2023年秋华东师大版九年级数学上册《第21—22章》综合练习题
一、选择题，精心选一选（共30分）
1．若+x﹣1＝0是一元二次方程，则n的值为（ ）
A．2或﹣2 B．2 C．﹣2 D．0
2．下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的边长是方程（x﹣2）（x﹣4）＝0的根，则这个三角形的周长是（ ）
A．11 B．11或13
C．13 D．以上选项都不正确
4．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+|a|﹣1＝0的一个根是0，则实数a的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣1或1
5．若关于x的一元二次方程ax2﹣4x+2＝0有两个实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a≤2 B．a≤2且a≠0 C．a＜2 D．a＜2且a≠0
6．如果y＝+3，那么yx的算术平方根是（ ）
A．2 B．3 C．9 D．±3
7．已知α、β是关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，且满足+＝1，则m的值是（ ）
A．3 B．﹣1 C．3或﹣1 D．﹣3或1
8．已知（x2+y2+1）（x2+y2+3）＝8，则x2+y2的值为（ ）
A．﹣5或1 B．1 C．5 D．5或﹣1
9．如果最简二次根式与是可以合并的二次根式，则a的一个正确的值是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
10．我们知道方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3＝0，它的解是（ ）
A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝﹣3
C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝﹣1，x2＝﹣3
二、填空题，细心填一填（共15分）
11．把方程（2x﹣1）（3x+2）＝x2﹣5化为一元二次方程的一般形式是 ．
12．已知x＝，则x﹣＝ ．
13．已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 ．
14．代数式2x2﹣4x﹣4的最小值为 ．
15．如果把一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根各加上1作为一个新一元二次方程的两根，那么这个新一元二次方程是 ．
三、解答题，用心做一做（共75分）
16．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
17．用适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣3x+2＝0；
（2）4（x﹣2）2＝（2x+5）2；
（3）（x+1）（x+2）＝2x+4；
（4）（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0．
18．已知：关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0
（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝1，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
19．设x1，x2是关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0的两个实数根．试问：是否存在实数k，使得x1 x2＞x1+x2成立？请说明理由．
（温馨提示：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当b2﹣4ac≥0时，则它的两个实数根是：）
20．已知：关于x的方程x2+（2m+4）x+m2+5m＝0没有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若关于x的一元二次方程mx2+（n﹣2）x+m﹣3＝0有实数根，求证：该方程两根的符号相同；
（3）设（2）中方程的两根分别为α、β，若α：β＝1：2，且n为整数，求m的最小整数值．
21．如图，有一张长为，宽为的长方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角都是边长为的小正方形．
(1)求制作成的无盖长方体盒子的体积；
(2)求制作成的无盖长方体盒子的侧面积（不含下底面）．
22．阅读下列解题过程：，，
请回答下列问题：
(1)观察上面的解答过程，化简：；
(2)请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律；
(3)利用上面的解法，请化简：
．
23．某服装销售商用元购进了一批时尚新款服装，通过网络平台进行销售，由于行情较好，第二次又用元购进了同种服装，第二次购进数量是第一次购进数量的2倍，每件的进价多了元．
(1)该销售商第一次购进了这种服装多少件，每件进价多少元？
(2)该销售商卖出第一批服装后，统计发现：若按每件元销售，每天平均能卖出件，销售价每降低元，则多卖出件．依此行情，卖第二批服装时，让利促销，并使一天的利润恰好为元，销售价应为多少？
参考答案
一、选择题，精心选一选（每小题3分，共30分）
1．解：∵+x﹣1＝0是一元二次方程，
∴，
解得：n＝﹣2．
故选：C．
2．解：A.＝4，不是最简二次根式；
B.，是最简二次根式；
C.＝，不是最简二次根式；
D.＝，不是最简二次根式；
故选：B．
3．解：方程（x﹣2）（x﹣4）＝0，
可得x﹣2＝0或x﹣4＝0，
解得：x＝2或x＝4，
当x＝2时，2，3，6不能构成三角形，舍去；
则x＝4，此时周长为3+4+6＝13．
故选：C．
4．解：把x＝0代入方程得：
|a|﹣1＝0，
∴a＝±1，
∵a﹣1≠0，
∴a＝﹣1．
故选：A．
5．解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣4x+2＝0有两个实数根，
∴，
解得：a≤2且a≠0．
故选：B．
6．解：由题意得，x﹣2≥0，2﹣x≥0，
解得，x＝2，
∴y＝3，
则yx＝9，
9的算术平方根是3．
故选：B．
7．解：∵α、β是关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，
∴α+β＝2m+3，αβ＝m2，
∴+＝＝＝1，
解得：m＝﹣1或m＝3，
经检验，m＝﹣1或m＝3均为原分式方程的解．
∵α、β是关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，
∴Δ＝[﹣（2m+3）]2﹣4m2＝12m+9＞0，
∴m＞﹣，
∴m＝3．
故选：A．
8．解：原方程变形得，（x2+y2）2+4（x2+y2）﹣5＝0，
（x2+y2+5）（x2+y2﹣1）＝0，
又∵x2+y2的值是非负数，
∴x2+y2的值为只能是1．
故选：B．
9．解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴3a﹣8＝17﹣2a，解得，a＝5．
故选：C．
10．解：把方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3＝0看作关于2x+3的一元二次方程，
所以2x+3＝1或2x+3＝﹣3，
所以x1＝﹣1，x2＝﹣3．
故选：D．
二、填空题，细心填一填（每小题3分，共15分）
11．解：（2x﹣1）（3x+2）＝x2﹣5，
6x2+4x﹣3x﹣2＝x2﹣5，
6x2﹣x2+x+5﹣2＝0，
5x2+x+3＝0．
故答案为：5x2+x+3＝0．
12．解：∵x＝＝+2，
∴＝﹣2，
原式＝﹣（﹣2）＝4．
故本题答案为：4．
13．解：由题意得，0＜a＜1，
∴a﹣1＜0，
∴，
故答案为：1．
14．解：∵2x2﹣4x﹣4＝2（x﹣1）2﹣6，
∴当x＝1时，y有最小值﹣6．
故答案为：﹣6．
15．解：设一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根分别是x1、x2．
根据韦达定理，得
x1+x2＝3，x1 x2＝﹣1；
∴x1+x2+2＝5，
（x1+1） （x2+1）＝x1 x2+（x1+x2）+1＝3；
∴这个新一元二次方程的两根之和是5，两根之积是3；
∴这个新一元二次方程是：x2﹣5x+3＝0；
故答案为：x2﹣5x+3＝0．
三、解答题，用心做一做（共75分）
16．解：（1）原式＝
＝．
（2）原式＝72﹣（）2﹣（45﹣+1）
＝49﹣48﹣45+﹣1
＝﹣45．
（3）原式＝2×1+﹣
＝2．
（4）由题意知，，
解得．
所以a＝1，b＝1．
17．解：（1）将方程左边分解因式得（x﹣1）（x﹣2）＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝1，x2＝2．
（2）由原方程得4x2﹣16x+16＝4x2+20x+25，
整理得﹣36x＝9，
解得x＝﹣．
（3）由原方程得（x+1）（x+2）﹣2（x+2）＝0，
将方程左边分解因式得（x+2）（x﹣1）＝0，
∴x+2＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝1．
（4）将方程左边分解因式得（x2﹣x+2）（x+2）（x﹣3）＝0，
∵x2﹣x+2＝（x﹣）2+≠0，
∴x+2＝0或x﹣3＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝3．
18．（1）证明：Δ＝（k+2）2﹣4 2k＝（k﹣2）2，
∵（k﹣2）2≥0，即△≥0，
∴无论取任何实数值，方程总有实数根；
（2）解：当b＝c时，Δ＝（k﹣2）2＝0，则k＝2，
方程化为x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2，
∴△ABC的周长＝2+2+1＝5；
当b＝a＝1或c＝a＝1时，
把x＝1代入方程得1﹣（k+2）+2k＝0，解得k＝1，
方程化为x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，
不符合三角形三边的关系，此情况舍去，
∴△ABC的周长为5．
19．解：∵方程有实数根，
∴b2﹣4ac≥0，
∴（﹣4）2﹣4（k+1）≥0，
即k≤3．
解法一：又∵，
∴x1+x2＝（2+）+（2﹣）＝4．
x1 x2＝（2+） （2﹣）＝k+1．
若x1 x2＞x1+x2，
即k+1＞4，∴k＞3．
而这与k≤3相矛盾，
因此，不存在实数k，使得x1 x2＞x1+x2成立．
解法二：又∵x1+x2＝＝4，
x1 x2＝＝k+1（以下同解法一）．
20．解：（1）∵关于x的方程x2+（2m+4）x+m2+5m＝0没有实数根，
∴Δ＝（2m+4）2﹣4×1×（m2+5m）＜0，
∴m＞4，
∴m的取值范围是m＞4；
（2）由于方程mx2+（n﹣2）x+m﹣3＝0有两个实数根可知m≠0，
当m＞4时，＞0，即方程的两根之积为正，
故方程的两根符号相同．
（3）由已知得：m≠0，α+β＝﹣，α β＝．
∵α：β＝1：2，
∴3α＝﹣，2a2＝．
＝，即（n﹣2）2＝m（m﹣3）．
∵m＞4，且n为整数，
∴m为整数；
当m＝6时，（n﹣2）2＝×6×3＝81．
∴m的最小值为6．
21．（1）解：无盖长方体盒子的体积为：
；
答：制作成的无盖长方体盒子的体积是．
（2）解：无盖长方体盒子的侧面积为：
；
答：制作成的无盖长方体盒子的侧面积为．
22．（1）解：；
故答案为：；
（2）解：观察前面例子的过程和结果得：
．
故答案为：；
（3）解：
．
23．（1）解：设第一次购进了这种服装x件，由题意可得：
，
解得，
经检验：是所列方程的解，并符合题意，
则，
答：第一次购进了这种服装件，每件进价元；
（2）解：设销售价为m元/件，
则每天销售量为：（件），
（元），
则由题意可得：，
整理，得，
解得：，，
让利促销，
（舍去），取，
答：销售价定为元/件．
