第十二章 三角形 习题课 构造全等三角形的几种常用方法
【知识网络】
【同步练习】
类型1 翻折法
1．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为D.求证：∠2＝∠1＋∠C.
类型2 补形法
2．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D是AC上一点，且AE⊥BD的延长线于点E，又BD平分∠ABC.求证：AE＝BD.
类型3 倍长中线法
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先将三角形的中线延长至一倍，构造出全等三角形（“8”字形），再利用全等三角形的知识解题.
（1）如图1，已知 为 的中点，延长 至点 ，使 ，连接 ；
（2）如图2，已知 为 的中点，延长 至点 ，使 ，连接 ；
（3）如图3，已知 为 的中点，延长 交 的延长线于点
3．如图，△ABC中，D为BC的中点．
(1)求证：AB＋AC＞2AD；
(2)若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．
4．如图，已知CE，CB分别是△ABC，△ADC的中线，且AB＝AC，求证：CD＝2CE.
类型4 旋转法
5．如图，在正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE＋DF＝EF，求∠EAF的度数．
6．如图①，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ADC＝60°，AB＝BC.
(1)若E，F分别在AD，CD上，且∠EBF＝60°，求证：EF＝AE＋CF；
(2)如图②，若E，F分别在AD，DC的延长线上，其余条件不变，求证：AE＝EF＋CF.
类型5 截长补短法
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（1）截长法：先在长线段上取一段，使其等于其中一条短线段，再证明剩下的线段等于另一条短线段.
（2）补短法：①先延长其中一条短线段，使延长部分等于另一条短线段，再证明延长后的线段等于长线段；②先延长其中一条短线段，使其等于长线段，再证明延长的部分等于另一条短线段
7．【2022自贡期中】如图,在 中, , , 为 上任意一点.求证： .
8．如图，AB∥CD，CE，BE分别平分∠BCD，∠CBA，点E在AD上．求证：BC＝BA＋DC.
类型6 作垂线法
9．如图，在△ABC中，AD是中线，点E是AD上一点，且BE＝AC.求证：∠BED＝∠DAC.
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB，点C的坐标为(－2,0)，点A的坐标为(－6,3)，求点B的坐标．
类型7 平行线法【选做】
11．在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，AP平分∠BAC交BC于点P，BQ平分∠ABC交AC于点Q，且AP与BQ相交于点O.
求证：AB＋BP＝AQ＋BQ.(提示：在同一三角形中，相等的角所对的边相等)
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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参考答案
【同步练习】
类型1 翻折法
1．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为D.求证：∠2＝∠1＋∠C.
证明：如图，延长AD交BC于点F.(相当于将AB边向下翻折，与BC边重合，点A落在点F处，折痕为BD)．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE.
∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠BDF＝90°.
在△ABD和△FBD中，
∴△ABD≌△FBD(ASA)．∴∠2＝∠DFB.
又∵∠DFB＝∠1＋∠C，
∴∠2＝∠1＋∠C.
类型2 补形法
2．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D是AC上一点，且AE⊥BD的延长线于点E，又BD平分∠ABC.求证：AE＝BD.
证明：
延长AE，BC交于点F.
∵∠EAD＋∠ADE＝90°，∠BDC＋∠CBD＝90°，
∠ADE＝∠BDC，
∴∠EAD＝∠CBD.
在△ACF和△BCD中，
∴△ACF≌△BCD(ASA)．∴AF＝BD.
在△ABE和△FBE中，
∴△ABE≌△FBE(ASA)．
∴AE＝EF，即AE＝AF.
∴AE＝BD.
类型3 倍长中线法
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先将三角形的中线延长至一倍，构造出全等三角形（“8”字形），再利用全等三角形的知识解题.
（1）如图1，已知 为 的中点，延长 至点 ，使 ，连接 ；
（2）如图2，已知 为 的中点，延长 至点 ，使 ，连接 ；
（3）如图3，已知 为 的中点，延长 交 的延长线于点
3．如图，△ABC中，D为BC的中点．
(1)求证：AB＋AC＞2AD；
(2)若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．
解：(1)证明：延长AD至点E，使DE＝AD.
∵D为BC的中点，
∴DB＝DC.
在△ADC和△EDB中，
∴△ADC≌△EDB(SAS)，
∴AC＝EB.
在△ABE中，∵AB＋EB＞AE，AE＝2AD，
∴AB＋AC＞2AD.
(2)∵AB＝5，AC＝3，
∴5－3＜2AD＜5＋3，
∴1＜AD＜4.
4．如图，已知CE，CB分别是△ABC，△ADC的中线，且AB＝AC，求证：CD＝2CE.
证明：如图，延长CE到点F，使EF＝CE，连接FB，
则CF＝2CE.
∵CE是△ABC的中线，∴AE＝BE.
在△BEF和△AEC中，
∴△BEF≌△AEC(SAS)．∴∠EBF＝∠BAC，BF＝AC.
过点A作AH⊥BC于H，则∠AHB＝∠AHC＝90°.
在Rt△AHB和Rt△AHC中，
∴Rt△AHB≌Rt△AHC(HL)．
∴∠ACB＝∠ABC.
∴∠CBD＝∠BAC＋∠ACB＝∠EBF＋∠ABC＝∠CBF.
∵CB是△ADC的中线，∴AB＝BD.
又∵AB＝AC，AC＝BF，∴BD＝BF.
在△CBD和△CBF中，
∴△CBD≌△CBF(SAS)．
∴CD＝CF.
∴CD＝2CE.
类型4 旋转法
5．如图，在正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE＋DF＝EF，求∠EAF的度数．
解：如图，延长CB到点H，使得BH＝DF，连接AH.易证△ABH≌△ADF(SAS)，得∠BAH＝∠DAF，进而证得∠HAF＝∠BAD＝90°，
再由SSS证得△AEH≌△AEF，
∴∠EAF＝∠EAH＝∠HAF＝45°.
6．如图①，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ADC＝60°，AB＝BC.
(1)若E，F分别在AD，CD上，且∠EBF＝60°，求证：EF＝AE＋CF；
证明：如图①，延长DA到点G，使AG＝CF，连接BG.
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴∠BAG＝∠BCF＝90°.
在△BAG和△BCF中，
∴△BAG≌△BCF(SAS)．
∴BG＝BF，∠ABG＝∠CBF.
∵∠ADC＝60°，
∴∠CBA＝360°－90°－90°－60°＝120°.
又∵∠EBF＝60°，
∴∠CBF＋∠ABE＝120°－∠EBF＝60°.
∴∠ABG＋∠ABE＝60°，即∠EBG＝60°，
∴∠EBF＝∠EBG.
在△EBF和△EBG中，
∴△EBF≌△EBG(SAS)．
∴EF＝EG＝AE＋AG＝AE＋CF；
(2)如图②，若E，F分别在AD，DC的延长线上，其余条件不变，求证：AE＝EF＋CF.
证明：如图②，在AE上截取AG＝CF，连接BG.
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴∠BAG＝∠BCF＝90°.
在△ABG和△CBF中，
∴△ABG≌△CBF(SAS)．
∴BG＝BF，∠ABG＝∠CBF.
∵∠ADC＝60°，∴∠CBA＝360°－90°－90°－60°＝120°.
∴∠FBG＝∠CBF＋∠CBG＝∠ABG＋∠CBG＝∠CBA＝120°.
∵∠EBF＝60°，∴∠EBG＝∠EBF＝60°.
在△EBF和△EBG中，
∴△EBF≌△EBG(SAS)．∴EF＝EG.
∴AE＝EG＋AG＝EF＋CF.
类型5 截长补短法
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（1）截长法：先在长线段上取一段，使其等于其中一条短线段，再证明剩下的线段等于另一条短线段.
（2）补短法：①先延长其中一条短线段，使延长部分等于另一条短线段，再证明延长后的线段等于长线段；②先延长其中一条短线段，使其等于长线段，再证明延长的部分等于另一条短线段
7．【2022自贡期中】如图,在 中, , , 为 上任意一点.求证： .
证明：解法一（截长法） 如图，在 上截取 ，使 ，连接 .
在 和 中，
， ， .
在 中， ，
, .
解法二（补短法） 如图，延长 至点 ，使 ，连接 ，
在 和 中，
， ， .
在 中，根据三角形的三边关系，
得 ，
， .
8．如图，AB∥CD，CE，BE分别平分∠BCD，∠CBA，点E在AD上．求证：BC＝BA＋DC.
证明：如图，在BC上取一点F，使BF＝BA，连接EF.∵CE，BE分别平分∠BCD，∠CBA，
∴∠3＝∠4，∠1＝∠2.
在△ABE和△FBE中，
∴△ABE≌△FBE(SAS)．∴∠A＝∠5.
∵AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°.
而∠5＋∠6＝180°，∴∠6＝∠D.
在△EFC和△EDC中，
∴△EFC≌△EDC(AAS)，∴FC＝DC.
∴BC＝BF＋FC＝BA＋DC.
类型6 作垂线法
9．如图，在△ABC中，AD是中线，点E是AD上一点，且BE＝AC.求证：∠BED＝∠DAC.
证明：如图，过点C作CF⊥AD于点F，过点B作BG⊥AD
交AD的延长线于点G.
则∠G＝∠CFD＝∠AFC＝90°.
∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD.
又∵∠BDG＝∠CDF，∴△BDG≌△CDF(AAS)．
∴BG＝CF.
又∵BE＝AC.∴Rt△BGE≌Rt△CFA(HL)．
∴∠BED＝∠DAC.
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB，点C的坐标为(－2,0)，点A的坐标为(－6,3)，求点B的坐标．
解：如图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，则∠ADC＝∠CEB＝90°.
∵∠ACB＝90°且∠ADC＝90°，
∴∠ACD＋∠BCE＝90°，∠ACD＋∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE.
在△ADC和△CEB中，
∴△ADC≌△CEB(AAS)，
∴DC＝EB，AD＝CE.
∵点C的坐标为(－2,0)，点A的坐标为(－6,3)，
∴OC＝2，AD＝CE＝3，OD＝6，
∴CD＝OD－OC＝4，OE＝CE－OC＝3－2＝1，
∴BE＝4，∴点B的坐标是(1,4)．
类型7 平行线法【选做】
11．在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，AP平分∠BAC交BC于点P，BQ平分∠ABC交AC于点Q，且AP与BQ相交于点O.
求证：AB＋BP＝AQ＋BQ.(提示：在同一三角形中，相等的角所对的边相等)
证明：过点P作PD∥BQ交AC于点D.∵∠BAC＝60°，∠C＝40°，
∴∠ABC＝80°.
∵BQ平分∠ABC，
∴∠ABQ＝∠CBQ＝∠ABC＝40°.
∴∠CBQ＝∠C.∴BQ＝CQ.
∵PD∥BQ，∴∠DPC＝∠PBQ＝40°.
∴∠ADP＝∠DPC＋∠C＝80°，DP＝DC.
∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP＝∠DAP＝∠BAC＝30°.
在△ABP和△ADP中，
∴△ABP≌△ADP(AAS)．∴AB＝AD，BP＝DP.
∴AB＋BP＝AD＋DP＝AQ＋QD＋DC＝AQ＋QC＝AQ＋BQ.
