人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程单元复习题
一、选择题
1．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．一元二次方程的解为（ ）
A． B．，
C． D．
3．关于的一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定根的情况
4．方程的解是（ ）
A． B．
C．， D．，
5．已知3是关于x的方程x2﹣5x+c＝0的一个根，则这个方程的另一个根是（ ）
A．﹣2 B．2 C．5 D．6
6．一元二次方程的二次项系数和常数项分别是（ ）
A．2，1 B．2，0 C．2，－1 D．－3，－1
7．若一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣1 B．m≤1
C．m≥﹣1且m≠0 D．m≤1且m≠0
8．已知关于x的一元二次方程x2＋3x＋1＝0有两根为x1和x2，则x1x2＋x1＋x2的值是（ ）
A．2 B．－2 C．1 D．－1
9．某学校举行篮球对抗赛，有支球队参加，每两队之间比赛一场，共安排了28场比赛，则正确的方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．规定：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”现有下列结论
①方程x2+2x﹣8＝0是倍根方程；②若关于x的方程x2+ax+2＝0是倍根方程，则a＝±3；③若（x﹣3）（mx﹣n）＝0是倍根方程，则n＝6m或3n＝2m；④若点（m，n）在反比例函数y＝ 的图象上，则关于x的方程mx2﹣3x+n＝0是倍根方程.上述结论中正确的有（ ）
A．② B．①③ C．②③④ D．②④
二、填空题
11．若方程的一个根为1，则 .
12．已知三角形两边的长是6和8，第三边的长是方程的一个根，则该三角形的面积是 ．
13．已知x1，x2是方程2x2﹣3x+1＝0的两根，则代数式的值为 ．
14．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了28条航线，则这个航空公司共有 个飞机场.．
三、计算题
15．解方程
（1）2﹣4x+1＝0（配方法）；
（2）2﹣4x+1＝0（公式法）；
（3）﹣x＝2x﹣2（因式分解法）．
四、解答题
16．若关于x的方程 是一元二次方程，求m的值．
17．先化简，再求值：，其中满足．
18．已知关于x的方程有两个实数根.
（1）求k的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为，且，求实数k的值．
19．一根长8m的绳子能否围成一个面积为3m2的矩形？若能，请求出矩形的长和宽；若不能，请说明理由.
五、综合题
20．先阅读，再填空解答：
方程 的根为 ；
方程 的根为 .
（1）方程 的根是x1= ，x2= ， = ，
= 。
（2）若 是关于x的一元二次方程 的两个实数根，那么 与系数a、b、c的关系是： = ， = 。
（3）如果 是方程 的两个根，根据⑵所得的结论，求 的值.
21．关于的一元二次方程.
（1）求证：无论取何值，方程总有实数根；
（2）已知方程有一根大于6，求的取值范围.
22．已知关于x的方程.
（1）若方程有两个实数解，求实数a的取值范围：
（2）若方程的两个实数解是，，满足，求实数a的值.
23．如图，有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的长方形花圃．
（1）设花圃的一边AB为xm，则BC的长可用含x的代数式表示为 m；
（2）当AB的长是多少米时，围成的花圃面积为63平方米？
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】B
【解析】【解答】解：，
移项得：，
开平方得：，，
故答案为：B．
【分析】利用直接开方法求解一元二次方程即可。
3．【答案】A
4．【答案】D
【解析】【解答】解：，
，
，
或，
，
故答案为：D．
【分析】利用因式分解法解方程即可.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：设方程的另一个根是m，
∵3是关于x的方程x2﹣5x+c＝0的一个根，
∴3+m＝5，
解得，m＝2，
∴这个方程的另一个根是2
故答案为：B．
【分析】设方程的另一个根是m，由根与系数的关系（），列出关于另一根m的方程，解方程即可.
6．【答案】C
【解析】【解答】解：一元二次方程的二次项系数为2，常数项为-1．
故答案为：C
【分析】根据一元二次方程的二次项的系数的定义及常数项的定义求解即可。
7．【答案】D
【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，
∴b2-4ac≥0且m≠0，
∴4-4m≥0且m≠0，
解之：m≤1且m≠0.
故答案为：D.
【分析】利用一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，则b2-4ac≥0，可得到关于m的不等式，求解即可.
8．【答案】B
9．【答案】A
【解析】【解答】解：根据题意得：
故答案为：A
【分析】根据有支球队参加，直接列出方程即可。
10．【答案】D
【解析】【解答】解： ①x2+2x﹣8＝（x+4）(x-2)=0 ,∴x1=-4,x2=2, x1=-2x2, 不是倍根方程，错误；
② 由题意得：2x12=2, ∴x1=±1，∴x1=1,x2=2,x1=-1,x2=-2, 则a＝x1+x2=±3, 正确；
③∵x1=3,x2=, 当x1=2x2时，3m=2n, 当x2=2x1时，n=6m, 错误；
④ 由题意得：n=, ∴mx2-3x+=0, ∴x1+x2=,x1x2=, 整理得：2x12-5x1x2+2x22
=0, ∴（x1-2x2）(2x1-x2)=0, ∴x1=2x2, 或x2=2x1，正确；
综上，正确的是②④ .
故答案为：D.
【分析】①用十字相乘法解一元二次方程直接验证即可；②先根据两根之积等于2，分两种情况讨论均符合“倍根方程” 的条件；③分两种情况讨论，结合倍根方程的条件可得m和n的关系；④ 根据反比例函数式，求出m和n的关系， 利用一元二次方程根与系数的关系列式整理即可求得两根之间的关系.
11．【答案】1
12．【答案】24或
【解析】【解答】解：设三角形的第三边的长为，
∵，
∴，
∴，，
∵三角形两边的长是6和8，
∴，
∴，
∴第三边的长为6或10．
∴三角形有两种：
①当三边为6、6、8时，如图，
在中，，，
∴为等腰三角形，
过点作于点，
∴，
，
∴；
②当三边为6、8、10时，如图，
在中，，，，
∵，
∴为直角三角形，
∴．
综上所述，该三角形的面积为24或．
故答案为：24或．
【分析】先求出一元二次方程的根，再分两种情况：①当三边为6、6、8时，②当三边为6、8、10时，再分别求解即可。
13．【答案】1
【解析】【解答】解：∵x1，x2是方程2x2﹣3x+1＝0的两根，
∴x1+x2=，x1x2=，
∴.
故答案为：1.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可求出x1+x2和x1x2的值，再整体代入求值即可.
14．【答案】8
15．【答案】（1）解：方程整理得：﹣2x＝﹣，
配方得：﹣2x+1＝，即＝，
开方得：x﹣1＝±，
解得：＝1+，＝1﹣
（2）解：这里a＝2，b＝﹣4，c＝1，
∵Δ＝16﹣8＝8＞0，
∴x＝，
解得：＝，＝
（3）解：变形得：x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0，
分解因式得：（x﹣1）（x﹣2）＝0，
所以x﹣1＝0或x﹣2＝0，
解得：＝1，＝2．
【解析】【分析】（1）按照配方法解一元二次方程；
（2）根据公式法解一元二次方程，即可求解；
（3）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．
16．【答案】解：∵关于x的方程 是一元二次方程，
∴m+1≠0，且|m|+1=2，
解得m+1≠0，且m=1或m=-1，
∴m=1，
故答案为：m=1．
【解析】【分析】根据一元二次方程二次项系数不为0，x的最高次数为2列关系式即可求解。
17．【答案】解：原式
，
解方程得，舍去，，
当时，原式．
【解析】【分析】先通分计算括号内异分母分式的减法，然后把各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式，同时将除法转变为乘法，接着约分化简；再利用因式分解法求出一元二次方程的解，然后把符合题意的x的值代入进行计算，即可得出答案.
18．【答案】（1）解：
∴ ；
（2）解：依题意得，
∴
∴
∴ ，又
∴
19．【答案】解：设矩形的长为xm，则宽为： =（4 x）m，根据题意得出：
x（4 x）＝3，
解得：x1＝3，x2＝1.
答：可以，矩形的长为3m，宽为1m.
【解析】【分析】设矩形的长为xm，表示出宽，然后根据面积为3m2可得关于x的方程，求解即可.
20．【答案】（1）；1；；
（2）；
（3）解：如果 是方程 的两个根，根据⑵所得的结论，
得
= =（-1）2-2×（-3）=7.
【解析】【解答】解：（1）方程 的根是 1， .故答案为： 1， ；
（2）若 是关于x的一元二次方程 的两个实数根，
那么 与系数a、b、c的关系是： ；
21．【答案】（1）证明：∵，，，
依题意，得
∵，
∴方程总有两个实数根
（2）解：由求根公式，得，
∴，
∵方程有一个根大于6，
∴.
∴.
∴m的取值范围是.
【解析】【分析】（1）先计算△=， 根据偶次幂的非负性即可判断；
（2）利用求根公式可得，由方程有一个根大于6， 可得，从而得解.
22．【答案】（1）解：
，
∵方程有两个实数解，
∴，
∴即实数取值范围是；
（2）解：由一元二次方程的根与系数关系得
，
∵，
∴，是同号的两个实数或其中一个为零，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴都符合题意.
【解析】【分析】（1）由方程有两个实数解，可得△≥0，据此解答即可；
（2）根据根与系数的关系可得， ，由，是同号的两个实数或其中一个为零，可得，根据 即可求解.
23．【答案】（1）30－3x
（2）解：由题意得：﹣3x2+30x＝63．
解此方程得x1＝7，x2＝3．
当x＝7时，30﹣3x＝9＜10，符合题意；
当x＝3时，30﹣3x＝21＞10，不符合题意，舍去；
故当AB的长为7m时，花圃的面积为63m2．
【解析】【解答】解：（1）由题意得：BC＝30﹣3x，
故答案为：30﹣3x；
【分析】（1）根据三边总长为30m可得BC的长；
(2) 根据矩形的面积公式，用含x的代数式表示面积，令面积等于63，得到一元二次方程，求解方程找出符合题意的x值即可。
