）记事件表示“目标被击落”，则，，，构成样本空间的一个划分，
由条件，，，
根据全概率公式可得
21．（1）由条件，，，
从而面面面
取的中点为坐标原点，经过的中点的方向为轴，方向为轴，建立如图所示的空间直角坐标系：
解得，，，，，
，，
设平面的一法向量为
由
即，取，
的平面的一法向量为
因此点到平面的距离
（2）由于，，
设平面的一个法向量为
由
即取，
得．
同理求得平面的一个法向量为．
因此平面与夹角的余弦值为
即因此平面与夹角的余弦值为．
注：若证明直线与的夹角等于平面与的夹角，证明过程正确，且结果正确，可不扣分．
22．（1）由条件，即，
，也即
解得，，
从而
（2）当直线的斜率不存在时可得
当直线的斜率存在时，不防设
，，，
联立方程得
则，．
从而
也即恒有．
因为点在第一象限，从而
从而在内的取值范围是即为所求．
注：解答题部分，若作答中与提供答案方法不同，阅卷时可根据情况酌情给分．
