第04讲 逆命题与逆定理
考点 命题、定理、证明
命题 定义 判断一件事情的语句，叫做命题.常写成“如果....那么...”..的形式．
组成 题设 已知事项.一般地，用“如果”开始的部分是题设．
结论 由己知事项推出的未知事项.一般地，用“那么”开始的部分是结论．
真命题 判断为正确的命题称为真命题．
假命题 判断为错误的命题称为假命题．
互逆命题 如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．
定理 经过受逻辑限制的证明为真的陈述，经过受逻辑限制的证明为真的陈述才叫定理．
【题型1 命题的辨析】
【典例1】
（2023春 太和县期末）
1．下列语句是命题的是（ ）
A．你喜欢数学吗 B．小明是男生 C．太和香椿 D．加强体育锻炼
【变式1-1】
（2023春 江都区期末）
2．下列选项是命题的是（ ）
A．作直线 B．今天的天气好吗？
C．连接、两点 D．同角的余角相等
【题型2 命题的改写】
【典例2】
（2023春 江津区期中）
3．把命题“对顶角相等”写成“如果…，那么…”的形式为：如果 ，那么 ．
【变式2-1】
（2023春 鼓楼区校级期末）
4．把“同位角相等”写成“如果…那么…”的形式为： ．
【变式2-2】
（2023春 新华区期末）
5．把命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”写出“如果…，那么…”的形式是：在同一平面内，如果 ，那么 ．
【变式2-3】
（2023春 昆明期末）
6．将命题“同角的补角相等”改写成“如果……，那么……”的形式为 ．
【题型3 命题真假的判断】
【典例3】
（2023春 西城区期末）
7．下列命题中，是假命题的是（ ）
A．如果两个角相等，那么它们是对顶角 B．同旁内角互补，两直线平行
C．如果，，那么 D．负数没有平方根
【变式3-1】
（2023春 永川区期末）
8．有下列四个命题：①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
②两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
③在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线也互相垂直
④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．其中真命题是（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
【变式3-2】
（2023春 广陵区期末）
9．下列命题是真命题的是（ ）
A．同角的补角相等 B．三角形的一个外角等于两个内角的和
C．若，则 D．同位角相等
【变式3-3】
（2023春 顺义区期末）
10．下列命题是真命题的是（ ）
A．一个正数与一个负数的和是负数 B．两个锐角的和是钝角
C．同角（或等角）的余角相等 D．有理数的绝对值是正数
【变式3-4】
（2023春 沙坪坝区校级期末）
11．下列语句：
①在同一平面内，若三条直线只有两个交点，则其中两条直线互相平行；
②如果两条平行线被第三条所截，同旁内角相等，那么这两条平行线都与第三条直线垂直；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中（ ）
A．①②是真命题 B．②③是真命题 C．①③是真命题 D．以上结论皆是假命题
【题型4 命题的解答题综合】
【典例4】
（2023春 盐山县期末）
12．图形的世界丰富且充满变化，用数学的眼光观察它们，奇妙无比．
（1）如图，EFCD，数学课上，老师请同学们根据图形特征添加一个关于角的条件，使得∠BEF＝∠CDG，并给出证明过程．
小丽添加的条件：∠B+∠BDG＝180°．
请你帮小丽将下面的证明过程补充完整．
证明：∵EFCD（已知）
∴∠BEF＝ （ ）
∵∠B+∠BDG＝180°（已知）
∴BC （ ）
∴∠CDG＝ （ ）
∴∠BEF＝∠CDG（等量代换）
（2）拓展：如图，请你从三个选项①DGBC，②DG平分∠ADC，③∠B＝∠BCD中任选出两个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明．
①条件： ，结论： （填序号）．
②证明： ．
【变式4-1】
（2023春 吉林月考）
13．如图，在三角形中，点在边的延长线上，射线在的内部．给出下列信息：①；②平分；③．请选择其中的两条信息作为条件，余下的一条信息作为结论组成一个真命题，并说明理由．
【变式4-2】
（2022秋 惠济区校级期末）
14．如图，在和中，点、、、在同一条直线上，有下面四个选项：①；②；③；④．
请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道真命题．并写出证明过程．
条件为： （填序号）．
结论为： （填序号）．
【变式4-3】
（2023春 双辽市期中）
15．（1）如图，，，求证：；
（2）若把（1）中的“”与结论“”对调，所得的命题是否为真命题？试说明理由写出过程．
【题型5 判断逆命题的真假判】
【典例5-1】
（2023春 南山区期中）
16．下列命题的逆命题正确的是（ ）
A．两条直线平行，内错角相等 B．若两个实数相等，则它们的绝对值相等
C．全等三角形的对应角相等 D．若两个实数相等，则它们的平方也相等
【典例5-2】
（2023春 泉州期末）
17．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是( )
A．， B．，
C． D．，
【变式5-1】
（2023 凤台县校级三模）
18．若实数a，b，c（a，b，c均不为0）满足，且，则下列命题为假命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【变式5-2】
（2022秋 宁波期末）
19．能说明命题“一个钝角与一个锐角的差一定是锐角”是假命题的反例是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-3】
（2023春 浦城县期中）
20．下列各命题的逆命题成立的是（ ）
A．对顶角相等 B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等
C．两直线平行，同位角相等 D．如果两个角都是，那么这两个角相等
（2022 上海）
21．下列说法正确的是（ ）
A．命题一定有逆命题 B．所有的定理一定有逆定理
C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题
（2022 无锡）
22．下列命题中，是真命题的有（ ）
①对角线相等且互相平分的四边形是矩形 ②对角线互相垂直的四边形是菱形
③四边相等的四边形是正方形 ④四边相等的四边形是菱形
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
（2022 梧州）
23．下列命题中，假命题是（ ）
A．的绝对值是 B．对顶角相等
C．平行四边形是中心对称图形 D．如果直线，那么直线
（2022 盘锦）
24．下列命题不正确的是（ ）
A．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
B．负数的立方根是负数
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．五边形的外角和是
（2022 台州）
25．如图，点D在的边上，点P在射线AD上（不与点A，D重合），连接，．下列命题中，假命题是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
（2021 浙江）
26．能说明命题“若x为无理数，则x2也是无理数”是假命题的反例是（ ）
A． B． C． D．
（2022 无锡）
27．请写出命题“如果，那么”的逆命题： ．
（2023 吉阳区一模）
28．下列命题是真命题的是（ ）．
A．邻补角相等 B．两直线平行，同旁内角互补
C．内错角相等 D．垂直于同一条直线的两直线平行
（2023春 大名县期末）
29．对于命题“如果，那么，下面四组关于的值中，能说明这个命题是假命题的是（ ）
A． B． C． D．
（2023春 红安县期末）
30．下列命题中是假命题的是( )
A．两点的所有连线中，线段最短
B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C．等式两边加同一个数，结果仍相等
D．不等式两边加同一个数，不等号的方向不变
（2023春 盐山县期末）
31．下列命题：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③同旁内角互补；④垂直于同一条直线的两条直线垂直．其中的假命题有（ ）
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
（2023春 鼓楼区校级期末）
32．下列命题属于真命题的是( )
A．同旁内角相等，两直线平行 B．相等的角是对顶角
C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．同位角相等
（2023春 清丰县校级期末）
33．下列命题中：①两个角的和等于平角时，这两个角互为补角，②同位角相等，③两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，其中是真命题的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
（2023春 郾城区期末）
34．下列命题中是真命题的是（ ）
A．在同一平面内的三条直线a、b、c，若a⊥b，b∥c，则a⊥c
B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．平行于同一条直线的两条直线互相垂直
D．垂直于同一条直线的两条直线互相平行
（2022秋 李沧区期末）
35．要说明命题“若，则”是假命题，可以举的一个反例是（ ）
A． B． C． D．
（2023春 舞阳县期中）
36．如图，下列命题：①若∠1＝∠2，则∠D＝∠4；②若∠C＝∠D，则∠4＝∠C；③若∠A＝∠F，则∠1＝∠2；④若∠1＝∠2，∠C＝∠D，则∠A＝∠F；⑤若∠C＝∠D，∠A＝∠F，则∠1＝∠2．其中正确的个数有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
（2023春 盐城期末）
37．“对顶角相等”的逆命题是 ．（用“如果…那么…”的形式写出）
（2022秋 宁德期末）
38．“两条直线被第三条直线所截，内错角相等”是 命题．（填“真”或“假”）
（2023春 东海县期末）
39．命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”）
（2023春 吴忠期末）
40．命题“等角的余角相等”的条件是 ，结论是 ．
（2021秋 渠县期末）
41．如图，有三个论断：①；②；③，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．
（2022春 前进区期末）
42．（1）完成下面的推理说明：
已知：如图，，、分别平分和．
求证：．
证明：、分别平分和（已 知） ，
， （ ）．
（ ），
（ ）．
（ ）．
（等式的性质） ．
（ ）．
说出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题 ．
参考答案：
1．B
【分析】根据命题的概念作答．
【详解】解：A、你喜欢数学吗？是疑问句，没有对事情做出判断，不是命题，不符合题意；
B、小明是男生是命题，符合题意；
C、太和香椿是陈述性的句子，没有做出判断，不是命题，不符合题意；
D、加强体育锻炼是陈述性的句子，没有做出判断，不是命题，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解命题的定义：对事情做出正确或不正确的判断的句子叫做命题．
2．D
【分析】根据命题的定义对各选项进行判断.
【详解】解：A、作线段为描述性语言，不是命题；
B、今天的天气好吗？语句为疑问句，不是命题；
C、连接、两点为描述性语言，不是命题；
D、同角的余角相等，是命题，
故选：D.
【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题.命题的“真”“假”是就命题的内容而言.任何一个命题非真即假.要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可.
3． 两个角是对顶角 这两个角相等
【分析】命题中的条件是两个角是对顶角，放在“如果”的后面，结论是这两个角相等，应放在“那么”的后面．
【详解】解：题设为：两个角是对顶角，结论为：这两个角相等，
故写成“如果那么”的形式是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，
故答案为：两个角是对顶角，这两个角相等．
【点睛】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．
4．如果两个角是同位角，那么这两个角相等
【分析】根据把一个命题写成“如果…那么…”的形式，则“如果”后面是题设，“那么”后面是结论，即可得出答案．
【详解】解：把“同位角相等”写成“如果…那么…”的形式为：
如果两个角是同位角，那么这两个角相等；
故答案为：如果两个角是同位角，那么这两个角相等．
【点睛】此题考查了命题与定理，要掌握命题的结构，能把一个命题写成“如果…那么…”的形式，“如果”后面的是题设，“那么”后面的是结论．
5． 两条直线都垂直于同一条直线 这两条直线互相平行
【分析】根据命题题设为：在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线；结论为这两条直线互相平行得出即可．
【详解】解：因为命题题设为：在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线；结论为:这两条直线互相平行；
所以“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”改写成“如果…，那么…”的形式为：“在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行”；
故答案为：两条直线都垂直于同一条直线，这两条直线互相平行．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题，命题由题设和结论两部分组成；准确找出题设和结论是解题关键．
6．如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等.
【分析】每一个命题都是基于条件的一个判断，只要把条件部分和判断部分分开即可.
【详解】解：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等，
故答案为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等.
7．A
【分析】本题需先根据真命题和假命题的定义判断出各题的真假，最后得出结果即可．
【详解】A、如果两个角相等，那么它们是对顶角，如等腰三角形的两个底角相等，这两个角不是对顶角，故A是假命题，符合题意；
B、同旁内角互补，两直线平行，故B是真命题，不符合题意；
C、如果，那么，故C是真命题，不符合题意；
D、负数没有平方根，故D是真命题，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，判断一个命题是假命题时可以找到其反例．
8．C
【分析】根据两直线的位置即可判断求解.
【详解】①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，故正确，符合题意；
②两条直线平行时，被第三条直线所截，同旁内角才互补，故错误，不符合题意；
③在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行，故错误，不符合题意；
④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故正确，符合题意.
故①④正确.
故选：C.
【点睛】此题主要考查两直线的位置关系，解题的关键是熟知两直线的位置关系.
9．A
【分析】根据补角的性质判定A，根据三角形的外角性质判定B，根据平方根判定C，根据平行线的性质判定D．
【详解】解：A、同角的补角相等，故此选项真命题，符合题意；
B、三角形的一个外角等于不相邻两个内角的和，故此选项假命题，不符合题意；
C、若，则，故此选项假命题，不符合题意；
D、两直线平行，同位角相等，故此选项假命题，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
10．C
【分析】根据有理数的加法，绝对值，角的和差以及余角的性质分别判断即可．
【详解】解：A、一个绝对值较大的正数与一个绝对值较小负数的和是正数数，故为假命题；
B、两个锐角的和有可能是锐角，故为假命题；
C、同角（或等角）的余角相等，故为真命题；
D、有理数的绝对值有可能是0，故为假命题；
故选：C．
【点睛】本题考查了命题与定理，真假命题的判断，涉及有理数的加法，绝对值，角的和差以及余角的性质，解题的关键是掌握相应的基础知识．
11．A
【分析】①根据平行线的定义，进行判断即可；②根据两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论；③根据平行公理进行判断即可．
【详解】解：①在同一平面内，若三条直线只有两个交点，则其中两条直线互相平行，原命题是真命题；
②根据两直线平行，同旁内角互补，如果两条平行线被第三条所截，同旁内角相等，两个角的度数均为，那么这两条平行线都与第三条直线垂直，原命题是真命题；
③过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题；
故①②是真命题；
故选A．
【点睛】本题考查判断命题的真假．熟练掌握平行线的性质和平行公理，是解题的关键．
12．（1）∠BCD；两直线平行，同位角相等；DG；同旁内角互补，两直线平行；∠BCD；两直线平行，内错角相等；（2）①DG∥BC，∠B＝∠BCD，DG平分∠ADC，②证明见解析
【分析】（1）根据平行线的判定定理和性质定理解答；
（2）根据真命题的概念写出命题的条件和结论，根据平行线的判定定理和性质定理、角平分线的定义解答．
【详解】（1）证明：∵EF∥CD（已知），
∴∠BEF＝∠BCD（两直线平行，同位角相等），
∵∠B+∠BDG＝180°（已知），
∴BC∥DG（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠CDG＝∠BCD（两直线平行，内错角相等），
∴∠BEF＝∠CDG（等量代换）；
（2）①条件：DG∥BC，∠B＝∠BCD，
结论：DG平分∠ADC，
②证明：∵DG∥BC，
∴∠ADG＝∠B，∠CDG＝∠BCD，
∵∠B＝∠BCD，
∴∠ADG＝∠CDG，即DG平分∠ADC．
故答案为：（1）∠BCD；两直线平行，同位角相等；DG；同旁内角互补，两直线平行；∠BCD；两直线平行，内错角相等；
【点睛】本题考查了命题的真假判断、平行线的判定和性质，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．
13．答案见详解
【分析】根据平行线性质及判定，角平分线定义及等量代换即可得到证明；
【详解】解：选择①②作为条件，③作为结论．理由如下：
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴平分；
选择①③作为条件，②作为结论．理由如下：
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴；
选择②③作为条件，①作为结论．理由如下：
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴；
【点睛】本题考查书写命题，平行线的性质与判定及角平分线的定义，解题的关键是正确书写命题．
14．①②④；③，证明见解析
【分析】条件为：①②④，结论为：③；只需要证明即可．
【详解】解：条件为：①②④，结论为：③；（答案不唯一）
已知：如图，在和中，点、、、在同一条直线上，，，．求证：．
证明：，
，
，
，即，
在和中，
，
（SAS），
．
故答案为：①②④；③
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形判定的条件和性质是解答本题的基础．
15．（1）
（2）真命题
【详解】（1）证明：
又
．
（2）真命题，理由如下：
，
．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，真命题的定义，关键找准判定两直线平行的条件和两直线平行的性质运用．
16．A
【分析】根据题意分别写出逆命题后判断正误即可．
【详解】解：A、两条直线平行，内错角相等的逆命题为内错角相等，两条直线平行，故本选项正确；
B、若两个实数相等，则它们的绝对值相等的逆命题为若两个实数的绝对值相等，则这两个实数相等，故本选项错误；
C、全等三角形的对应角相等的逆命题为对应角相等的三角形是全等三角形，故本选项错误；
D、若两个实数相等，则它们的平方也相等的逆命题是若两个实数的平方相等，则它们相等，故本选项错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，平行线的判定，实数的性质，解题的关键是能够写出所有命题的逆命题，难度不大．
17．C
【分析】能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子．
【详解】解：A、满足条件，也满足结论，故A选项错误；
B、不满足条件，故B选项错误；
C、满足条件，不满足结论，故C选项正确；
D、不满足条件，也不满足结论，故D选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了举反例判断假命题，理解题意是解题的关键．
18．D
【分析】由，，可得，进而可判断A的真假；由，可得，，则，整理得，，进而可判断B的真假；由，整理得，，由，可得，进而可判断C的真假；由，且，，可得，整理得，，计算求解，可判断D的真假．
【详解】解：∵，，
∴，正确，A为真命题，故不符合要求；
∵，
∴，，
∴，整理得，，正确，B为真命题，故不符合要求；
∵，且，
∴，整理得，，
∵，
∴，正确，C为真命题，故不符合要求；
∵，且，，
∴，整理得，，解得或，错误，D为假命题，故符合要求；
故选：D．
【点睛】本题考查了代数式求值，不等式的性质，真、假命题．解题的关键在于对等式进行合理的等量代换．
19．D
【分析】分别计算出各选项角的度数，进而可得出结论．
【详解】解：A、是锐角，不符合题意；
B、与是两个锐角，不符合题意；
C、是锐角，不符合题意；
D、是钝角，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查的是命题与定理，熟知反例的定义是解题的关键．要指出一个命题是假命题，只要能够举出一个例子，使它具备命题的条件，而不符合命题的结论就可以了，这样的例子叫做反例．
20．C
【分析】分别写出下列命题的逆命题，然后判断真假即可．
【详解】解：A．逆命题为相等的两个角是对顶角，逆命题不成立，不符合题意；
B．逆命题为两个数的绝对值相等，那么这两个相等，逆命题不成立，不符合题意；
C．逆命题是同位角相等，两直线平行，逆命题成立，符合题意；
D．逆命题为两个角相等，那么两个角都是，逆命题不成立，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查命题与定理的知识，解题的关键是能够写出该命题的逆命题并作出正确的判断．
21．A
【分析】根据命题的定义和定理及其逆定理之间的关系，分别举出反例，再进行判断，即可得出答案．
【详解】解：A、命题一定有逆命题，故此选项符合题意；
B、定理不一定有逆定理，如：全等三角形对应角相等没有逆定理，故此选项不符合题意；
C、真命题的逆命题不一定是真命题，如：对顶角相等的逆命题是：相等的两个角是对顶角，它是假命题而不是真命题，故此选项不符合题意；
D、假命题的逆命题定不一定是假命题，如：相等的两个角是对顶角的逆命题是：对顶角相等，它是真命题，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了命题与定理，掌握好命题的真假及互逆命题的概念是解题的关键．把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，所有的命题都有逆命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题．
22．B
【分析】直接利用平行四边形以及矩形、菱形、正方形的判定方法分别分析进而得出答案．
【详解】解：①对角线相等且互相平分的四边形是矩形，正确；
②对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故原命题错误；
③四边相等的四边形是菱形，故原命题错误；
④四边相等的四边形是菱形，正确．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了命题与定理，正确把握特殊四边形的判定方法是解题关键．
23．A
【分析】根据绝对值的意义，对顶角的性质，平行四边形的性质，平行线的判定逐一判断即可．
【详解】解：A． 的绝对值是2，故原命题是假命题，符合题意；
B．对顶角相等，故原命题是真命题，不符合题意；
C．平行四边形是中心对称图形，故原命题是真命题，不符合题意；
D． 如果直线，那么直线，故原命题是真命题，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了命题真假的判断，属于基础题．根据定义：符合事实真理的判断是真命题，不符合事实真理的判断是假命题，不难选出正确项．
24．C
【分析】由平行线公理、立方根的定义、菱形的判定定理、多边形的外角和，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：A、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；故A正确；
B、负数的立方根是负数；故B正确；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C错误；
D、五边形的外角和是，故D正确；
故选：C
【点睛】本题考查了判断命题的真假，以及考查了平行线公理、立方根的定义、菱形的判定定理、多边形的外角和，解题的关键是掌握所学的知识，正确的进行判断．
25．D
【分析】根据等腰三角形性质，中垂线的性质逐项判断即可．
【详解】解：若，，则D是中点，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴故选项A是真命题，不符合题意；
，即，
又，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴故选项B是真命题，不符合题意；
若，，则，D是中点，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴故选项C是真命题，不符合题意；
若，，不能得到，故选项D是假命题，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握等腰三角形的“三线合一”定理和垂直平分线的性质．
26．C
【分析】根据反例满足条件，但不能得到结论，所以利用此特征可对各选项进行判断．
【详解】解：A、，是无理数，不符合题意；
B、，是无理数，不符合题意；
C、，是有理数，符合题意；
D、，是无理数，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了无理数的概念以及二次根式的运算，熟练掌握运算法则和定义是解题的关键．
27．如果，那么
【分析】根据逆命题的概念解答即可．
【详解】解：命题“如果，那么”的逆命题是“如果，那么”，
故答案为：如果，那么．
【点睛】此题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
28．B
【分析】对于选项B、C、D利用平行线的判定和性质进行判断，对于选项A利用邻补角的概念进行判断．
【详解】A、邻补角应该是互补关系，而不是相等，故选项A是假命题，不符合题意；
B、两直线平行，同旁内角互补，教材定理，故选项B是真命题，符合题意；
C、缺少条件“两直线平行”，故选项C是假命题，不符合题意；
D、缺少条件“在同一平面内”，故选项D是假命题，不符合题意．
故选B
【点睛】本题考查了真假命题判断与定理，熟练掌握定理，并能准确判断真假命题是解题的关键．
29．C
【分析】说明命题为假命题，即的值满足但不成立，把四个选项中的的值分别代入验证即可．
【详解】解： 满足若则故不能说明这个命题是假命题，故此题不符合题意．
满足若则故不能说明这个命题是假命题，故此题不符合题意．
满足若则故能说明这个命题是假命题，故此题符合题意．
满足若则故不能说明这个命题是假命题，故此题不符合题意．
故选：
【点睛】本题主要考查假命题的判断，举反例是反例说明假命题不成立的常用方法，但需要注意所举反例需要满足命题的题设，但结论不成立．
30．B
【分析】根据线段的性质、平行线的性质、等式的性质和不等式的性质判断即可．
【详解】A. 两点的所有连线中，线段最短，是真命题；
B、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，是假命题；
C、等式两边加同一个数，结果仍相等，是真命题；
D、不等式两边加同一个数，不等号的方向不变，是真命题；
故选B
【点睛】此题考查命题与定理，掌握各命题是解题关键
31．A
【分析】根据空间点、线、面间的位置关系，通过举反列可得①②③④不正确．
【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①是假命题.
②在同一个平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故②是假命题.
③两直线平行，同旁内角互补，故③是假命题.
④在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线相互平行，故④是假命题.
故选：A
【点睛】本题考查空间点、线、面间的位置关系，准确理解命题所给的条件，是解题的关键．
32．C
【分析】要找出正确命题，可运用相关基础知识分析找出正确选项，也可以通过举反例排除不正确选项，从而得出正确选项．
【详解】A、同旁内角互补，两直线平行，是假命题；
B、相等的角不一定是对顶角，是假命题；
C、平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题；
D、两直线平行，同位角相等，是假命题；
故选C．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
33．C
【分析】根据邻补角、平行线的判定解答即可．
【详解】解：①两个角的和等于平角时，这两个角互为补角，原命题是真命题；
②两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，原命题是假命题；
③两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，原命题是真命题；
真命题有2个，
故选：C．
【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于基础题．
34．A
【分析】根据平行公理、平行线的性质、线段公理等知识逐项判定即可．
【详解】解：A．在同一平面内的三条直线a、b、c，若a⊥b，b∥c，则a⊥c，为真命题；
B．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题为假命题；
C．平行于同一条直线的两条直线互相平行，故原命题为假命题；
D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故原命题为假命题；
故选：A．
【点睛】本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握平行公理、平行线的性质、线段公理等知识是解答此题的关键．
35．D
【分析】找出满足，但不满足即可．
【详解】解：解：“若，则”是假命题，
可以举一个反例为．因为满足，但不满足．
故选：D．
【点睛】本题考查了命题与定义：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
36．C
【分析】根据平行线的性质和判定进行判断即可．
【详解】解：①若∠1＝∠2，可得∠3＝∠2，可得DB∥EC，则∠D＝∠4，正确；
②若∠C＝∠D，得不出∠4＝∠C，错误；
③若∠A＝∠F，得不出∠1＝∠2，错误；
④若∠1＝∠2，∠C＝∠D，则∠A＝∠F，正确；
⑤若∠C＝∠D，∠A＝∠F，则∠1＝∠2，正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
37．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
【分析】交换原命题的题设和结论即可得到结果．
【详解】解：命题“对顶角相等．”的逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，
故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．
【点睛】本题考查的是命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
38．假
【分析】由正确的题设得出正确的结论是真命题，由正确的题设不能得出正确结论是假命题，判定此命题的正误即可得到答案．
【详解】解：∵当两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，
∴两条直线被第三条直线所截，内错角有相等或不相等两种情况
∴原命题错误，是假命题，
故答案为假．
【点睛】本题考查了判断命题的真假的知识，解题的关键是根据命题作出正确的判断，必要时可以举出反例．
39．真
【分析】先写出原命题的逆命题，然后判断真假即可．
【详解】解：命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是：“两个锐角互余的三角形是直角三角形”，这是真命题，
故答案为：真．
【点睛】本题主要考查了判断命题真假，写出一个命题的逆命题，三角形内角和定理，正确写出原命题的逆命题是解题的关键．
40． 两个角相等 它们的余角也相等.
【分析】命题的已知部分是条件，即题设，由条件得出结果是结论，由此即可得答案.
【详解】“等角的余角相等”可改写成“如果两个角相等，那么它们的余角也相等”，
所以：“等角的余角相等”的条件是：两个角相等；
结论是：它们的余角也相等，
故答案为两个角相等；它们的余角也相等.
【点睛】本题考查了余角和补角以及命题的构成，命题由题设和结论两部分组成．其中题设是已知的条件，结论是由题设推出的结果．
41．见解析
【分析】根据题意，请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，根据平行线的判定和性质及对顶角相等进行证明．
【详解】已知：，
求证：
证明：如图，
∵
又
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
∴
【点睛】此题考查命题与定理问题，证明的一般步骤：写出已知，求证，画出图形，再证明．
42．（1）；；角平分线的定义；已知；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；（2） 两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行
【分析】（1）根据平行线的性质，可得，根据角平分线的定义，可得，再根据平行线的判定，即可得出；
（2）在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论， 则称它们为互逆命题．
【详解】解： （1）、分别平分和（已知），
，（角平分线的定义），
（已知），
（两直线平行，内错角相等），
（等量代换），
（等式的性质），
（内错角相等，两直线平行），
故答案为：；；角平分线的定义；已知；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等， 两直线平行；
（2）两个互逆的真命题为：
两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．
