2023-2024学年人教版九年级数学上册《21.1—24.2》阶段性综合练习题（附答案）
一、选择题（共30分）
1．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．x+y＝1 B．x2+x＝1 C．x1 D．x3+x2＝1
2．将抛物线y＝x2向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A．y＝（x+1）2+3 B．y＝（x+1）2﹣3 C．y＝（x﹣1）2+3 D．y＝（x﹣1）2﹣3
3．把方程x2﹣4x﹣7＝0化成（x﹣m）2＝n的形式，下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝3 B．（x﹣2）2＝11 C．（x﹣4）2＝11 D．（x+2）2＝11
4．已知关于x的方程x2+4x+a＝0有两个不相等的实数根，则a的值可能为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．下列4个图形中，是中心对称图形但不是轴对称的图形是（ ）
A． B． C． D．
6．已知α，β是方程x2+2021x+1＝0的两个根，则（1+2022a+α2）（1+2023β+β2）的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．关于二次函数y＝x2﹣2x﹣3，下列说法错误的是（ ）
A．顶点坐标为（1，﹣4） B．对称轴为x＝1
C．抛物线与x轴有两个交点 D．x＝2与x＝﹣2时函数值一样大
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则使得函数值y大于2的自变量x的取值可以是（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．2
9．⊙O半径为5，弦AB∥CD，AB＝6，CD＝8，则AB与CD间的距离为（ ）
A．1 B．7 C．1或7 D．3或4
10．如是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）（3，0）之间，对称轴是线x＝1．对于下列说法：
①abc＜0；②b＞a+c；③3a+c＞0；④当﹣1＜x时，y＞0；⑤a+b≥m（am+b）（m为实数）．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤
二、填空题（共28分）
11．若关于x的一元二次方程（a+3）x2+2x+a2﹣9＝0有一个根为0，则a的值为 ．
12．若点（a，1）与（﹣2，b）关于原点对称，则ab＝ ．
13．若等腰三角形的一边长是2，另两边的长是关于x的方程x2﹣6x+m＝0的两个根，则m的值为 ．
14．如图，已知圆心角∠AOB的度数为100°，则圆周角∠ACB等于 度．
15．将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后，经过点（﹣2，5），则8a﹣4b﹣11的值是 ．
16．《九章算术》是我国古代的数学名著，其中“勾股”章有一题，大意是说：已知矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长10尺，那么门的高和宽各是多少？如果设门的宽为x尺，根据题意，那么可列方程 ．
17．如图，将△ABC绕点A旋转到△AEF的位置，点E在BC边上，EF与AC交于点G．若∠B＝70°，∠C＝25°，则∠FGC＝ ．
三、解答题（一）（共18分）
18．解方程：
（1）2x2﹣3x＝0；
（2）x2﹣7x+8＝0．
19．已知二次函数的顶点坐标为A（1，﹣4），且经过点B（3，0）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）判断点C（2，﹣3）是否在该函数图象上，并说明理由．
20．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C作⊙O的切线与AB的延长线交于点D．若∠A＝30°，求证：AC＝CD．
四、解答题（二）（共24分）
21．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x+c的图象经过点C（0，﹣3），与x轴交于点A、B（点A在点B左侧）．
（1）求二次函数的解析式及顶点坐标；
（2）求A，B两点的坐标，并根据图象直接写出当y＞0时，自变量x的取值范围．
22．网购已经成为一种时尚，某网络购物平台“双十一”全天交易额逐年增长，2020年交易额为500亿元，2022年交易额为720亿元．
（1）2020年至2022年“双十一”交易额的年平均增长率是多少？
（2）若保持原来的增长率，试计算2023年该平台“双十一”的交易额将达到多少亿元？
23．如图，△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得，且AB⊥BC，BE＝CE，连接DE．
（1）求证：△BDE≌△BCE；
（2）试判断四边形ABED的形状，并说明理由．
五、解答题（三）（共20分）
24．商场销售服装，平均每天可售出20件，每件盈利 40元，为扩大销售量，减少库存，该商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，一件衣服降价1元，每天可多售出2件．
（1）设每件降价x元，可以销售出 件．（用x的代数式表示）
（2）若商场每天要盈利1200元，同时尽量减少库存，每件应降价多少元？
（3）每件降价多少元时，商场每天盈利达到最大？最大盈利是多少元？
25．如图，抛物线顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B．
（1）求抛物线和直线AB的解析式；
（2）求S△CAB；
（3）设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使S△PAB面积最大，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）设点Q是抛物线上的一个动点，是否存在一点Q，使S△QAB＝S△CAB，若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（共30分）
1．解：A．是二元一次方程，不是一元二次方程，故A不符合题意；
B．是一元二次方程，故B符合题意；
C．是分式方程，不是一元二次方程，故C不符合题意；
D．是一元三次方程，不是一元二次方程，故D不符合题意；
故选：B．
2．解：原抛物线的顶点为（0，0），向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，那么新抛物线的顶点为（﹣1，3）；
可设新抛物线的解析式为y＝（x﹣h）2+k，代入得：y＝（x+1）2+3．
故选：A．
3．解：x2﹣4x﹣7＝0，
x2﹣4x＝7，
x2﹣4x+4＝7+4，
∴（x﹣2）2＝11．
故选：B．
4．解：∵关于x的方程x2+4x+a＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝42﹣4×1×a＞0，
解得a＜4．
观察选项，只有A选项符合题意．
故选：A．
5．解：A、不是中心对称图形，也不是轴对称的图形，故本选项错误；
B、是中心对称图形，也是轴对称的图形，故本选项错误；
C、是中心对称图形但不是轴对称的图形，故本选项正确；
D、不是中心对称图形，是轴对称的图形，故本选项错误．
故选：C．
6．解：∵α，β是方程x2+2021x+1＝0的两个根，
∴α2+2021α+1＝0，β2+2021β+1＝0，αβ＝1，
∴（1+2022α+α2）（1+2023β+β2）
＝（α2+2021α+1+α）（β2+2021β+1+2β）
＝α 2β
＝2αβ
＝2×1
＝2．
故选：B．
7．解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣4），
∴A、B不符合题意，
当 x＝1 时，y有最小值﹣4，当x＜1时，y随x的增大而减少，当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴抛物线与x轴有两个交点，
∴C不符合题意，
当 x＝2 时 y＝﹣3，x＝﹣2 时，y＝5，函数值不一样大，
∴D符合题意．
故选：D．
8．解：∵抛物线的对称轴为x＝﹣1.5，
∴点（0，2）关于直线x＝﹣1.5的对称点为（﹣3，2），
当﹣3＜x＜0时，y＞2，
即当函数值y＞2时，自变量x的取值范围是﹣3＜x＜0．
故选：B．
9．解：过O点作OE⊥AB，E为垂足，交CD与F，连OA，OC，如图，
∵AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∴AE＝BE，CF＝DF，
而AB＝6，CD＝8，
∴AE＝3，CF＝4，
在Rt△OAE中，OA＝5，OE4；
在Rt△OCF中，OC＝5，OF3；
当圆O点在AB、CD之间，AB与CD之间的距离＝OE+OF＝7；
当圆O点不在AB、CD之间，AB与CD之间的距离＝OE﹣OF＝1；
所以AB与CD之间的距离为7或1．
故选：C．
10．解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴x1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
∵抛物线与x轴的交点A在点（2，0）（3，0）之间，对称轴为x＝1，
∴抛物线x轴的另一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间，
∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，即a+c＜b，即②正确，④错误；
抛物线与x轴的交点A在点（2，0）（3，0）之间，
∴9a+3b+c＜0，
又b＝﹣2a，
∴9a﹣6a+c＝3a+c＜0，故③错误；
由图可知，当x＝1时，函数有最大值，
∴对于任意实数m，有am2+bm+c≤a+b+c，即a+b≥m（am+b），故⑤正确．
综上，正确的有①②⑤．
故选：B．
二、填空题（共28分）
11．解：根据题意，将x＝0代入方程可得a2﹣9＝0，
解得：a＝3或a＝﹣3，
∵a+3≠0，即a≠﹣3，
∴a＝3．
故答案为：3．
12．解：∵点（a，1）与（﹣2，b）关于原点对称，
∴a＝2，b＝﹣1，
则ab＝﹣2．
故答案为：﹣2．
13．解：当底边长为2时，则腰长为方程x2﹣6x+m＝0的两个根，
∴△＝（﹣6）2﹣4m＝0，解得m＝9；
当腰长为2，则x＝2为方程x2﹣6x+m＝0的一个根，
∴4﹣12+m＝0，解得m＝8，
方程化为x2﹣6x+8＝0，解得x1＝2，x2＝4，
∵2+2＝4，
∴2、2、4不符合三角形三边的关系，舍去，
综上所述，m的值为9．
故答案为9．
14．解：设点E是优弧AB上的一点，连接EA，EB
∵∠AOB＝100°
∴∠E∠AOB＝50°
∴∠ACB＝180°﹣∠E＝130°．
15．解：将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后，
表达式为：y＝ax2+bx+2，
∵经过点（﹣2，5），代入得：4a﹣2b＝3，
则8a﹣4b﹣11＝2（4a﹣2b）﹣11＝2×3﹣11＝﹣5，
故答案为：﹣5．
16．解：设门的宽为x尺，那么这个门的高为（x+6）尺，根据题意得方程：
x2+（x+6）2＝102．
故答案为：x2+（x+6）2＝102．
17．解：∵将△ABC绕点A旋转到△AEF的位置，
∴AB＝AE，∠B＝∠AEF，
∴∠B＝∠AEB，
∵∠B＝70°，
∴∠AEB＝∠AEF＝70°，
∴∠GEC＝180°﹣∠AEB﹣∠AEF＝40°，
∵∠C＝25°，
∴∠FGC＝∠GEC+∠C＝65°．
故答案为：65°．
三、解答题（一）（共18分）
18．解：（1）∵2x2﹣3x＝0，
∴x（2x﹣3）＝0，
则x＝0或2x﹣3＝0，
解得x1＝0，x2＝1.5；
（2）∵x2﹣7x+8＝0，
∴a＝1，b＝﹣7，c＝8，
则Δ＝（﹣7）2﹣4×1×8＝17＞0，
∴x，
∴x1，x2．
19．解：（1）设二次函数的解析式是y＝a（x﹣h）2+k，
∵二次函数的顶点坐标为A（1，﹣4），
∴y＝a（x﹣1）2﹣4，
∵经过点B（3，0），
∴代入得：0＝a（3﹣1）2﹣4，
解得：a＝1，
∴y＝（x﹣1）2﹣4，
即二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）点C（2，﹣3）在该函数图象上，
理由是：把C（2，﹣3）代入y＝x2﹣2x﹣3得：左边＝﹣3，右边＝4﹣4﹣3＝﹣3，
即左边＝右边，
所以点C在该函数的图象上．
20．解：连接OC，如下图：
∵CD与⊙O相切，
∴∠OCD＝90°，
∵OC＝OA，
∴∠A＝∠OCA＝30°，
∴∠COD＝∠A+∠ACO＝60°，
∴∠ADC＝30°＝∠A，
∴AC＝CD．
四、解答题（二）（共24分）
21．解：（1）将C（0，﹣3）代入y＝x2﹣2x+c得，
c＝﹣3，
∴y＝x2﹣2x﹣3，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）令y＝0得x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴当y＞0时，自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞3．
22．解：（1）设2020年到2022年“双十一”交易额的年平均增长率为x，
由题意得，500（1+x）2＝720，
解得x＝0.2＝20%或x＝﹣2.2（舍去），
∴2020年到2022年“双十一”交易额的年平均增长率为20%；
（2）∵720×（1+20%）＝864，
∴按照这个增长率，预计2023年该平台“双十一”的交易额将达到864亿元．
23．（1）证明：∵△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得，
∴DB＝CB，∠ABD＝∠EBC，∠ABE＝60°，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠DBE＝∠CBE＝30°，
在△BDE和△BCE中，
，
∴△BDE≌△BCE（SAS）；
（2）四边形ABED为菱形；
由（1）得△BDE≌△BCE，
∵△BAD是由△BEC旋转而得，
∴△BAD≌△BEC，
∴BA＝BE，AD＝EC＝ED，
又∵BE＝CE，
∴AB＝BE＝ED＝AD，
∴四边形ABED为菱形．
五、解答题（三）（共20分）
24．解：（1）由题意得：销售的件数为20+2x，
故答案为（20+2x）；
（2）由题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
解得x1＝10（舍去），x2＝20，
所以商场每天要盈利1200元，每件衣服降价20元；
（3）由题意得：y＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x﹣15）2+1250，
∵a＝﹣2＜0，
∴当x＝15时，y有最大值，其最大值为1250，
所以每件降价15元时，商场每天的盈利达到最大，盈利最大是1250元．
25．解：（1）设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+4，
把A（3，0）代入解析式求得a＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3，
当x＝0时，y＝3，
∴B（0，3），
设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
把A（3，0），B（0，3）代入y＝kx+b中，得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+3；
（2）如图1，连接OA，
∴S△CAB＝S△OCB+S△AOC﹣S△AOB
3×13×43×3
＝1.5+6﹣4.5
＝3；
（3）如图2，设P（x，﹣x2+2x+3）（0＜x＜3），
S△PAB＝S△OBP+S△AOP﹣S△AOB
3x 3（﹣x2+2x+3）3×3
x2x
（x2﹣3x）
（x）2，
∵0，
∴当x时，△PAB的面积最大，此时P（，）；
（4）分两种情况：
①当Q在AB的上方时，如图3，过点C作CD∥AB，交抛物线于Q，连接QB，QA，此时S△ACB＝S△QAB，
设CD的解析式为：y＝﹣x+m，
把C（1，4）代入得：4＝﹣1+m，
∴m＝5，
∴﹣x2+2x+3＝﹣x+5，
解得：x1＝1，x2＝2，
∴Q（2，3）；
当Q与C重合时，Q（1，4）；
②当Q在AB的下方时，
由①知：直线CD与y轴的交点为（0，5），即直线AB向上平移2个单位，
∴将直线AB向下平移2个单位得到y＝﹣x+1，
∴﹣x2+2x+3＝﹣x+1，
解得：x1，x2，
∴Q（，）或（，）．
综上，点Q的坐标是（2，3）或（1，4）或（，）或（，）．
